1、第八节离散型随机变量的均值与方差、正态分布热点命题分析学科核心素养从近五年的高考来看，离散型随机变量的均值与方差、正态分布的应用是命题的热点，一般为解答题，难度中档偏上.通过离散型随机变量的均值与方差、正态分布，主要考查数据分析与数学运算及数学建模核心素养.授课提示：对应学生用书第210页知识点一均值与方差1均值(1)一般地，若离散型随机变量X的分布列为：Xx1x2xixnPp1p2pipn则称E(X)x1p1x2p2xipixnpn为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平(2)若YaXb，其中a，b为常数，则Y也是随机变量，且E(aXb)aE(X)b.(3)若X服从
2、两点分布，则E(X)p；若XB(n，p)，则E(X)np.2方差(1)设离散型随机变量X的分布列为Xx1x2xixnPp1p2pipn则(xiE(X)2描述了xi(i1,2，n)相对于均值E(X)的偏离程度而D(X)(xiE(X)2pi为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，称D(X)为随机变量X的方差，并称其算术平方根为随机变量X的标准差(2)D(aXb)a2D(X)(3)若X服从两点分布，则D(X)p(1p)(4)若XB(n，p)，则D(X)np(1p) 温馨提醒 二级结论1若x1，x2相互独立，则E(x1x2)E(x1)E(x2)2均值与方差的关系：D(
3、X)E(X2)E2(X)3超几何分布的均值：若X服从参数为N，M，n的超几何分布，则E(X).必明易错1理解均值E(X)易失误，均值E(X)是一个实数，由X的分布列唯一确定，即X作为随机变量是可变的，而E(X)是不变的，它描述X值的取值平均状态2注意E(aXb)aE(X)b，D(aXb)a2D(X)易错 1已知随机变量X的取值为0,1,2，若P(X0)，E(X)1，则D(X)()A.BC.D答案：A2已知X的分布列为X101P设Y2X3，则E(Y)_.答案：3在一次招聘中，主考官要求应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，并独立完成所抽取的3道题乙能正确完成每道题的概率为，且每道题完成与否互
4、不影响记乙能答对的题数为Y，则Y的数学期望为_答案：2知识点二正态分布1正态曲线的特点(1)曲线位于x轴上方，与x轴不相交；(2)曲线是单峰的，它关于直线x对称；(3)曲线在x处达到峰值；(4)曲线与x轴之间的面积为1；(5)当一定时，曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿x轴平移；(6)当一定时，曲线的形状由确定，越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散2正态分布的三个常用数据(1)P(X)0682_6；(2)P(2X2)0954_4；(3)P(32)0.023，则P(22)()A0.954B0.977 C0.488D0.477答案：A2已知某批零
5、件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N(0,32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3,6)内的概率为()(附：若随机变量服从正态分布N(，2)，则P()68.26%，P(22c1)P(Xc3)，则c_.答案：授课提示：对应学生用书第211页题型一离散型随机变量的均值与方差合作探究例(2021八省联考模拟卷)一台设备由三个部件构成，假设在一天的运转中，部件1,2,3需要调整的概率分别为0.1,0.2,0.3，各部件的状态相互独立(1)求设备在一天的运转中，部件1,2中至少有1个需要调整的概率；(2)记设备在一天的运转中需要调整的部件个数为X，求X的分布列及数学期望解析(1)设部件1需要调
6、整为事件A，部件2需要调整为事件B，部件3需要调整为事件C，由题意可知：P(A)0.1，P(B)0.2，P(C)0.3.部件1,2中至少有1个需要调整的概率为：11P(A)1P(B)10.90.810.720.28.(2)由题意可知X的取值为0,1,2,3.P(X0)1P(A)1P(B)1P(C)(10.1)(10.2)(10.3)0.504，P(X1)P(A)1P(B)1P(C)1P(A)P(B)1P(C)1P(A)1P(B)P(C)0.10.80.70.90.20.70.90.80.30.398，P(X2)P(A)P(B)1P(C)P(A)1P(B)P(C)1P(A)P(B)P(C)0.1
7、0.20.70.10.80.30.90.20.30.092.P(X3)P(A)P(B)P(C)0.10.20.30.006，故X的分布列为：X0123P(X)0.5040.3980.0920.006数学期望E(X)0.50400.39810.09220.00630.6.1.求离散型随机变量的均值与方差关键是确定随机变量的所有可能值，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差公式进行计算2.注意E(aXb)aE(X)b，D(aXb) a2D(X)的应用.对点训练(2021西安八中模拟)为了预防春季流感，市防疫部门提供了编号为1,2,3,4的四种疫苗供市民选择注射，每个人均能从中任选一个编号的疫苗接
8、种，现有甲，乙，丙三人接种疫苗(1)求三人注射的疫苗编号互不相同的概率；(2)设三人中选择的疫苗编号最大数为X，求X的分布列及数学期望解析：(1)由题意可知，总的基本事件为4364，三人注射的疫苗批号互不相同的基本事件数为A24，所以所求的概率为P；(2)由题意知随机变量X的可能取值为1,2,3,4；计算P(X1)，P(X2)，P(X3)，P(X4)，所以X的分布列为X1234P数学期望为E(X)1234. 题型二正态分布合作探究 例(2021合肥市高三二检)为了解A市高三学生的数学复习备考情况，该市教研机构组织了一次检测考试，并随机抽取了部分高三理科学生的数学成绩绘制了如图所示的频率分布直方
9、图(1)根据频率分布直方图，试估计该市参加此次检测考试的理科学生的数学平均成绩0；(精确到个位)(2)研究发现，本次检测考试的理科数学成绩X近似服从正态分布N(，2)，其中0，19.3.按以往的统计数据，理科数学成绩能达到升一本分数要求的学生约占46%，据此估计在本次检测考试中达到升一本的理科数学成绩是多少分？(精确到个位)已知A市高三理科学生约有10 000名，某理科学生在此次检测考试中数学成绩为107分，则该学生在全市的排名大约是多少？说明：P(xx1) 1表示xx1的概率，用来将非标准正态分布化为标准正态分布，即XN(0,1)，从而利用标准正态分布表(x0)，求xx1时的概率P(xx1)
10、，这里x0.相应于x0的值(x0)是指总体取值小于x0的概率，即(x0)P(x2知，方案2投资较少利用均值、方差进行决策的两个方略(1)当均值不同时，两个随机变量取值的水平可见分歧，可对问题作出判断(2)若两随机变量均值相同或相差不大，则可通过分析两变量的方差来研究随机变量的离散程度或者稳定程度，进而进行决策对点训练(2021佛山模拟)某公司为招聘新员工设计了一个面试方案：应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按照题目要求独立完成规定：至少正确完成其中2道题的便可通过已知6道备选题中应聘者甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响(1)
11、分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列及数学期望；(2)请分析比较甲、乙两人谁面试通过的可能性大？解析：(1)设甲正确完成面试的题数为，则的可能取值为1,2,3.P(1)；P(2)；P(3). 应聘者甲正确完成题数的分布列为123PE()1232.设乙正确完成面试的题数为，则的可能取值为0,1,2,3.P(0)C3；P(1)C12；P(2)C2；P(3)C3.应聘者乙正确完成题数的分布列为0123PE()01232.(2)因为D()(12)2(22)2(32)2，D()3.所以D()D()综上所述，从做对题数的数学期望来看，两人水平相当；从做对题数的方差来看，甲较稳定；从至少完成2道题的概率
12、来看，甲面试通过的可能性大离散型随机变量的期望与方差应用中的核心素养逻辑推理期望与方差的创新交汇应用问题离散型随机变量的期望多在解答题中考查除独立考查外，还与正态分布，统计等交汇考查例(2019高考全国卷)为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1
13、分，乙药得1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分甲、乙两种药的治愈率分别记为和，一轮试验中甲药的得分记为X.(1)求X的分布列；(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，pi(i0,1，8)表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则p00，p81，piapi1bpicpi1(i1,2，7)，其中aP(X1)，bP(X0)，cP(X1)假设0.5，0.8.证明：pi1pi(i0,1,2，7)为等比数列；求p4，并根据p4的值解释这种试验方案的合理性解析(1)X的所有可能取值为1,0,1.P(X1)(1)，
14、P(X0)(1)(1)，P(X1)(1)所以X的分布列为X101P(1)(1)(1)(1)(2)证明：由(1)得a0.4，b0.5，c0.1，因此pi0.4pi10.5pi0.1pi1，故0.1(pi1pi)0.4(pipi1)，即pi1pi4(pipi1)又因为p1p0p10，所以pi1pi(i0,1,2，7)是公比为4，首项为p1的等比数列由可得p8p8p7p7p6p1p0p0(p8p7)(p7p6)(p1p0)p1.由于p81，故p1，所以p4(p4p3)(p3p2)(p2p1)(p1p0)p1.p4表示最终认为甲药更有效的概率由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8
15、时，认为甲药更有效的概率为p40.003 9，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种试验方案合理对点训练已知A1，A2，A3，A10等10所高校举行自主招生考试，某同学参加每所高校的考试获得通过的概率均为p(0p1)(1)如果该同学10所高校的考试都参加，恰有m(1m10)所通过的概率为f(p)，当p为何值时，f(p)取得最大值；(2)若p，该同学参加每所高校考试所需的费用均为a元，该同学决定按A1，A2，A3，A10顺序参加考试，一旦通过某所高校的考试，就不再参加其他高校的考试，否则，继续参加其他高校的考试，求该同学参加考试所需费用的分布列及数学期望解析：(1)因为该同学通过各校考试的概率均为p，所以该同学恰好通过m(1m10)所高校自主招生考试的概率为f(p)Cpm (1p)10m，f(p)Cmpm1(1p)10m(10m)pm(1p)9mCpm1(1p)9mm(1p)(10m)pCpm1(1p)9m(m10p)，当0p0，f(p)单调递增；当p1时，f(p)0，f(p)单调递减，所以当p时，f(p)取得最大值(2)设该同学共参加了i次考试的概率为Pi(1i10，iZ)因为PiiZ，所以该同学参加考试所需费用的分布列如下：a2a3a4a5a6a7a8a9a10aP所以E()a，令S129，则S1289，由得S9，所以S19，所以E()aaa2aa(元)
