1、1.2函数及其表示1.2.1函数的概念学 习 目 标核 心 素 养1.进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型能用集合与对应的语言刻画出函数，体会对应关系在刻画数学概念中的作用(重点、难点)2.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域(重点)3.能够正确使用区间表示数集(易混点)1通过学习函数的概念，提升数学抽象素养2借助函数定义域的求解，提升数学运算素养3借助f(x)与f(a)的关系，培养逻辑推理素养.1函数的概念定义设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：AB为从集合A到
2、集合B的一个函数三要素对应关系yf(x)，xA定义域自变量x的取值范围值域与x的值相对应的y的值的集合f(x)|xA思考1：(1)有人认为“yf(x)”表示的是“y等于f与x的乘积”，这种看法对吗？(2)f(x)与f(a)有何区别与联系？提示：(1)这种看法不对符号yf(x)是“y是x的函数”的数学表示，应理解为x是自变量，它是关系所施加的对象；f是对应关系，它可以是一个或几个解析式，可以是图象、表格，也可以是文字描述；y是自变量的函数，当x允许取某一具体值时，相应的y值为与该自变量值对应的函数值yf(x)仅仅是函数符号，不表示“y等于f与x的乘积”在研究函数时，除用符号f(x)外，还常用g(
3、x)，F(x)，G(x)等来表示函数(2)f(x)与f(a)的区别与联系：f(a)表示当xa时，函数f(x)的值，是一个常量，而f(x)是自变量x的函数，一般情况下，它是一个变量，f(a)是f(x)的一个特殊值，如一次函数f(x)3x4，当x8时，f(8)38428是一个常数2区间及有关概念(1)一般区间的表示设a，bR，且ab，规定如下：定义名称符号数轴表示x|axb闭区间a，bx|axb开区间(a，b)x|axb半开半闭区间a，b)x|a0得x1.所以函数的定义域为(1，)2若f(x)，则f(3)_.f(3).3用区间表示下列集合：(1)x|10x100用区间表示为_；(2)x|x1用区间
4、表示为_(1)10,100(2)(1，)结合区间的定义可知(1)为10,100，(2)为(1，)函数的概念【例1】(1)判断下列对应是不是从集合A到集合B的函数AN，BN*，对应法则f：对集合A中的元素取绝对值与B中元素对应；A1,1,2，2，B1,4，对应法则f：xyx2，xA，yB；A1,1,2，2，B1,2,4，对应法则f：xyx2，xA，yB；A三角形，Bx|x0，对应法则f：对A中元素求面积与B中元素对应(2)下列各组函数是同一函数的是()f(x)与g(x)x；f(x)x与g(x)；f(x)x0与g(x)；f(x)x22x1与g(t)t22t1.ABCD(1)解对于A中的元素0，在f
5、的作用下得0，但0不属于B，即A中的元素0在B中没有元素与之对应，所以不是函数对于A中的元素1，在f的作用下与B中的1对应，A中的元素2，在f的作用下与B中的4对应，所以满足A中的任一元素与B中唯一元素对应，是“多对一”的对应，故是函数对于A中的任一元素，在对应关系f的作用下，B中都有唯一的元素与之对应，如1对应1，2对应4，所以是函数集合A不是数集，故不是函数(2)Cf(x)|x|与yx的对应法则和值域不同，故不是同一函数g(x)|x|与f(x)x的对应法则和值域不同，故不是同一函数f(x)x0与g(x)都可化为y1且定义域是x|x0，故是同一函数f(x)x22x1与g(t)t22t1的定义
6、域都是R，对应法则也相同，而与用什么字母表示无关，故是同一函数由上可知是同一函数的是.故选C.1判断对应关系是否为函数的2个条件(1)A，B必须是非空数集(2)A中任意一元素在B中有且只有一个元素与之对应对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系，“一对多”的不是函数关系2判断函数相等的方法(1)先看定义域，若定义域不同，则不相等；(2)若定义域相同，再化简函数的解析式，看对应关系是否相同1.下列四个图象中，不是函数图象的是()ABCDB根据函数的定义知：y是x的函数中，x确定一个值，y就随之确定一个值，体现在图象上，图象与平行于y轴的直线最多只能有一个交点，对照选项，可知只有B不符合此条件
7、故选B.2下列各组函数中是相等函数的是()Ayx1与yByx21与st21Cy2x与y2x(x0)Dy(x1)2与yx2BA、C选项中两函数的定义域不同，D选项中两函数的对应关系不同，故A、C、D错误，选B.求函数值【例2】(教材改编题)设f(x)2x22，g(x)，(1)求f(2)，f(a3)，g(a)g(0)(a2)，g(f(2)(2)求g(f(x)思路点拨：(1)直接把变量的取值代入相应函数解析式，求值即可；(2)把f(x)直接代入g(x)中便可得到g(f(x)解(1)因为f(x)2x22，所以f(2)222210，f(a3)2(a3)222a212a20.因为g(x)，所以g(a)g(
8、0)(a2)g(f(2)g(10).(2)g(f(x).函数求值的方法(1)已知f(x)的表达式时，只需用a替换表达式中的x即得f(a)的值.(2)求f(g(a)的值应遵循由里往外的原则.3已知f(x)x32x3，求f(1)，f(t)，f(2a1)和f(f(1)的值解f(1)132136；f(t)t32t3；f(2a1)(2a1)32(2a1)38a312a210a；f(f(1)f(1)32(1)3)f(0)3.求函数的定义域探究问题1已知函数的解析式，求其定义域时，能否可以对其先化简再求定义域？提示：不可以如f(x).倘若先化简，则f(x)，从而定义域与原函数不等价2若函数yf(x1)的定义
9、域是1,2，这里的“1,2”是指谁的取值范围？函数yf(x)的定义域是什么？提示：1,2是自变量x的取值范围函数yf(x)的定义域是x1的范围2,3【例3】求下列函数的定义域：(1)f(x)x22x1；(2)f(x)2；(3)f(x)(x1)0；(4)f(x).思路点拨：要求函数的定义域，只需分母不为0，偶次方根中被开方数大于等于0即可解(1)f(x)是整式型函数，定义域为R.(2)当且仅当x20，即x2时，函数y2有意义，所以这个函数的定义域为x|x2(3)函数有意义，当且仅当解得x1且x1，所以这个函数的定义域为x|x1且x1(4)函数有意义，当且仅当解得1x3，所以这个函数的定义域为x|
10、1x3(变结论)在本例(4)条件不变的前提下，求函数yf(x1)的定义域解由1x13得0x2.所以函数yf(x1)的定义域为0,2求函数定义域的常用方法(1)若f(x)是整式型函数，则定义域为R.(2)若f(x)是分式型函数，则应考虑使分母不为零(3)若f(x)是偶次根式型函数，则被开方数大于或等于零(4)函数yx0的x0.(5)若f(x)是由几个式子构成的，则函数的定义域是几个部分定义域的交集(6)若f(x)是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义提醒：函数的定义域必须用集合或区间表示若用区间表示数集，不能用“或”连接，应用并集符号“”连接1核心要点：(1)函数定义的理解(2)
11、函数的三要素：定义域、对应法则、值域判定两个函数是否相同时，就看定义域和对应法则是否完全一致，完全一致的两个函数才算同一函数2数学方法：给出函数解析式，求函数定义域的方法就是使函数表达式有意义的自变量的取值集合1思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)区间表示数集，数集一定能用区间表示()(2)数集x|x2可用区间表示为2，()(3)函数的定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了()(4)函数值域中每一个数在定义域中一定只有一个数与之对应()(5)函数的定义域和值域一定是无限集合()答案(1)(2)(3)(4)(5)2下列函数中，与函数yx相等的是()Ay()2ByCy|x|DyD函数yx的定义域为R；y()2的定义域为0，)；y|x|，对应关系不同；y|x|对应关系不同；yx，且定义域为R.故选D.3将函数y的定义域用区间表示为_(，0)(0,1由解得x1且x0，用区间表示为(，0)(0,14已知函数f(x)x，(1)求f(x)的定义域；(2)求f(1)，f(2)的值；(3)当a1时，求f(a1)的值解(1)要使函数f(x)有意义，必须使x0，f(x)的定义域是(，0)(0，)(2)f(1)12，f(2)2.(3)当a1时，a10，f(a1)a1.
