1、42.2圆与圆的位置关系 42.3直线与圆的方程的应用目标 1.能根据给定的圆的方程，判断圆与圆的位置关系；2.能解决两圆相切、两圆相交的有关问题；3.能够利用直线与圆的关系解决简单的实际问题重点 圆与圆位置关系的判断；两圆相切、相交的有关问题难点 两圆相切、相交的有关问题知识点一 圆与圆的位置关系填一填1圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系有5种：外离、外切、相交、内切和内含外切和内切统称为相切2圆与圆位置关系的判定(1)几何法若圆C1与圆C2的半径分别为r和R，两圆圆心距为d，则当d|Rr|时，两圆内含；当d|Rr|时，两圆内切；当|Rr|dRr时，两圆外离(2)代数法设两圆方程分别为x2y2
2、D1xE1yF10，x2y2D2xE2yF20，联立方程得方程组有两组不同的实数解两圆相交，有一组实数解两圆相切，无实数解两圆外离或内含答一答1如果两个圆没有公共点，那么它们一定外离；如果两个圆只有一个公共点，那么它们一定外切，这种说法是否正确？提示：这种说法不正确如果两个圆没有公共点，那么它们外离或内含，这两种位置关系统称为相离；如果两个圆只有一个公共点，那么它们外切或内切，这两种位置关系统称为相切2两圆的公切线条数与两圆位置关系有何联系？能否根据公切线条数判断两圆位置关系？提示：两圆不同的位置关系对应着不同的公切线条数，因此可以由公切线的条数判断两圆的位置关系，即当两圆内含、内切、相交、外
3、切、外离时，分别对应的公切线条数为0、1、2、3、4，反之亦成立知识点二 用直线与圆的方程解决实际问题的步骤 填一填1从实际问题中提炼几何图形；2建立平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将几何问题转化为代数问题；3通过代数运算，解决代数问题；4将结果“翻译”成几何结论并作答答一答3用坐标法解决实际应用问题注意什么问题？提示：(1)建立直角坐标系时不能随便，应在利于解题的原则下建立适当的直角坐标系，要尽可能使所涉及的点在坐标轴上(2)在实际问题中，有些量具有一定的条件，转化成代数问题时要注意范围(3)最后一定要把数学结论还原为实际意义知识点三 用坐标方法解决几何问题的“三步曲”填一
4、填1建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将几何问题转化为代数问题；2通过代数运算，解决代数问题；3将代数运算结果“翻译”成几何结论答一答4用坐标法解决几何问题体现了什么思想方法？提示：坐标法实际上是用代数的方法解决几何问题，体现了数形结合的数学思想方法类型一 圆和圆的位置关系问题 例1已知圆C1：x2y22ax2ya2150，圆C2：x2y24ax2y4a20(a0)试求a为何值时，两圆C1，C2：(1)相切；(2)相交；(3)相离；(4)内含解对圆C1，C2的方程，配方可得圆C1：(xa)2(y1)216，圆C2：(x2a)2(y1)21.所以C1(a,1)，r14，
5、C2(2a,1)，r21，所以|C1C2|a.(1)当|C1C2|r1r25，即a5时，两圆外切，当|C1C2|r1r23，即a3时，两圆内切(2)当3|C1C2|5，即3a5，即a5时，两圆相离(4)当|C1C2|3，即ar1r2，所以两圆相离，故有4条公切线，故选D.类型二 两圆相交问题 例2已知圆C1：x2y22x8y80与圆C2：x2y24x4y20相交于两点(1)求两圆的公共弦所在直线的方程；(2)求两圆的公共弦长解解法1：圆C1与圆C2的方程联立，得方程组相减得x2y10，即x12y.把代入并整理得y210.解得y1或y1，代入得x1或x3.因此圆C1与圆C2相交于A(1,1)，B
6、(3，1)两点(1)两圆的公共弦所在的直线即为直线AB，方程为，即x2y10.(2)两圆的公共弦长|AB|2.解法2：(1)设两圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A、B的坐标满足方程组两式相减得x2y10.此方程即为过A，B两点的直线方程所以两圆的公共弦所在直线的方程为x2y10.(2)圆C1可化为(x1)2(y4)225，圆C1的圆心为(1，4)，半径长r15.C1(1，4)到直线x2y10的距离d2.则弦长|AB|22.(1)两圆相交时，公共弦所在的直线方程若圆C1：x2y2D1xE1yF10与圆C2：x2y2D2xE2yF20相交，则两圆公共弦所在直线的方程为(D1D2)x
7、(E1E2)yF1F20.(2)公共弦长的求法代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解变式训练2(1)若圆x2y24与圆x2y22ay60的公共弦长为2，则a的值为(B)A.1B.1C.3D.2解析：由题意知，圆x2y24与圆x2y22ay60的公共弦所在的直线为2ay20，而圆心(0,0)到2ay20的距离为d，所以22()2()2，解得a1.(2)圆C1：x2y22x10y240与圆C2：x2y22x2y80的公共弦所在直线的方程为x2y40，公共弦长为2.解析：联立
8、两圆的方程得方程组两式相减并化简，得x2y40，此即为两圆公共弦所在直线的方程设两圆相交于A，B两点，则A，B两点满足方程组解得或所以|AB|2，即公共弦长为2.类型三 直线与圆方程的实际应用 例3已知隧道的截面是半径为4.0 m的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为2.7 m、高为2.5 m的货车能不能驶入这个隧道？假设货车的最大宽度为a m，那么要正常驶入该隧道，货车的最大高度为多少？解以隧道截面半圆的圆心为坐标原点，半圆直径所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则半圆方程为x2y216(y0)将x2.7代入x2y216(y0)得：y2.5，即在离中心线2.7 m处，隧道高
9、度高于货车的高度，所以货车能驶入这个隧道将xa代入x2y216(y0)得y，所以货车要正常驶入该隧道，最大高度为 m.利用直线与圆的方程解决实际问题的一般步骤是：(1)认真审题，明确题意；(2)建立平面直角坐标系，用坐标表示点，用方程表示曲线，从而在实际问题中建立直线与圆的方程；(3)利用直线与圆的方程的有关知识求解问题；(4)把代数结果还原为实际问题的结果.变式训练3一艘轮船沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报，台风中心位于轮船正西70 km处，受影响的范围是半径为30 km的圆形区域已知港口位于台风中心正北40 km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？解：以台风中
10、心为坐标原点，以正东方向为x轴正向建立平面直角坐标系(如下图)，其中取10 km为单位长度则受台风影响的圆形区域所对应的圆的方程为x2y29.港口所对应的点的坐标为(0,4)，轮船的初始位置所对应的点的坐标为(7,0)则轮船航线所在直线l的方程为1，即4x7y280.圆心(0,0)到直线4x7y280的距离为d，半径r3.因为dr，所以直线与圆相离所以轮船不会受到台风的影响类型四 坐标法的应用 例4如图所示，AB是O的直径，CD是O的一条弦，且ABCD，E为垂足利用坐标法证明E是CD的中点证明如图所示，以O为原点，以直径AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，设O的半径为r，|OE|m，则O的方
11、程为x2y2r2，设C(m，b1)，D(m，b2)则有m2br2，m2br2，即b1，b2是关于b的方程m2b2r2的根，解方程得b，不妨设b1，b2，则CD的中点的坐标为，即(m,0)故E(m,0)是CD的中点，即E是CD的中点变式训练4直角ABC的斜边为定长m，以斜边的中点O为圆心，作半径为(nm)的圆，分别交BC于P、Q两点，求证|AP|2|AQ|2|PQ|2为定值证明：如下图，以O为原点，以直线PQ为x轴，建立直角坐标系于是有B，C，P，0，Q.设A(x，y)，由已知，点A在圆x2y2上，则AP2AQ2PQ22y22y2n22x22y2n2n2(定值)1圆O1：x2y22x0和圆O2：
12、x2y24y0的位置关系是(D)A.相离B.外切C.内切D.相交解析：圆O1的圆心为(1,0)，半径r11，圆O2的圆心为(0，2)，半径r22，|O1O2|，r1r23，r2r11，所以两圆相交2已知圆A，圆B相切，圆心距为10 cm，其中圆A的半径为4 cm，则圆B的半径为(A)A.6 cm或14 cm B.10 cmC.14 cm D.无解解析：圆A与圆B相切包括内切与外切，104r或10r4，即r6或14.3若圆C1：x2y21与圆C2：x2y26x8ym0外切，则m(C)A.21B.19C.9D.11解析：圆C1的圆心是(0,0)，半径长r11.圆C2：(x3)2(y4)225m，圆
13、心C2(3,4)，半径长r2.由两圆外切，得|C1C2|r1r215，所以m9.4.如右图，圆弧形桥拱的跨度AB12米，拱高CD4米，则拱桥的直径为13米解析：设圆心为O，半径为r，则由勾股定理得，OB2OD2BD2，即r2(r4)262，解得r，所以拱桥的直径为13米5已知圆M：x2y210和圆N：x2y22x2y140.求过两圆交点且面积最小的圆的方程解：设两圆交点为A，B，则以AB为直径的圆就是所求的圆直线AB的方程为xy20.两圆圆心连线的方程为xy0.解方程组得圆心坐标为(1,1)圆心M(0,0)到直线AB的距离为d，弦AB的长为|AB|24，所以所求圆的半径为2.所以所求圆的方程为(x1)2(y1)28.本课须掌握的两大问题1判断圆与圆位置关系的方式通常有代数法和几何法两种，其中几何法较简便易行、便于操作2直线与圆的方程在生产、生活实践以及数学中有着广泛的应用，要善于利用其解决一些实际问题，关键是把实际问题转化为数学问题；要有意识的用坐标法解决几何问题用坐标法解决平面几何问题的思维过程：
