1、第十四章坐标系与参数方程考纲解读考点内容解读要求高考示例常考题型预测热度1.坐标系1.了解坐标系的作用及直角坐标系内的伸缩变换2.了解极坐标的概念,会在极坐标系中刻画点的位置,能进行极坐标与直角坐标之间的互相转化3.能在极坐标系中求简单图形的极坐标方程2017课标全国,22;2017课标全国,22;2016课标全国,23;2015课标,23解答题2.参数方程1.了解参数方程和参数的意义2.能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程3.理解直线参数方程中参数的几何意义,并能用参数方程解决相关的问题2017课标全国,22;2016课标全国,23;2016课标全国,23;2015课标,2320
2、14课标,23填空题、分析解读坐标系与参数方程是高考数学的选考部分,其中极坐标与直角坐标的互化,直线与圆的参数方程及应用是高考的重点,难度不大,题型一般为解答题,分值为10分,但部分省份可能以填空题的形式出现.本章也是对前面所学的解析几何、平面几何、三角函数等知识的综合应用和进一步的深化,考查学生的转化与化归思想的应用.(1)消去参数t得l1的普通方程l1:y=k(x-2);消去参数m得l2的普通方程l2:y=(x+2).设P(x,y),由题设得消去k得x2-y2=4(y0).所以C的普通方程为x2-y2=4(y0).(2)C的极坐标方程为2(cos2-sin2)=4(00),M的极坐标为(1
3、,)(10).由题设知|OP|=,|OM|=1=.由|OM|OP|=16得C2的极坐标方程为=4cos (0).因此C2的直角坐标方程为(x-2)2+y2=4(x0).(2)设点B的极坐标为(B,)(B0).由题设知|OA|=2,B=4cos ,于是OAB的面积S=|OA|BsinAOB=4cos =22+.当=-时,S取得最大值2+.所以OAB面积的最大值为2+.4.(2016课标全国,23,10分)选修44:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(t为参数,a0).在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:=4cos .(1)说明C1是哪一种曲线,并将
4、C1的方程化为极坐标方程;(2)直线C3的极坐标方程为=0,其中0满足tan 0=2,若曲线C1与C2的公共点都在C3上,求a.解析(1)消去参数t得到C1的普通方程:x2+(y-1)2=a2.C1是以(0,1)为圆心,a为半径的圆.(2分)将x=cos ,y=sin 代入C1的普通方程中,得到C1的极坐标方程为2-2sin +1-a2=0.(4分)(2)曲线C1,C2的公共点的极坐标满足方程组(6分)若0,由方程组得16cos2-8sin cos +1-a2=0,(8分)由已知tan =2,可得16cos2-8sin cos =0,从而1-a2=0,解得a=-1(舍去)或a=1.a=1时,极
5、点也为C1,C2的公共点,在C3上.所以a=1.(10分)5.(2013辽宁,23,10分)选修44:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.圆C1,直线C2的极坐标方程分别为=4sin ,cos=2.(1)求C1与C2交点的极坐标;(2)设P为C1的圆心,Q为C1与C2交点连线的中点.已知直线PQ的参数方程为(tR为参数),求a,b的值.解析(1)圆C1的直角坐标方程为x2+(y-2)2=4,直线C2的直角坐标方程为x+y-4=0.解得所以C1与C2交点的极坐标为,.(6分)(注:极坐标系下点的表示不唯一.)(2)由(1)可得,P点与Q点的直角坐标分别
6、为(0,2),(1,3),故直线PQ的直角坐标方程为x-y+2=0.由参数方程可得y=x-+1,所以解得a=-1,b=2.(10分)考点二参数方程1.(2014湖南,12,5分)在平面直角坐标系中,曲线C:(t为参数)的普通方程为.答案x-y-1=02.(2017课标全国,22,10分)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(为参数),直线l的参数方程为(t为参数).(1)若a=-1,求C与l的交点坐标;(2)若C上的点到l距离的最大值为,求a.解析(1)曲线C的普通方程为+y2=1.当a=-1时,直线l的普通方程为x+4y-3=0.由解得或从而C与l的交点坐标为(3,0),.(2)直线l的
7、普通方程为x+4y-a-4=0,故C上的点(3cos ,sin )到l的距离为d=.当a-4时,d的最大值为,由题设得=,所以a=8;当a-4时,d的最大值为,由题设得=,所以a=-16.综上,a=8或a=-16.3.(2016课标全国,23,10分)选修44:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中,圆C的方程为(x+6)2+y2=25.(1)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求C的极坐标方程;(2)直线l的参数方程是(t为参数),l与C交于A,B两点,|AB|=,求l的斜率.解析(1)由x=cos ,y=sin 可得圆C的极坐标方程为2+12cos +11=0.(3分)(2)在(
8、1)中建立的极坐标系中,直线l的极坐标方程为=(R).设A,B所对应的极径分别为1,2,将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得2+12cos +11=0.(6分)于是1+2=-12cos ,12=11.|AB|=|1-2|=.(8分)由|AB|=得cos2=,tan =.(9分)所以l的斜率为或-.(10分)4.(2016课标全国,23,10分)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(为参数).以坐标原点为极点,以x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为sin=2.(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程;(2)设点P在C1上,点Q在C2上,求|PQ|的最小值及此时P的直
9、角坐标.解析(1)C1的普通方程为+y2=1.C2的直角坐标方程为x+y-4=0.(5分)(2)由题意,可设点P的直角坐标为(cos ,sin ).因为C2是直线,所以|PQ|的最小值即为P到C2的距离d()的最小值,d()=.(8分)当且仅当=2k+(kZ)时,d()取得最小值,最小值为,此时P的直角坐标为.(10分)5.(2016江苏,21C,10分)选修44:坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中,已知直线l的参数方程为(t为参数),椭圆C的参数方程为(为参数).设直线l与椭圆C相交于A,B两点,求线段AB的长.解析椭圆C的普通方程为x2+=1.将直线l的参数方程代入x2+=1,得+=
10、1,即7t2+16t=0,解得t1=0,t2=-.所以AB=|t1-t2|=.6.(2015课标,23,10分)选修44:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中,曲线C1:(t为参数,t0),其中0.在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:=2sin ,C3:=2cos .(1)求C2与C3交点的直角坐标;(2)若C1与C2相交于点A,C1与C3相交于点B,求|AB|的最大值.解析(1)曲线C2的直角坐标方程为x2+y2-2y=0,曲线C3的直角坐标方程为x2+y2-2x=0.联立解得或所以C2与C3交点的直角坐标为(0,0)和.(2)曲线C1的极坐标方程为=(R,0),其中0.因
11、此A的极坐标为(2sin ,),B的极坐标为(2cos ,).所以|AB|=|2sin -2cos |=4.当=时,|AB|取得最大值,最大值为4.教师用书专用(711)7.(2013湖南,11,5分)在平面直角坐标系xOy中,若直线l1:(s为参数)和直线l2:(t为参数)平行,则常数a的值为.答案48.(2015陕西,23,10分)选修44:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数).以原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,C的极坐标方程为=2sin .(1)写出C的直角坐标方程;(2)P为直线l上一动点,当P到圆心C的距离最小时,求P的直角坐标.解析(1)由
12、=2sin ,得2=2sin ,从而有x2+y2=2y,所以x2+(y-)2=3.(2)设P,又C(0,),则|PC|=,故当t=0时,|PC|取得最小值,此时,P点的直角坐标为(3,0).9.(2014课标,23,10分)选修44:坐标系与参数方程已知曲线C:+=1,直线l:(t为参数).(1)写出曲线C的参数方程,直线l的普通方程;(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30的直线,交l于点A,求|PA|的最大值与最小值.解析(1)曲线C的参数方程为(为参数).直线l的普通方程为2x+y-6=0.(2)曲线C上任意一点P(2cos ,3sin )到l的距离为d=|4cos +3sin -6|
13、,则|PA|=|5sin(+)-6|,其中为锐角,且tan =.当sin(+)=-1时,|PA|取得最大值,最大值为.当sin(+)=1时,|PA|取得最小值,最小值为.10.(2014课标,23,10分)选修44:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,半圆C的极坐标方程为=2cos ,.(1)求C的参数方程;(2)设点D在C上,C在D处的切线与直线l:y=x+2垂直,根据(1)中你得到的参数方程,确定D的坐标.解析(1)C的普通方程为(x-1)2+y2=1(0y1).可得C的参数方程为(t为参数,0t).(2)设D(1+cos t,sin t)
14、.由(1)知C是以G(1,0)为圆心,1为半径的上半圆.因为C在点D处的切线与l垂直,所以直线GD与l的斜率相同.tan t=,t=.故D的直角坐标为,即.11.(2013课标全国,23,10分)选修44:坐标系与参数方程已知动点P,Q都在曲线C:(t为参数)上,对应参数分别为t=与t=2(02),M为PQ的中点.(1)求M的轨迹的参数方程;(2)将M到坐标原点的距离d表示为的函数,并判断M的轨迹是否过坐标原点.解析(1)依题意有P(2cos ,2sin ),Q(2cos 2,2sin 2),因此M(cos +cos 2,sin +sin 2).M的轨迹的参数方程为(为参数,02).(2)M点
15、到坐标原点的距离d=(02,所以圆C2与直线l相离.所以圆C2上的点M到直线l的距离的最大值为d+r=5+2,最小值为d-r=5-2.4.(2017山西太原模拟,22)设直线l的参数方程为(t为参数),若以直角坐标系xOy的O点为极点,Ox轴为极轴,选择相同的单位长度建立极坐标系,得曲线C的极坐标方程为=.(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程,并指出曲线是什么曲线;(2)若直线l与曲线C交于A、B两点,求|AB|.解析(1)由=得sin2=8cos ,2sin2=8cos ,y2=8x,曲线C表示顶点在原点,焦点在x轴正半轴的抛物线.(2)由(t为参数)得y=2x-4,代入y2=8x,得
16、x2-6x+4=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=6,x1x2=4,|AB|=|x1-x2|=10.考点二参数方程5.(2018山西康杰中学等六校12月联考,22)在直角坐标系xOy中,已知点P(0,),曲线C的参数方程为(为参数),以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为2cos=.(1)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程;(2)设直线l与曲线C交于A,B两点,求|PA|PB|的值.解析(1)由2cos=得cos +sin =,即x+y-=0.由(为参数)得+=1.所以曲线C的普通方程为+=1,直线l的直角坐标方程为x+y-=0.(2)
17、由(1)知:直线l的倾斜角为,所以直线l的参数方程为(t为参数),代入曲线C的普通方程可得t2+2t-8=0.设方程的两根为t1,t2,则|PA|PB|=|t1t2|=8.6.(2018河南洛阳一模,22)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(t参数,mR),以原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为2=(0).(1)写出曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程;(2)已知点P是曲线C2上一点,若点P到曲线C1的最小距离为2,求m的值.解析(1)由曲线C1的参数方程消去参数t,可得C1的普通方程为x-y+m=0.由曲线C2的极坐标方程得32-22cos2=
18、3,0,曲线C2的直角坐标方程为+y2=1(0y1).(2)设曲线C2上任意一点P(cos ,sin ),0,则点P到曲线C1的距离d=.0,cos,2cos-2,当m+0时,m-2=4,即m=6.m=-4-或m=6.7.(2017安徽黄山二模,22)已知曲线C的极坐标方程为=,过点P(1,0)的直线l交曲线C于A,B两点.(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程;(2)求|PA|PB|的取值范围.解析(1)由=得2(1+sin2)=2,故曲线C的直角坐标方程为+y2=1.(2)由题意知,直线l的参数方程为(t为参数),将代入+y2=1得(cos2+2sin2)t2+2tcos -1=0,设
19、A,B对应的参数分别为t1,t2,则t1t2=,则|PA|PB|=|t1t2|=,|PA|PB|的取值范围为.8.(2017广东广州联考,22)以直角坐标系的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,且两个坐标系取相同的长度单位,已知直线l的参数方程为(t为参数,0),曲线C的极坐标方程为cos2=4sin .(1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程;(2)设直线l与曲线C相交于A,B两点,当变化时,求|AB|的最小值.解析(1)由(t为参数)消去t得xcos -ysin +sin =0.所以直线l的普通方程为xcos -ysin +sin =0,由cos2=4sin 得(cos )2=4sin
20、 ,把x=cos ,y=sin 代入上式,得x2=4y,所以曲线C的直角坐标方程为x2=4y.(2)将直线l的参数方程代入x2=4y,得t2sin2-4tcos -4=0,设A,B两点对应的参数分别为t1,t2,则t1+t2=,t1t2=-,所以|AB|=|t1-t2|=,0,当=时,|AB|取最小值4.9.(2016辽宁五校协作体联考,23)已知在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为2-4cos =0.(1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程;(2)设点P是曲线C上的一个动点,求它到直线l的距离d的取
21、值范围.解析(1)直线l的参数方程为(t为参数),将t=x+3代入y=t,得直线l的普通方程为x-y+3=0.曲线C的极坐标方程为2-4cos =0,将x=cos ,2=x2+y2代入即得曲线C的直角坐标方程为(x-2)2+y2=4.(2)设点P(2+2cos ,2sin ),R,则d=,R,d的取值范围是.B组20162018年模拟提升题组(满分:40分时间:40分钟)解答题(每小题10分,共50分)1.(2018河南百校联盟12月联考,22)在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(t为参数).以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C2:=2sin.(1)求曲线C1
22、的普通方程及C2的直角坐标方程;(2)设P(k,2k),若曲线C1与C2只有一个公共点Q(Q与P不重合),求|PQ|.解析(1)由(t为参数)消去参数t得曲线C1的普通方程为x+y-3k=0.由=2sin可得2=2sin +2cos ,由2=x2+y2,cos =x,sin =y得C2的直角坐标方程为x2+y2-2x-2y=0.(2)曲线C1为直线,曲线C2表示以C2(1,1)为圆心,为半径的圆,若曲线C1与C2只有一个公共点Q,则圆心C2(1,1)到直线x+y-3k=0的距离为,即=,解得k=0或k=.当k=0时,P,Q重合于点(0,0),不满足题意,舍去.当k=时,P的坐标为,易知点P在直
23、线C1上,|PC2|=.所以|PQ|=.2.(2017豫北名校联盟联考,22)在平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(为参数).(1)求曲线C的普通方程;(2)经过点M(2,1)(平面直角坐标系xOy中的点)作直线l交曲线C于A,B两点,若M恰好为线段AB的三等分点,求直线l的斜率.解析(1)由曲线C的参数方程得(为参数),所以曲线C的普通方程为+=1.(2)设直线l的倾斜角为1,则直线l的参数方程为(t为参数).代入曲线C的普通方程,得(cos21+4sin21)t2+(4cos 1+8sin 1)t-8=0,设A,B对应的参数分别为t1,t2,所以由题意可知t1=-2t2.所以12s
24、in21+16sin 1cos 1+3cos21=0,即12tan21+16tan 1+3=0.解得tan 1=.所以直线l的斜率为.3.(2017河北衡水中学二调,22)已知直线l:(t为参数),曲线C1:(为参数).(1)设l与C1相交于A,B两点,求|AB|;(2)若把曲线C1上各点的横坐标压缩为原来的,纵坐标压缩为原来的,得到曲线C2,设点P是曲线C2上的一个动点,求它到直线l的距离的最小值.解析(1)l的普通方程为y=(x-1),C1的普通方程为x2+y2=1,联立得方程组解得或所以l与C1的交点为A(1,0),B,所以|AB|=1.(2)由题意知C2的参数方程为(为参数),所以点P
25、的坐标是,从而点P到直线l的距离d=,因此当sin=-1时,d取得最小值且最小值为(-1).4.(2016广东肇庆三模,23)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(t为参数),以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为2+2cos -4=0. (1)把C1的参数方程化为极坐标方程;(2)求C1与C2交点的极坐标(0,02).解析(1)由曲线C1的参数方程为(t为参数),可得C1的普通方程为y2=x,将代入上式整理得sin2=cos ,即C1的极坐标方程为sin2-cos =0.(2)将曲线C2的极坐标方程2+2cos -4=0化为直角坐标方程为x2+y2+2x
26、-4=0,将y2=x代入上式得x2+3x-4=0,解得x=1或x=-4(舍去),当x=1时,y=1,所以C1与C2交点的平面直角坐标为A(1,1),B(1,-1),A=,B=,tan A=1,tan B=-1,0,02,A=,B=.故C1与C2交点的极坐标为,.C组20162018年模拟方法题组方法1极坐标方程与直角坐标方程的互化方法1.(2018湖北八校12月联考,22)已知曲线C的极坐标方程为2=,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系.(1)求曲线C的普通方程;(2)A,B为曲线C上两点,若OAOB,求+的值.解析(1)由2=得2cos2+92sin2=9,将
27、x=cos ,y=sin 代入得曲线C的普通方程是+y2=1.(2)因为2=,所以=+sin2,设A(1,),由OAOB知B点的坐标可设为,所以+=+=+sin2+cos2=+1=.2.(2017四川广安等四市一模,22)在平面直角坐标系中,曲线C1:(为参数)经过伸缩变换后的曲线为C2,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求C2的极坐标方程;(2)设曲线C3的极坐标方程为sin=1,且曲线C3与曲线C2相交于P,Q两点,求|PQ|的值.解析(1)由题意得曲线C2的参数方程为(为参数),则曲线C2的直角坐标方程为(x-1)2+y2=1,所以曲线C2的极坐标方程为=2cos .
28、(2)由(1)知曲线C2是以(1,0)为圆心,1为半径的圆,易知曲线C3的直角坐标方程为x-y-2=0,表示直线,所以曲线C2的圆心(1,0)到直线C3的距离d=,所以|PQ|=2=.3.(2017山西太原一模,22)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为其中为参数,曲线C2:x2+y2-2y=0,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,射线l:=(0)与曲线C1,C2分别交于点A,B(均异于原点O).(1)求曲线C1,C2的极坐标方程;(2)当0时,求|OA|2+|OB|2的取值范围.解析(1)C1的普通方程为+y2=1,C1的极坐标方程为2cos2+22sin2-2=0,C2的
29、极坐标方程为=2sin .(2)联立=(0)与C1的极坐标方程得|OA|2=,联立=(0)与C2的极坐标方程得|OB|2=4sin2,则|OA|2+|OB|2=+4sin2=+4(1+sin2)-4.令t=1+sin2,则|OA|2+|OB|2=+4t-4,当0时,t(1,2).设f(t)=+4t-4,易得f(t)在(1,2)上单调递增,|OA|2+|OB|2(2,5).方法2参数方程与普通方程的互化方法4.(2017江西南昌十校二模,22)已知曲线C的极坐标方程是=2,以极点为原点,极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系,直线l的参数方程为(t为参数).(1)写出直线l的普通方程与曲线C的直角
30、坐标方程;(2)设曲线C经过伸缩变换得到曲线C,过点F(,0)作倾斜角为60的直线交曲线C于A,B两点,求|FA|FB|.解析(1)直线l的普通方程为2x-y+2=0,曲线C的直角坐标方程为x2+y2=4.(2)C的直角坐标方程为+y2=1.易知直线AB的参数方程为(t为参数).将直线AB的参数方程代入+y2=1,得t2+t-1=0,则t1t2=-,|FA|FB|=|t1t2|=.方法3与参数方程有关问题的求解方法5.(2018四川成都七中一诊,22)已知曲线C:(为参数)和定点A(0,),F1、F2是此曲线的左、右焦点,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求直线AF2的极坐标方程;(2)经过点F1且与直线AF2垂直的直线l交此圆锥曲线于M、N两点,求|MF1|-|NF1|的值.解析(1)可化为+=1,表示椭圆,焦点为F1(-1,0)和F2(1,0).经过A(0,)和F2(1,0)的直线方程为x+=1,即x+y-=0,极坐标方程为cos +sin =.(2)由(1)知,直线AF2的斜率为-,因为lAF2,所以l的斜率为,l的倾斜角为30,l的参数方程为(t为参数),将其代入椭圆C的直角坐标方程,整理得13t2-12t-36=0.M,N在点F1的两侧,|MF1|-|NF1|=|t1+t2|=.21
