1、北京市门头沟区大峪中学2020-2021学年高一数学上学期期中试题（含解析）（满分：150分时间：120分钟）一、选择题（共10小题，每小题5分）1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】本题根据集合的并集运算直接计算即可.【详解】解：因为，所以故选：D【点睛】本题考查集合的并集运算，是基础题2. 命题“对任意xR，都有x20”的否定为（）A. 对任意xR，都有x20B. 不存在xR，都有x20C. 存在x0R，使得x020D. 存在x0R，使得x020【答案】D【解析】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“对任意xR，都有x20”的否定为存在x0R，使得x0
2、20故选D3. 已知定义在R上的函数f（x）的图像是连续不断的，且有如下对应值表：x1234f（x）6.12.9-3.5-1那么函数f（x）一定存在零点的区间是（ ）A. （-，1）B. （1，2）C. （2，3）D. （3，4）【答案】C【解析】【分析】由表中数据，结合零点存在性定理可得出结果.【详解】由表可知，由零点存在性定理可知f（x）一定存在零点的区间是（2，3），故选：C.【点睛】本题考查零点存在性定理，理解零点存在性定理是关键，是基础题.4. 函数的定义域是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】函数的定义域满足，解得答案.【详解】函数的定义域满足，解得.故选：C.
3、【点睛】本题考查了函数定义域，属于简单题.5. 方程组的解集是（）A. (1，1),(1，1)B. (1，1),(1，1)C. (2，2),（2，2)D. (2，2),(2，2)【答案】A【解析】【分析】求出方程组的解，注意方程组的解是一对有序实数【详解】方程组的解为或，其解集为故选：A【点睛】本题考查集合的表示，二元二次方程组的解是一对有序实数，表示时用小括号括起来，表示有序，即代表元可表示为，一个解可表示为6. 下列函数中既是奇函数，又在区间上单调递减的函数为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用函数的奇偶性、单调性的概念判断即可.【详解】因为函数，偶函数，函数是非奇
4、非偶函数，排除B、C、D，函数既是奇函数，又在上单调递减，A正确.故选：A.【点睛】本题主要考查函数的奇偶性、单调性的判断，属常规考题.7. 若ab，则下列四个不等式中必成立的是（ ）A. acbcB. C. a2b2D. 【答案】D【解析】【分析】根据不等式的基本性质，逐一分析选项是否恒成立.【详解】A.当时，不等式不成立；B当时，不等式不成立；C.当时，不等式不成立；D.因为，故不等式必成立，故选：D.【点睛】本题以命题的真假判断为载体，考查了不等式恒成立，不等式的基本性质，是基础题.8. 设是实数，“”是“”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分
5、也不必要条件【答案】A【解析】【分析】解分式不等式，根据充分性和必要性即可容易求得.【详解】因为，即可求得，故是的充分不必要条件.故选：A.【点睛】本题考查命题之间的关系，涉及分式不等式的求解.9. 已知函数,若对任意,且,不等式恒成立,则实数的取值范围是A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】对不等式进行化简，转化为a（x1+x2）10恒成立，再将不等式变形，得到a恒成立，从而将恒成立问题转变成求的最大值，即可求出a的取值范围【详解】不妨设x2x12，不等式=a（x1+x2）1，对任意x1，x22，+），且x1x2，不等式0恒成立，x2x12时，a（x1+x2）10，即a恒成立x2
6、x12a，即a的取值范围为，+）；故选：D【点睛】本题考查了函数恒成立求参数取值范围，也是常考题型，本题以“任性函数”的形式考查函数恒成立求参数取值范围，一种方法，可以采用参变分离的方法，将恒成立转化为求函数的最大值和最小值，二种方法，将不等式整理为的形式，即求 ，或是的形式，即求 ，求参数取值.10. 定义为中的最大值，设，则的最小值为（ ）A. B. 3C. D. 4【答案】C【解析】分析】首先根据题意画出的图象，再根据图象即可得到的最小值.【详解】分别画出，的图象，则函数的图象为图中实线部分.由图知：函数的最低点为，解得.所以的最小值为.故选：C.【点睛】本题主要考查根据函数的图象求函数
7、的最值，考查了数形结合的思想，属于中档题.二、填空题（共6小题，每小题4分）11. 不等式的解集是_【答案】或【解析】【分析】利用一元二次不等式的解法求解.【详解】不等式可转化为：，解得 或 ，所以原不等式解集是 或，故答案为：或12. 下列各图中，可以为函数图像的是_.【答案】【解析】【分析】利用函数的定义判断.【详解】由函数的定义得：所对应的图形可以为函数图像，故答案为：13. 已知函数为奇函数，若，则【答案】1【解析】因为函数yf（x）为奇函数,所以f(-2)=-f(2),f(-3)=-f(3).所以f(-2)-f(-3)=-f(2)+f(3)=114. 已知方程的两根为和，则_【答案】
8、14【解析】【分析】由韦达定理可得答案.【详解】方程的两根为和，则，则.故答案为：14.15. 已知函数则_；的值域为_.【答案】 (1). ； (2). .【解析】【分析】根据分段函数的定义域直接代入即可；分别根据定义域求每段的值域再求并集即为答案.【详解】由，则，当时，当时，所以的值域为. 故答案为：；.16. 函数是定义域为R的偶函数，当时，函数的图象是由一段抛物线和一条射线组成（如图所示）.如果对任意，都有，那么的最大值是_【答案】4【解析】【分析】根据函数图象求得时，函数的解析式，从而求出满足的范围；再结合函数奇偶性，即可求得时，的最大值.【详解】根据题意，当时，抛物线的图象的对称轴
9、为，且最高点坐标为过，设抛物线的方程为，又由其经过点，则；则，若，解可得或2，射线经过点和，其方程为，若，则，故在上，满足的最大区间为，又由函数为偶函数，则对任意，都有，则 那么的最大值是；故答案为：4【点睛】本题考查代待定系数法求函数解析式，涉及函数奇偶性的应用，属综合基础题.三、解答题（共6小，共76分）17. 函数f（x）x2axb的两个零点是1和2，求函数g（x）ax2bx1的零点【答案】1和.【解析】【分析】先利用韦达定理求出，然后令，直接解方程求函数零点即可.【详解】因为函数f（x）x2axb的两个零点是1和2，所以，所以g（x）3x22x1，令，解得或，故函数g（x）的零点为1和
10、【点睛】本题考查函数零点的求法和韦达定理的运用，属于基础题.18. 已知函数（1）在下面的坐标系中，作出函数的图象并写出单调区间；（2）若，求实数的值.【答案】（1）详见解析；（2）-1，5.【解析】【分析】（1）根据分段函数，利用二次函数和一次函数的图象和性质作图；（2）根据，分，讨论求解.【详解】（1）因为函数所以其图象如图所示：单调增区间是，单调减区间是 ；（2）当时，则 ，解得 或（舍去），当时，则 ，解得 综上：当时，实数的值是-1，5.故答案为：-1，519. 已知函数.（1）若关于的不等式的解集为，求实数的值；（2）当时，对任意，恒成立，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解
11、析】【分析】(1) 利用一元二次不等式解集区间的端点就是相应方程的根求解即可.(2)对任意恒成立，由二次项系数小于，则.列不等式求解即可.【详解】(1)因为的解集为，所以关于的方程的两个根为.所以，解得.(2)由题意得对任意恒成立，所以，解得，即的取值范围是.【点睛】本题考查一元二次不等式的解集和恒成立问题,结合一元二次不等式、二次函数、一元二次方程的关系进行求解是解题的关键.20. 已知，（1）若，求；（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1） (2，5；（2）m5.【解析】【分析】（1）代入m3求出集合，解出集合B后可得.（2）根据可得关于的不等式组，从而可求实数m的取值范围.【详解】（1
12、）若m3，所以AB(2，5.（2）由题意得：，因为ABB，有AB，则有：，解得m5.【点睛】本题考查分式不等式的解、集合的并以及集合的包含关系，求分式不等式的解时，注意分母不为零，考虑集合的包含关系时，注意两个集合中的范围的端点是否可取.21. 已知函数,（）证明：f(x)为偶函数；（）用定义证明：f(x)是(1，+)上的减函数；（）当x4，2时，求f(x)的值域【答案】（）证明见解析；（）证明见解析；（）【解析】分析】(I)用偶函数定义证明； (II)用减函数定义证明； (III)根据偶函数性质得函数在上的单调性，可得最大值和最小值，得值域【详解】(I)函数定义域是,是偶函数； (II)当时
13、，设，则，即，在上是减函数； (III)由 (I) (II)知函数在上是增函数，所求值域为【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性，掌握奇偶性与单调性的定义是解题基础22. 设某商品的利润只由生产成本和销售收入决定生产成本C（单位：万元）与生产量x（单位：千件）间的函数关系是C3+x；销售收入S（单位：万元）与生产量x间的函数关系是 .（）把商品的利润表示为生产量x的函数；（）为使商品的利润最大化，应如何确定生产量？【答案】（）；（）确定为5千件时，利润最大【解析】【分析】(I)用销售收入减去生产成本即得利润； (II)分段求出利润函数的最大值可得生产产量【详解】(I)设利润是 (万元)，则，； (II)时，由“对勾函数”知，当，即时，当时，是减函数，时，时，生产量为5千件时，利润最大【点睛】本题考查分段函数模型的应用，解题关键是列出函数解析式属于基础题- 14 -
