1、第二节函数的单调性与最值热点命题分析学科核心素养从近五年的情况来看，本节是高考的热点，常考查求函数的单调区间，判断函数的单调性，利用单调性比较大小、解不等式等，题型有选择题、填空题，也有解答题，多在第(1)问中考查，难度中等.本节通过函数的单调性、奇偶性、周期性的应用考查数形结合思想、分类讨论思想以及考生的逻辑推理和数学运算核心素养.授课提示：对应学生用书第11页知识点一函数的单调性1单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1x
2、2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数续表增函数减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的2.单调区间的定义如果函数yf(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数yf(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做函数yf(x)的单调区间 温馨提醒 二级结论函数单调性的常用结论(1)若f(x)，g(x)均为区间A上的增(减)函数，则f(x)g(x)也是区间A上的增(减)函数(2)若k0，则kf(x)与f(x)的单调性相同，若k0，则kf(x)与f(x)的单调性相反(3)函数yf(x)(f(x)0)与yf(x)，y在公共定义域内的单调性相反必
3、明易错1若函数在两个不同的区间上单调性相同，则这两个区间要分开写，不能写成并集例如，函数f(x)在区间(1,0)上是减函数，在(0,1)上是减函数，但在(1,0)(0,1)上却不一定是减函数2两函数f(x)，g(x)在x(a，b)上都是增(减)函数，则f(x)g(x)也为增(减)函数，但f(x)g(x)，等的单调性与其正负有关，切不可盲目类比3易混淆两个概念：“函数的单调区间”和“函数在某区间上单调”，前者指函数具备单调性的“最大”的区间，后者是前者“最大”区间的子集1函数yx26x6在区间2,4上是()A递减函数 B递增函数C先递减再递增函数 D先递增再递减函数答案：C2函数y的单调递减区间
4、是()A(，1) B(1，)C(2，) D(，0)答案：C知识点二函数的最值前提设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件(1)对于任意xI，都有f(x)M；(2)存在x0I，使得f(x0)M(1)对于任意xI，都有f(x)M；(2)存在x0I，使得f(x0)M结论M为最大值M为最小值1已知函数f(x)，x2,6，则f(x)的最大值为_，最小值为_答案：22(2021龙岩模拟)函数f(x)xlog2(x4)在区间2,2上的最大值为_解析：由函数的解析式可知f(x)xlog2(x4)在区间2,2上是单调递减函数，则函数的最大值为f(2)2log2(24)918.答案：83函数y|x24
5、x3|的单调递增区间是_解析：函数的图象如图所示由图象可知，函数的递增区间为1,2，3，)答案：1,2，3，)授课提示：对应学生用书第12页题型一函数单调性的判断与单调区间的求法自主探究1(多选题)(2021山东烟台模拟)下列函数中，既是偶函数，又在(0，)上单调递增的是()Af(x)ln(3x)Bf(x)exexCf(x)x21Df(x)cos x3解析：由题易知四个选项中的函数的定义域均为R，对于A，f(x)f(x)ln(3x)ln(3x)0，则f(x)ln(3x)为奇函数，故A不符合题意；对于B，f(x)exexf(x)，即f(x)exex为偶函数，当x(0，)时，设tex(t1)，令y
6、t，由对勾函数的性质可知在(1，)上yt单调递增，又tex单调递增，所以f(x)exex在(0，)上单调递增，故B符合题意；对于C，f(x)(x)21x21f(x)，即f(x)x21为偶函数，由二次函数性质可知f(x)图象的对称轴为直线x0，则f(x)x21在(0，)上单调递增，故C符合题意；对于D，由余弦函数的图象与性质可知f(x)cos x3是偶函数，但在(0，)上不是单调函数，故D不符合题意答案：BC2判断并证明函数f(x)ax2(其中1a3)在x1,2上的单调性解析：设1x1x22，则f(x2)f(x1)ax(x2x1)，由1x1x22，得x2x10,2x1x24，1x1x24，1.又
7、1a3，所以2a(x1x2)12，得a(x1x2)0，从而f(x2)f(x1)0，即f(x2)f(x1)，故当a(1,3)时，函数f(x)在1,2上单调递增确定已知解析式的函数单调区间的三种方法利用导数取值的正负确定函数的单调区间题型二函数的值域(最值)的求法自主探究1已知函数f(x)则f(x)的最小值是_答案：262(一题多解)对于任意实数a，b，定义mina，b设函数f(x)x3，g(x)log2x，则函数h(x)minf(x)，g(x)的最大值是_解析：法一：在同一直角坐标系中，作出函数f(x)，g(x)的图象，依题意，h(x)的图象如图所示易知点A(2,1)为图象的最高点，因此h(x)
8、的最大值为h(2)1.法二：依题意，h(x)当0x2时，h(x)log2x是增函数，当x2时，h(x)3x是减函数，所以h(x)在x2处取得最大值h(2)1.答案：13函数f(x)在区间a，b上的最大值是1，最小值是，则ab_.答案：64函数y的值域为_答案：求函数最值(值域)的方法(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性结合端点值求出最值(值域).(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点求出最值(值域)，若函数的解析式的几何意义较明显，如距离、斜率等，可用数形结合法求解(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后，用基本不等式求最值(值域)(4)
9、导数法：先求出导函数，然后求出给定区间上的极值，再结合端点值，求出最值(值域)(5)换元法：对比较复杂的函数可先通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值(值域)(6)分离常数法：形如y(a0)的函数的值域，经常使用“分离常数法”求解(7)配方法：它是求“二次函数型函数”值域的基本方法，形如F(x)af(x)2bf(x)c(a0)的函数的值域问题均可使用配方法，求解时要注意f(x)整体的取值范围.题型三函数单调性的应用多维探究高考对函数单调性的考查多以选择题、填空题的形式出现，有时也应用于解答题某一问中常见的命题角度有：(1)比较两个函数值或两个自变量的大小；(2)解函数不等式；(3)利用
10、单调性求参数的取值范围或值.考法(一)利用函数的单调性比较大小例1已知函数f(x)的图象关于直线x1对称，当x2x11时，f(x2)f(x1)(x2x1)0恒成立，设af，bf(2)，cf(e)，则a，b，c的大小关系为()AcabBcbaCacb Dbac解析因为f(x)的图象关于直线x1对称所以ff.当x2x11时，f(x2)f(x1)(x2x1)0恒成立，知f(x)在(1，)上单调递减因为12e，所以f(2)ff(e)，所以bac.答案D利用函数的单调性比较函数值或自变量的大小比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间上进行比较，对于选择
11、题、填空题通常选用数形结合的思想方法进行求解考法(二)利用单调性解不等式例2已知函数f(x)若f(2x2)f(x)，则实数x的取值范围是()A(，1)(2，)B(，2)(1，)C(1,2)D(2,1)解析当x0时，两个表达式对应的函数值都为零，函数的图象是一条连续的曲线当x0时，函数f(x)x3为增函数，当x0时，f(x)ln(x1)也是增函数，函数f(x)是定义在R上的增函数因此，不等式f(2x2)f(x)等价于2x2x，即x2x20，解得2x1.答案D利用函数的单调性求解或证明不等式若f(x)在定义域上(或某一区间上)是增(减)函数，则f(x1)f(x2)x1x2)，在解决“与抽象函数有关
12、的不等式”问题时，可通过“脱去”函数符号“f”化为一般不等式求解，但无论如何都必须在同一单调区间内进行需要说明的是，若不等式一边没有“f”，而是常数，应将常数转化为函数值.考法(三)利用单调性求参数的取值范围例3(1)(2021太原模拟)若f(x)x24mx与g(x)在区间2,4上都是减函数，则m的取值范围是()A(，0)(0,1 B(1,0)(0,1C(0，) D(0,1(2)已知f(x)是(，)上的减函数，那么a的取值范围是()A(0,1) BC. D解析(1)由题意得f(x)关于直线x2m对称，2m2，即m1.易知y在2,4上是减函数，若2m0，则g(x)为增函数，故2m0，即m0，综上
13、，0m1.(2)f(x)是(，)上的减函数当x1时，0a1；当x1时，即a，综上，a的取值范围是.答案(1)D(2)C根据函数的单调性构建含参数的方程(组)或不等式(组)进行求解，或先得到图象的升降情况，再结合图象求解注意讨论分段函数的单调性时，除注意各段的单调性外，还要注意分段点处的函数值.题组突破1已知定义在R上的函数f(x)2|xm|1(m为实数)为偶函数，记af(log0.53)，bf(log25)，cf(2m)，则a，b，c的大小关系为()Aabc BacbCcab Dcba解析：f(x)为偶函数，f(x)f(x)，m0，f(x)2|x|1.图象如图所示，由函数的图象可知，函数f(x
14、)在(，0)上是减函数，在(0，)上是增函数af(log0.53)f(log23)，bf(log25)，cf(0)，又log25log230，bac.答案：C2(2021武汉模拟)若函数f(x)2|xa|3在区间1，)上不单调，则a的取值范围是()A1，)B(1，)C(，1) D(，1答案：B3定义在2,2上的函数f(x)满足(x1x2)f(x1)f(x2)0，x1x2，且f(a2a)f(2a2)，则实数a的取值范围为()A1,2) B0,2)C0,1) D1,1)答案：C函数单调性应用问题中的核心素养(一)逻辑推理判断函数单调性的核心素养例1已知函数f(x)对定义在(，2上的任意两个值x1，
15、x2，都有x1f(x1)x2f(x2)x1f(x2)x2f(x1)成立，且函数满足f(x2)f(2x)，若f(a)f(3)，则实数a的取值范围是()A(，1B3，)C1,3 D(，13，)解析由函数f(x)对定义在(，2上的任意两个值x1，x2，都有x1f(x1)x2f(x2)x1f(x2)x2f(x1)成立可知(x1x2)f(x1)f(x2)0成立，即函数f(x)是(，2上的增函数，又函数满足f(x2)f(2x)，则函数f(x)关于直线x2对称，由f(a)f(3)可知|a2|32|，所以a21或a21，即a1或a3.所以实数a的取值范围是(，13，)答案D求解与函数的单调性有关的问题，首先应
16、判断函数的单调性，然后根据函数的单调性求解，而判断函数的单调性需要利用推理论证法(二)数学抽象抽象函数中的单调性应用问题例2已知定义在R上的函数f(x)满足：f(xy)f(x)f(y)1，当x0时，f(x)1.(1)求f(0)的值，并证明f(x)在R上是单调递增函数；(2)若f(1)1，解关于x的不等式f(x22x)f(1x)4.解析(1)令xy0，得f(0)1.证明：在R上任取x1x2，则x1x20，f(x1x2)1.又f(x1)f(x1x2)x2f(x1x2)f(x2)1f(x2)，所以函数f(x)在R上是单调递增函数(2)由f(1)1，得f(2)3，f(3)5.由f(x22x)f(1x)
17、4得f(x2x1)f(3)，又函数f(x)在R上是增函数，故x2x13，解得x2或x1，故原不等式的解集为x|x2或x1求解抽象函数问题的切入点与关键点切入点：(1)对于抽象函数的单调性的证明，只能考虑用定义证明；(2)将不等式中的抽象函数符号“f”运用单调性“去掉”关键点：(1)根据单调性定义，赋值构造出f(x2)f(x1)，并与0比较大小；(2)根据已知条件，将所求的不等式转化为f(M)f(N)的形式，从而利用单调性求解题组突破1已知函数f(x)x2(2a1)x5，若对任意的x1，x2(4，)，当x1x2时，总有f(x1)f(x2)x2x1，则实数a的取值范围是_答案：(，42已知函数f(
18、x)的定义域为x|xR，且x0，对定义域内的任意x1，x2，都有f(x1x2)f(x1)f(x2)，且当x1时，f(x)0.(1)求证：f(x)是偶函数；(2)求证：f(x)在(0，)上是增函数证明：(1)因为对定义域内的任意x1，x2都有f(x1x2)f(x1)f(x2)，令x1x，x21，则有f(x)f(x)f(1)又令x1x21，得2f(1)f(1)再令x1x21，得f(1)0，从而f(1)0，于是有f(x)f(x)，所以f(x)是偶函数(2)设0x1x2，则f(x1)f(x2)f(x1)ff(x1)f，由于0x1x2，所以1，从而f0，故f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，所以f(x)在(0，)上是增函数
