1、试卷第 1 页，总 4 页武汉市第四十九中学2020-2021 学年度高一年级五月考试数学试题 第 I 卷（选择题）一单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每个小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合要求的）1已知向量(1,2),(2,3)ab，则a b （）A-8B4C7D-12在 ABC中,已知6 3,6,30bcC,则 a A6B12C6 或 12D无解3如图所示，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为 45，腰和上底边长均为 1 的等腰梯形，则这个平面图形的面积是（）A 1222B122C12D 2 24复数cos67.5sin67.5zi，则22z
2、z（）A2222B2222 iC2222 iD15如图是一个几何体的平面展开图，其中四边形 ABCD是正方形，,E F 分别是,PA PD 的中点，在此几何体中，给出下面四个结论：直线 BE 与直线CF 是异面直线；直线 BE 与直线 AF 异面直线/EF平面 PBC；平面 BCE 平面 PAD。其中正确的有（）ABCD6在棱长为1的正方体1111ABCDA B C D中，点 P 在线段1AD 上运动，则下列命题中错误的是（）A直线1PC 和平面11AA D D所成的角为定值B点 P 到平面1C BD 的距离为定值C异面直线1C P 和1CB 所成的角为定值D直线CD 和平面1BPC 平行题
3、6 图题 7 图题 8 图试卷第 2 页，总 4 页7如上图，在长方体1111ABCDA B C D中，1ABAD，12AA，M 为棱1DD 上的一点，当1A MMC取最小值时，1B M 的长为（）A2 3B 5C6D 38九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑若三棱锥 PABC 为鳖臑，PA平面 ABC，PAAB2，AC4，三棱锥 PABC的四个顶点都在球 O 的球面上，则球 O 的表面积为（）A8B12C20D24二、多项选择题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求
4、的.全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分）9在空间四边形 ABCD中,E F G H 分别是,AB BC CD DA上的点,当/BD平面 EFGH 时,下面结论正确的是（）A,E F G H 一定是各边的中点B,G H 一定是,CD DA 的中点C:AE EBAH HD,且:BF FCDG GCD四边形 EFGH 是平行四边形或梯形10如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径 2R 相等，则下列结论正确的是（）A圆柱的体积为34 RB圆锥的侧面积为25 RC圆柱的侧面积与圆锥的表面积相等D圆柱圆锥球的体积之比为 3：1：211如图，在透明塑料制成的
5、长方体1111ABCDA B C D容器内灌进一些水（未满），现将容器底面一边BC 固定在底面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四种说法，其中正确命题的是（）A水的部分始终呈棱柱状B水面四边形 EFGH 的面积为定值C棱11A D 始终与水面 EFGH 平行D若1EAA，1FBB，则 AEBF是定值12如图，正方体1111ABCDA B C D的棱长为1，线段11B D 上有两个动点,E F，且1EF，则下列说法中正确的是（）A存在点,E F 使得/AEBFB异面直线 EF 与1C D 所成的角为60C三棱锥 BAEF的体积为定值212D1A 到平面 AEF 的距离为33第 II 卷（
6、非选择题）三、填空题(共 20 分，每道 5 分)试卷第 3 页，总 4 页13设向量14a，2 34bx，若a b，则 x_，若ab，则 x_14若圆台的母线与高的夹角为 6，且上、下底面半径之差为 2，则该圆台的高为_.15已知复数 z 满足1z ，则2zi（其中 i 是虚数单位）的最小值为_.16如图，已知棱长为 2 的正方体1111ABCDA B C D中，点 P 在线段1BC 上运动，给出下列结论：异面直线 AP 与1DD 所成的角范围为 ,3 2；平面1PBD 平面11AC D；点 P 到平面11AC D 的距离为定值 2 33；存在一点 P，使得直线 AP 与平面11BCC B
7、所成的角为 3。其中正确的结论是_.四、解答题(共 70 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17已知向量11m ,，1,2n.（1）若mn，求 的值；（2）若m 与 n 的夹角为 34 ，求 的值.18如图，矩形CD所在的平面，、分别是、C的中点（1）求证：/平面D；（2）求证：CD19已知四棱锥VABCD的底面是面积为 16 的正方形 ABCD，侧面是全等的等腰三角形，一条侧棱长为2 11，计算它的高和侧面三角形底边上的高。试卷第 4 页，总 4 页20如图，三棱锥 PABC的底面是等腰直角三角形，其中2ABAC，PAPB，平面 PAB 平面 ABC，点 E，F，M，N 分别
8、是 AB，AC，PC，BC 的中点.（1）证明：平面 EMN 平面 PAB；（2）当 PF 与平面 ABC 所成的角为 3 时，求二面角 MENB的余弦值.21在斜三棱柱111ABCA B C中，ABAC，1B C 平面 ABC，E，F 分别是1AB，11AC 的中点（1）求证：/EF平面11BCC B；（2）已知2ABAC，斜三棱柱111ABCA B C的体积为 8，求点 E 到平面11CC B 的距离22在四棱锥 PABCD中，底面 ABCD是菱形，ACBDO.（）若 ACPD，求证：AC 平面 PBD；（）若平面 PAC 平面 ABCD，求证：PBPD；（）在棱 PC 上是否存在点 M（
9、异于点C）使得/BM平面 PAD，若存在，求 PMPC 的值；若不存在，说明理由.答案第 1 页，总 6 页武汉市第四十九中学2020-2021 学年度高一年级五月考试数学试题参考答案1A2C3D4C5B6A7D8C9CD10BD11ACD12BCD13 47614 2 31511617（1）1；（2）0 或 1.解：（1）因为mn，所以，1 210m n ，解得1 ；（2）由已知可得2m，2214n，由平面向量数量积的定义可得cos 4m nm n，即22212142 ，整理得21521 ，解得0 或1 ，10，所以，0 或1 都符合题意.18解析：（1）取D的中点，连接，为中点，为DC的中
10、位线，/_12 CD又 CD/_，/_四边形为平行四边形，/又 平面D，平面D/平面D（2）平面CD，CD 平面CD，CD D CD，D=D，CD 平面D CD D取CD的中点F，连接F，F，F/D CD F又 CD F，F F=F CD 平面F 平面F答案第 2 页，总 6 页 CD19四棱锥的高为 6，侧面三角形底边上的高为2 10 解：如下图所示:作VO 为四棱锥VABCD的高，作OMBC于点 M，则 M 为 BC 的中点连接OB，则VOOM，VOOB底面正方形 ABCD的面积为 16，4BC，2BMCM则2222222 2OBBMOM又2 11VB，在 Rt VOB中，由勾股定理，可得
11、2222(2 11)(2 2)6VOVBOB在 Rt VOM中，由勾股定理，可得2222622 10VMVOOM，即四棱锥的高为 6，侧面三角形底边上的高为2 10 20（1）证明见解析；（2）77.（1）证明：由题意可得，ABAC，点 E，N 分别是 AB，BC 的中点，故/ENAC，故 ENAB，平面 PAB 平面 ABC，交线为 AB，故 EN 平面 PAB答案第 3 页，总 6 页又EN 在平面 EMN 内，故平面 EMN 平面 PAB；（2）连结 PE，由 PAPB，点 E 是 AB 的中点，可知 PEAB，再由平面 PAB 平面 ABC，可知 PE 平面 ABC，连结 EF，可知P
12、FE就是直线 PF 与平面 ABC 所成的角，于是tan3PEPFEEF，22336PEEFAEAF法一：分别以 EB，EN，EP 为 x，y，z 轴建立如图所示空间直角坐标系，则(0,0,0)E，(0,1,0)N，(1,2,0)C，(0,0,6)P，16,1,22M，(0,1,0)EN，16,1,22EM 设平面 MEN 的一个法向量为 n(x,y,z)，则00n ENn EM 得016022yxyz取6x，则1z ，即平面 MEN 的一个法向量为(6,0,1)n，又平面 ABC 的一个法向量为10,0,1n，于是1117cos77|n nMENBnn 答案第 4 页，总 6 页注意到二面角
13、 MENB是钝角，所以二面角 MENB的余弦值为77.法二：取 PA 的中点Q，连结 EQ，MQ，则/MQEN，得点Q 在平面 EMN 内.又因为平面 PAB 平面 ABC，EQ 在平面 ABC 内的射影就是 EA，由 ENAB，得 ENEQ，故二面角 MENB的平面角为QEBQEA，PAB是等腰三角形，点Q，E 分别是 PA，AB 的中点，故QEAPBA.于是2217cos71(6)BEPBAPB所以7coscos()7QEBQEA 所以二面角 MENB的余弦值为77.21（1）证明见解析；（2）22【详解】（1）连结11,A B BC，由三棱柱111ABCA B C知，四边形11ABB A
14、 为平行四边形，因为,E F 分别是1AB，11AC 的中点，即 EF 为中位线，所以1/EFBC 且112EFBC，因为 EF 平面11BCC B，1BC 平面11BCC B，所以/EF平面11BCC B.（2）因为1B C 平面 ABC，所以1BC 为三棱柱111ABCA B C的高，答案第 5 页，总 6 页又因为2ABAC，且 ABAC，所以12 222ABCS，而1 1 118ABC A B CABCVSBC，所以14B C，因为/EF平面11BCC B，所以点 E 到平面11CC B 的距离等于点 F 到平面11CC B 的距离，由等体积法得1 11 1F CC BC C B FV
15、V即1 11 111133CC BC B FSdSBC，所以22d 即点 E 到平面11CC B 的距离为22.22（）证明见解析；（）证明见解析；（）不存在.【详解】（）因为 底面 ABCD 是菱形所以 ACBD.又因为 ACPD，所以 AC 平面 PAD.（）因为平面 PAC 平面 ABCD，平面PAC 平面，ACBD，BD 面PAC答案第 6 页，总 6 页所以 BDPO.因为 底面 ABCD是菱形，所以.所以.（）不存在.下面用反证法说明.假设存在点（异于点）使得平面 PAD.在菱形 ABCD中，BC AD，因为 BM 平面 PAD，AD 平面 PAD，所以 BC 平面 PAD.，所以 平面 PBC 平面 PAD.而平面 PBC 与平面 PAD 相交，矛盾.
