1、广东省仲元中学、中山一中等七校联合体2021届高三数学上学期第一次联考试题本试卷共4页，22小题，满分150分考试用时120分钟注意事项：1答卷前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。2回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。3.回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷、草稿纸或答题卡的非答题区上无效。4考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回第卷一 选择题:本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.设集合,则满足的集合B的个数是()A1
2、 B3 C4 D82.已知()A . BCD3.设点是函数的图象C的一个对称中心，若点到图象C的对称轴上的距离的最小值，则的最小正周期是()AB. C. D. 4.已知向量，是不平行于轴的单位向量，且，则()A（） B（） C（） D（）5.若的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为()A540 （B）162 C162 （D）5406.已知是周期为2的奇函数，当时，设（）A BCD7若点P是曲线上任意一点，则点P到直线的最小距离为()A 1 BCD28有A、B、C、D、E、F共6个集装箱，准备用甲、乙、丙三辆卡车运送，每台卡车一次运两个。若卡车甲不能运A箱，卡车乙不能运D箱，此外无其它
3、任何限制；要把这6个集装箱分配给这3台卡车运送，则不同的分配方案的种数为（）A168 B 84 C56 D 42二、多项选择题:本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，漏选的得3分，错选或不选的得0分。9.下列四个条件中，是的充分条件的是（），B为双曲线，C，10设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并且满足条件，则下列结论正确的是（）A BC的最大值为 D的最大值为11如图,在长方体中，分别为棱，的中点，则下列说法正确的是（）A 四点共面B 平面C 直线与所成角的为D 平面平面12四边形内接于圆，下列结论正确的有（）A四边形为梯形B
4、四边形的面积为C圆的直径为7 D的三边长度可以构成一个等差数列第卷三、填空题:本题共4小题每小题5分，其中第16题共两空答对一空得3分，答对两空得5分13.若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则的值为_14.若随机变量_15.设函数.若是偶函数，则_。16已知过球面上三点A、B、C的截面到球心的距离等于球半径的一半，且AB=6，AC=8，BC=10，则球的半径等于_ ,球的表面积等于_四、解答题:本题共6小题，满分70分解答须写出文字说明证明过程或演算步骤17.(本小题满分10分)已知等差数列的前项和为（1）求的值；（2）若的等差中项为14，且满足，求数列的前项和.18.（本小题满分12分）B
5、DCA如图,是直角斜边上一点,记(1) 求的值.(2) 若,求的值.19（本小题满分12分）如图，四棱锥SABCD的底面是正方形，SD平面ABCD，点E是上的点，且（1）求证：对任意的，都有（2）设二面角CAED的大小为，直线BE与平面ABCD所成的角为，若，求的值w.w.w.c.o.m 20.（本小题满分12分）现有甲、乙两个项目，对甲项目每投资十万元，一年后利润是1.2万元、1.18万元、1.17万元的概率分别为、;已知乙项目的利润与产品价格的调整有关,在每次调整中价格下降的概率都是,设乙项目产品价格在一年内进行2次独立的调整,记乙项目产品价格在一年内的下降次数为,对乙项目每投资十万元,
6、取0、1、2时, 一年后相应利润是1.3万元、1.25万元、0.2万元.随机变量、分别表示对甲、乙两项目各投资十万元一年后的利润.(1) 求、的概率分布和数学期望、;(2) 当时,求的取值范围.21.（本小题满分12分）已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在轴上，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，离心率为。(1)求椭圆的方程；（2)直线过点P(0,2)且与椭圆相交于A、B两点，当面积取得最大值时，求直线的方程.22 （本小题满分12分）已知函数（1）讨论的单调性；（2）若，不等式对恒成立，求的取值范围.七校联合体2021届高三第一次联考试卷（8月）数学答案第卷选择题题号123456789
7、101112答案CACBADBDBCADCDABD详细答案1、解析，则集合B中必含有元素3，即此题可转化为求集合的子集个数问题，所以满足题目条件的集合B共有个。故选择答案C。2、解析：，由、是实数，得，故选择A。4、解：设（x，y），则有解得x，y，选B5.解析：若的展开式中各项系数之和为=64，则展开式的常数项为=540，选A.6.解：已知是周期为2的奇函数，当时，设，0，选D.7.解析因为点P是曲线任意一点，所以当点P处的切线和直线yx2平行时，点P到直线yx2的距离最小因为直线yx2的斜率等于1，曲线的导数，令y1，可得x1或 (舍去)，所以在曲线与直线yx2平行的切线经过的切点坐标为(
8、1,0)，所以点P到直线yx2的最小距离为，故选：B8分两类：甲运D箱，有种；甲不运D箱，有。不同的分配方案共有+=42（种），选（D）。9.解：A. p不是q的充分条件，也不是必要条件；B. p是q的充分条件，不是必要条件；C. p是q的充要条件；D.必要不充分 答案BC10.答案AD由题意得11.答案CD (1)由图显然、是异面直线，故四点不共面，故A错误；(2)平面，显然与平面不平行，故B错误；(3)取的中点，连接、，可知三角形为等边三角形，故C正确； (4)由题意平面，故平面平面，故D正确；12.答案ABD【解析】可证显然不平行即四边形为梯形，故正确；在中由余弦定理可得解得或（舍去）故
9、B正确在中由余弦定理可得圆的直径不可能是，故C错误；在中，满足的三边长度可以构成一个等差数列，故正确；第卷非选择题13、解：双曲线的右焦点为(2,0)，所以抛物线的焦点为(2,0)，则，14解：随机变量所以正态曲线关于对称所以15、解析：，则=为偶函数， .16、 的外接圆半径为，球的半径为，表面积为17、解析：本小题考查数列的概念，等差数列，等比数列，对数与指数互相转化等基础知识。考查综合运用数学知识解决问题的能力。满分10分.解法：当时，1分2分是等差数列,4分()解：,是等差数列,6分又8分即是等比数列.所以数列的前项和1018解：（1）3分6分(2)在中，根据正弦定理若AC=DC8分由
10、（1）得10分又因为在直角ABC中11分12分19证法：以D为原点，的方向分别作为x，y，z轴的正方向建立如 图2所示的空间直角坐标系，则 D（0，0，0），,B（，0），C（0，0），E（0，0）， 即。4分（2）由（I）得.设平面ACE的法向量为n=(x，y，z)，则由得6分易知平面ABCD与平面ADE的一个法向量分别为.10分. 由于，解得，即为所求。 12分（解法二）证明：如图1，连接BE、BD，由底面ABCD是正方形可得ACBD。SD平面ABCD，BD是BE在平面ABCD上的射影，ACBE4分（）如图1，由SD平面ABCD知，DBE= ,SD平面ABCD，CD平面ABCD, SDCD
11、。 又底面ABCD是正方形， CDAD，而SD AD=D，CD平面SAD.连接AE、CE，过点D在平面SAD内作DEAE于F，连接CF，则CFAE，故CFD是二面角C-AE-D的平面角，即CFD=。在RtBDE中， BD=2a，DE=， ，在RtADE中, 从而在中，. 由，解得，即为所求.20【(I)解法1: 的概率分布为1.21.181.17PE=1.2+1.18+1.17=1.18.2分由题设得,则的概率分布为012P故的概率分布为1.31.250.2P所以的数学期望为E=+=.8分(II) 由,得: 因0p1,所以时,p的取值范围是0p0.3.12分解法2: 的概率分布同解法一； 的概
12、率分布解法如下设表示事件”第i次调整,价格下降”(i=1,2),则P(=0)= ;P(=1)=;P(=2)=故的概率分布为1.31.250.2P所以的数学期望为E=+=.21解：设椭圆方程为（）由已知得所求椭圆方程为.4分（）解法一：由题意知直线的斜率存在，设直线的方程为由，消去y得关于x的方程：由直线与椭圆相交于A、B两点，解得又由韦达定理得原点到直线的距离.解法1：令，则当且仅当即时，此时.所以，所求直线方程为12分解法2：对两边平方整理得：（*），整理得：又，从而的最大值为，此时代入方程（*）得所以，所求直线方程为：.解法二：由题意知直线l的斜率存在且不为零.设直线l的方程为，则直线l与x轴的交点，由解法一知且，解法1：=.下同解法一.解法2：=下同解法一.12分22【解析】（1）.当时，恒成立，所以在单调递增。当时，令，得；令，得.所以的单调递减区间为，单调递增区间为.当时令，得；令，得.所以的单调递减区间为，单调递增区间为.6分（2）因为，所以对恒成立等价于对恒成立.设，令，得；令，得.所以，所以.取，则，即，所以.设，因为，所以方程必有解，所以当且仅当时，函数得最小值，且最小值为2，所以，即m的取值范围为，12分
