1、第三章 第三讲时间：60分钟满分：100分一、选择题(8540分)1(2009北京西城4月)若数列an是公比为4的等比数列，且a12，则数列log2an是()A公差为2的等差数列B公差为lg 2的等差数列C公比为2的等比数列D公比为lg 2的等比数列答案：A解析：数列an是公比为4的等比数列，且a12，则log2an1log2anlog22，则数列log2an是以1为首项，公差为2的等差数列，故选A.2(2009河南实验中学3月)设各项都为正数的等比数列an中，若第五项与第六项的积为81，则log3a1log3a2log3a10的值是()A5B10C20D40答案：C解析：由题意得a5a681
2、，再根据等比数列的性质，log3a1log3a2log3a10log3a1a2a10log3(a5a6)520.故选C.3(2009河南六市一模)设各项均为实数的等比数列an的前n项和为Sn，若S1010，S3070，则S40()A150 B200C150或200 D400或50答案：A解析：由题意得S10，S30，1q10q207，则q102，10，S4010(15)150，故选A.4(2009郑州二模)在等比数列an中，若a1a2a3a4，a2a3，则()A. B. C D答案：C解析：在等比数列an中，由于a1a2a3a4，a2a3，且a1a4，则，故选C.5(2009辽宁，6)设等比数
3、列an的前n项和为Sn，若3，则()A2 B. C. D3答案：B解析：由等比数列的性质：S3，S6S3，S9S6仍成等比数列，于是，由S63S3，可推出S9S64S3，S97S3，.故选B.6(2009广东，5)已知等比数列an的公比为正数，且a3a92a，a21，则a1()A. B. C. D2答案：B解析：a3a92aa，.又a21a1，a1，故选B.7已知等比数列an的首项为8，Sn是其前n项的和，某同学经计算得S220，S336，S465，后来该同学发现其中一个数算错了，则该数为()AS1 BS2 CS3 DS4答案：C解析：an是等比数列，a18.由S2a1a2a1(1q)20，则
4、q.同理由S336q.由S465q.显然S3算错了故选C.8设数列an是首项为m，公比为q(q1)的等比数列，Sn是它的前n项和，对任意的nN*，点()A在直线mxqyq0上B在直线qxmym0上C在直线qxmyq0上D不一定在一条直线上答案：B解析：由得qny1代入得：x(y1)，即qxmym0，故选B.总结评述：此题的本质是一个参数方程问题，利用等比数列构造出一个参数方程，然后消去参数二、填空题(4520分)9由正数组成的等比数列an中，a1，a2a49，则a5_，S3_.答案：27解析：an0，a2a4a9a33.由a1a5aa527.由aa1a31a21，S3.10(2009全国，13
5、)设等比数列an的前n项和为Sn.若a11，S64S3，则a4_.答案：3解析：设等比数列的公比为q.当q1时，6a143a1a10(舍)当q1时，由S64S341q34q33a4a1q33.11(2009浙江，11)设等比数列an的公比q，前n项和为Sn，则_.答案：15解析：a4a1()3a1，S4a1，15.12在等比数列an中，已知a1a2a38，a1a2a67，则公比q_.答案：解析：a1a2a38，a1a2a3a4a5a67，a4a5a61.q3，q.三、解答题(41040分)13已知等比数列an，a28，a5512.(1)求an的通项公式；(2)令bnlog2an，求数列bn的前
6、n项和Sn.解析：(1)设数列an的公比为q，由a28，a5512，可得a1q8，a1q4512.解得a12，q4.所以数列an的通项公式为an24n1.(2)由an24n1，得bnlog2an2n1.所以数列bn是首项b11，公差d2的等差数列故Snnn2.即数列bn的前n项和Snn2.14已知实数列an是等比数列，其中a71，且a4，a51，a6成等差数列(1)求数列an的通项公式；(2)数列an的前n项和记为Sn，证明：Sn128(n1,2,3，)解析：(1)设等比数列an的公比为q(qR)，由a7a1q61，得a1q6，从而a4a1q3q3，a5a1q4q2，a6a1q5q1.因为a4
7、，a51，a6成等差数列，所以a4a62(a51)，即q3q12(q21)，q1(q21)2(q21)，所以q.故ana1qn1q6qn164()n1.(2)Sn1281()n128.15已知数列an中，a1，a2并且数列log2(a2)，log2(a3)，log2(an1)是公差为1的等差数列，而a2，a3，an1是公比为的等比数列，求数列an的通项公式分析：由数列log2(an1)为等差数列及等差数列的通项公式，可求出an1与an的一个递推关系式；由数列an1为等比数列及等比数列的通项公式，可求出an1与an的另一个递推关系式.解两个关系式组成的方程组，即可求出an.解：数列log2(an
8、1)是公差为1的等差数列，log2(an1)log2(a2a1)(n1)(1)log2()n1(n1)，于是有an12(n1)又数列an1an是公比为的等比数列，an1an(a2a1)3(n1)()3(n1)3(n1)于是有an1an3(n1)由可得an2(n1)3(n1)，an.16(2009陕西，21)已知数列an满足a11，a22，an2，nN*.(1)令bnan1an，证明：bn是等比数列；(2)求an的通项公式解析：(1)证明：b1a2a11，当n2时，bnan1anan(anan1)bn1，bn是以1为首项，为公比的等比数列(2)由(1)知bnan1an()n1，当n2时，ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)11()()n2111()n1()n1，当n1时，()111a1，an()n1(nN*)