1、第一章章末学考测评(满分：150分测试时间：120分钟)第卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1全称命题“xZ,2x1是整数”的逆命题是(A)A若2x1是整数，则xZB若2x1是奇数，则xZC若2x1是偶数，则xZD若2x1能被3整除，则xZ解析 xZ,2x1是整数，即任意的一个整数x，使2x1是整数成立逆命题只需将原命题的条件和结论交换2已知p，q是简单命题，则“(p)(q)是真命题”是“p是假命题”的(A)A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件解析 (p)(q)为真命题，(p)和(q)都是
2、真命题，则p，q都是假命题“(p)(q)是真命题”能推出“p是假命题”，反之不能推出故“(p)(q)是真命题”是“p是假命题”的充分而不必要条件3下列命题中，既是真命题又是特称命题的是(A)A有一个，使tan(90)B存在实数x，使sin xC对一切，sin(180)sin Dsin 15sin 60cos 45cos 60sin 45解析 B中命题为假命题，C中命题为全称命题，D不是特称命题，A中命题既是真命题又是特称命题故选A4命题“x R，|x|x20”的否定是(C)Ax R，|x|x20Bx R，|x|x20Cx0 R，|x0|x0Dx0 R，|x0|x0解析 利用全称命题的否定是特称
3、命题求解“xR，|x|x20”的否定是“x0R，|x0|x1是1是1的充分不必要条件6设p：log2x1，则p是q的(B)A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件解析 p：log2x00x1x5；q：2x35Bp：a2，b2；q：abCp：四边形的两条对角线互相垂直平分；q：四边形是正方形Dp：a0；q：关于x的方程ax1有唯一解解析 由3x25得x1，由2x35得xb0，则ab0，所以alg x0，命题q：xR，x20，则(C)A命题pq是假命题B命题pq是真命题C命题p(q)是真命题D命题p(q)是假命题解析 由于x10时，x28，lg xlg 101，故命题p为真
4、命题，令x0，则x20，故命题q为假命题，依据复合命题真假性的判断法则，可知命题pq是真命题，命题pq是假命题，q是真命题，进而得到命题p(q)是真命题，命题p (q)是真命题故选C12下列四个命题：存在x(0，)，使不等式2x3x成立；不存在x(0,1)，使不等式log2xlog3x成立；任意的x(0，)，不等式log2x2x成立；任意的x(0，)，不等式log2x成立其中的真命题是(A)ABCD解析 作出指数函数y2x与y3x的图象(图略)，由图象知“存在x(0，)，使不等式2x3x成立”正确，排除C，D；作出y2x与ylog2x的图象(图略)，由图象知“任意的x(0，)，不等式log2x
5、2x成立”正确，故选A第卷二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中横线上)13命题“若实数a满足a2，则a22，则a24.因为由a2可得a24，所以a24成立，故为真命题14已知p：4xa0，若p是q的充分条件，则实数a的取值范围是_1,6_.解析 p：a4xa4，q：2x3.由p是q的充分条件可知，q是p的充分条件，即qp，1a6.15“相似三角形的面积相等”的否命题是_若两个三角形不相似，则它们的面积不相等_，原命题的否定是_相似三角形的面积不相等_.解析 “若p，则q”为原命题，它的否命题是“若非p，则非q”，它的否定是“若p，则非q”16若命题“xR，使x2(a1
6、)x10”是真命题，则实数a的取值范围是_(，1)(3，)_.解析 xR，使得x2(a1)x10，解得a3或a1.三、解答题(本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(10分)若a，b，cR，写出命题“若ac0，则方程ax2bxc0有两个不相等的实数根”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假解析 逆命题：若方程ax2bxc0有两个不相等的实数根，则ac0.假命题否命题：若ac0，则方程ax2bxc0没有两个不相等的实数根假命题逆否命题：若方程ax2bxc0没有两个不相等的实数根，则ac0.真命题18(12分)分别写出由下列各组命题构成的“pq”“pq”“p”形
7、式的复合命题，并判断它们的真假(1)p：平行四边形的对角线相等，q：平行四边形的对角线互相平分；(2)p：方程x2160的两根的符号不同，q：方程x2160的两根的绝对值相等解析 (1)pq：平行四边形的对角线相等或互相平分pq：平行四边形的对角线相等且互相平分p：平行四边形的对角线不相等因为p假q真，所以pq为真命题，pq为假命题，p为真命题(2)pq：方程x2160的两根的符号不同或绝对值相等pq：方程x2160的两根的符号不同且绝对值相等p：方程x2160的两根的符号相同因为p真q真，所以pq，pq均为真命题，p为假命题19(12分)求证：函数f(x)x2|xa|1是偶函数的充要条件是a
8、0.证明 先证充分性，若a0，则函数f(x)x2|xa|1是偶函数因为a0，所以f(x)x2|x|1(xR)因为f(x)(x)2|x|1x2|x|1，所以f(x)是偶函数再证必要性，若f(x)x2|xa|1是偶函数，则a0.因为f(x)是偶函数，所以f(x)f(x)，即(x)2|xa|1x2|xa|1，从而|xa|xa|，即(xa)2(xa)2，展开并整理，得ax0.因为xR，所以a0.20(12分)已知直线l1：yx1.(1)若有直线l2：yxk(k1)，求直线l1l2的充要条件；(2)当x1,2时，直线l1恒在x轴上方，求k的取值范围解析 (1)由题意得解得k2.当k2时，l1：yx1，l
9、2：yx2，此时l1l2.所以直线l1l2的充要条件为k2.(2)设f(x)x1.由题意，得即解得1k0，都有f(s)0，f(t)0，且f(s)f(t)0，xm0(mR，且m0)，都有mf(xm)f(x)0.解析 (1)令s1，t3，则f1(s)f1(t)3，f1(st)log250时，f2(s)f2(t)f2(st)2s12t1(2st1)2s(12t)(2t1)(2s1)(12t)0.f2(s)f2(t)0时，f(m)0，f(xm)f(x)f(m)，mf(xm)f(x)0.当m0，f(x)f(xmm)f(xm)f(m)f(xm)，f(xm)f(x)0.综上，mR，且m0时，都有mf(xm)f(x)0.22(12分)给出两个命题：命题甲：关于x的不等式x2(a1)xa20的解集为；命题乙：函数y(2a2a)x为增函数分别求出符合下列条件的实数a的取值范围(1)甲、乙至少有一个是真命题；(2)甲、乙中有且只有一个是真命题解析 命题甲为真命题时，(a1)24a2或a1，即a1或a.(1)甲、乙两个命题中至少有一个是真命题时，有甲真乙假或甲假乙真或甲真乙真三种情况，故a的取值范围是.(2)甲、乙两个命题中有且只有一个是真命题，有两种情况：甲真乙假时，a1；甲假乙真时，1a，甲、乙两个命题中有且只有一个是真命题时，a的取值范围为.