1、第2讲圆锥曲线的定义、方程及性质做小题激活思维1椭圆C：1的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交椭圆C于A，B两点，则F1AB的周长为()A12B16C20D24CF1AB的周长为|F1A|F1B|AB|F1A|F2A|F1B|F2B|2a2a4a.在椭圆1中，a225，a5，F1AB的周长为4a20，故选C.2已知点F，直线l：x，点B是l上的动点若过点B垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹是()A双曲线 B椭圆C圆 D抛物线D由已知得|MF|MB|，根据抛物线的定义知，点M的轨迹是以点F为焦点，直线l为准线的抛物线3设P是双曲线1上一点，F1，F2分别是双曲线
2、左、右两个焦点，若|PF1|9，则|PF2|_.17由题意知|PF1|9ac10，所以P点在双曲线的左支，则有|PF2|PF1|2a8，故|PF2|PF1|817.4设e是椭圆1的离心率，且e，则实数k的值是_或当k4时，有e，解得k；当0k4时，有e，解得k.故实数k的值为或.5双曲线1(a0)的一条渐近线方程为yx，则a_.5双曲线的标准方程为1(a0)，双曲线的渐近线方程为yx.又双曲线的一条渐近线方程为yx，a5.6抛物线8x2y0的焦点坐标为_由8x2y0，得x2y.2p，p，焦点为.扣要点查缺补漏1圆锥曲线的定义及标准方程(1)应用圆锥曲线的定义解题时，一定不要忽视定义中的隐含条件
3、，如T3.(2)凡涉及椭圆或双曲线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到焦点距离，一般可以利用定义进行转化如T1，T2.(3)求解圆锥曲线的标准方程的方法是“先定型，后计算”2圆锥曲线的几何性质(1)确定椭圆和双曲线的离心率的值及范围，就是确立一个关于a，b，c的方程(组)或不等式(组)，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式，如T4.(2)要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等圆锥曲线的定义与标准方程(5年4考)高考解读高考对圆锥曲线的定义及标准方程的直接考查较少，多对于圆锥曲线的性质进行综合考查.1(2019全国卷)已知椭圆C的焦点为F1(1,0)，F2(1,0)，过F2的
4、直线与C交于A，B两点若|AF2|2|F2B|，|AB|BF1|，则C的方程为()A.y21B.1C.1 D.1切入点：|AF2|2|F2B|，|AB|BF1|.关键点：挖掘隐含条件，确定点A的位置，求a，b的值B设椭圆的标准方程为1(ab0)，由椭圆定义可得|AF1|AB|BF1|4a.|AB|BF1|，|AF1|2|AB|4a.又|AF2|2|F2B|，|AB|AF2|，|AF1|3|AF2|4a.又|AF1|AF2|2a，|AF2|a，A为椭圆的短轴端点如图，不妨设A(0，b)，又F2(1,0)，2，B.将B点坐标代入椭圆方程1，得1，a23，b2a2c22.椭圆C的方程为1.故选B.2
5、(2015全国卷)已知F是双曲线C：x21的右焦点，P是C的左支上一点，A(0,6)当APF周长最小时，该三角形的面积为_切入点：APF的周长最小关键点：根据双曲线的定义及APF周长最小，确定P点坐标12由双曲线方程x21可知，a1，c3，故F(3,0)，F1(3，0)当点P在双曲线左支上运动时，由双曲线定义知|PF|PF1|2，所以|PF|PF1|2，从而APF的周长|AP|PF|AF|AP|PF1|2|AF|.因为|AF|15为定值，所以当(|AP|PF1|)最小时，APF的周长最小，由图象可知，此时点P在线段AF1与双曲线的交点处(如图所示)由题意可知直线AF1的方程为y2x6，由得y2
6、6y960，解得y2或y8(舍去)，所以SAPFSAF1FSPF1F666212.教师备选题1一题多解(2015全国卷)已知双曲线过点(4，)，且渐近线方程为yx，则该双曲线的标准方程为_y21法一：双曲线的渐近线方程为yx，可设双曲线的方程为x24y2(0)双曲线过点(4，)，164()24，双曲线的标准方程为y21.法二：渐近线yx过点(4,2)，而0，b0)由已知条件可得解得双曲线的标准方程为y21.2(2018天津高考)已知双曲线1(a0，b0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1d26，则双曲线的方
7、程为()A.1B.1C.1 D.1A设双曲线的右焦点为F(c,0)将xc代入1，得1， y.不妨设A，B.双曲线的一条渐近线方程为yx，即bxay0，则d1(cb)，d2(cb)， d1d22c2b6， b3. 2，c2a2b2， a23， 双曲线的方程为1.故选A.1圆锥曲线的定义(1)椭圆：|MF1|MF2|2a(2a|F1F2|)；(2)双曲线：|MF1|MF2|2a(2a|F1F2|)；(3)抛物线：|MF|d(d为M点到准线的距离)易错提醒：应用圆锥曲线定义解题时，易忽视定义中隐含条件导致错误2求解圆锥曲线标准方程的方法是“先定型，后计算”(1)定型：就是指定类型，也就是确定圆锥曲线
8、的焦点位置，从而设出标准方程；(2)计算：即利用待定系数法求出方程中的a2，b2或p.另外，当焦点位置无法确定时，抛物线方程常设为y22ax或x22ay(a0)，椭圆方程常设为mx2ny21(m0，n0，且mn)，双曲线方程常设为mx2ny21(mn0)1(椭圆的定义)设F1，F2为椭圆1的两个焦点，点P在椭圆上，若线段PF1的中点在y轴上，则的值为()A.B.C.D.D如图，设线段PF1的中点为M，因为O是F1F2的中点，所以OMPF2，可得PF2x轴，|PF2|，|PF1|2a|PF2|，所以.故选D.2(双曲线的标准方程)已知双曲线1(a0，b0)的焦距为4，渐近线方程为2xy0，则双曲
9、线的方程为()A.1 B.1C.1 D.1A易知双曲线1(a0，b0)的焦点在x轴上，所以由渐近线方程为2xy0，得2，因为双曲线的焦距为4，所以c2.结合c2a2b2，可得a2，b4，所以双曲线的方程为1.3(抛物线的定义)过抛物线y22px(p0)的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，若|AF|2|BF|6，则p_.4设直线AB的方程为xmy，A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1x2，将直线AB的方程代入抛物线方程得y22pmyp20，所以y1y2p2,4x1x2p2.设抛物线的准线为l，过A作ACl，垂足为C(图略)，过B作BDl，垂足为D，因为|AF|2|BF|6，根据抛物线的定义
10、知，|AF|AC|x16，|BF|BD|x23，所以x1x23，x1x29p，所以(x1x2)2(x1x2)24x1x2p2，即18p720，解得p4.圆锥曲线的性质(5年17考)高考解读高考对圆锥曲线性质的考查主要涉及椭圆和双曲线的离心率、双曲线的渐近线，难度适中.1(2019全国卷)若抛物线y22px(p0)的焦点是椭圆1的一个焦点，则p()A2B3C4D8切入点：抛物线的焦点是椭圆的焦点关键点：正确用p表示抛物线和椭圆的焦点D抛物线y22px(p0)的焦点坐标为，椭圆1的焦点坐标为(，0)由题意得，p0(舍去)或p8.故选D.2(2019全国卷)设F为双曲线C：1(a0，b0)的右焦点，
11、O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2y2a2交于P，Q两点若|PQ|OF|，则C的离心率为()A. B. C2 D.切入点：以OF为直径的圆与圆x2y2a2相交且|PQ|OF|.关键点：正确确定以OF为直径的圆的方程A令双曲线C：1(a0，b0)的右焦点F的坐标为(c,0)，则c.如图所示，由圆的对称性及条件|PQ|OF|可知，PQ是以OF为直径的圆的直径，且PQOF.设垂足为M，连接OP，则|OP|a，|OM|MP|，由|OM|2|MP|2|OP|2，得22a2，即离心率e.故选A.3一题多解(2017全国卷)设A，B是椭圆C：1长轴的两个端点若C上存在点M满足AMB120，则m的取值范围
12、是()A(0,19，) B(0，9，)C(0,14，) D(0，4，)切入点：C上存在点M满足AMB120.关键点：求椭圆上的点与椭圆两端点连线构成角的范围建立关于m的不等式A法一：设焦点在x轴上，点M(x，y)过点M作x轴的垂线，交x轴于点N，则N(x,0)故tanAMBtan(AMNBMN).又tanAMBtan 120，且由1可得x23，则.解得|y|.又0|y|，即0，结合0m3解得0m1.对于焦点在y轴上的情况，同理亦可得m9.则m的取值范围是(0,19，)故选A.法二：当0m3时，焦点在x轴上，要使C上存在点M满足AMB120，则tan 60，即，解得03时，焦点在y轴上，要使C上
13、存在点M满足AMB120，则tan 60，即，解得m9.故m的取值范围为(0,19，)故选A.教师备选题1(2018全国卷)双曲线1(a0，b0)的离心率为，则其渐近线方程为()AyxByxCyx DyxA因为双曲线的离心率为，所以，即ca.又c2a2b2，所以(a)2a2b2，化简得2a2b2，所以.因为双曲线的渐近线方程为yx，所以yx.故选A.2(2017全国卷)已知F是双曲线C：x21的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是(1,3)，则APF的面积为()A. B.C. D.D因为F是双曲线C：x21的右焦点，所以F(2,0)因为PFx轴，所以可设P的坐标为(2，yP)因
14、为P是C上一点，所以41，解得yP3，所以P(2，3)，|PF|3.又因为A(1,3)，所以点A到直线PF的距离为1，所以SAPF|PF|131.故选D.3(2017全国卷)已知椭圆C：1(ab0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bxay2ab0相切，则C的离心率为()A. B.C. D.A由题意知以A1A2为直径的圆的圆心坐标为(0,0)，半径为a.又直线bxay2ab0与圆相切，圆心到直线的距离da，解得ab，e.故选A.1椭圆、双曲线的离心率(或范围)的求法求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用
15、a，c代换，求的值2双曲线的渐近线的求法及用法(1)求法：把双曲线标准方程等号右边的1改为零，分解因式可得(2)用法：可得或的值利用渐近线方程设所求双曲线的方程1(椭圆的离心率)一题多解直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为()A. B. C. D.B法一：如图，|OB|为椭圆中心到l的距离，则|OA|OF|AF|OB|，即bca，所以e.故选B.法二：设椭圆的方程为1(ab0)，由题意可取直线l的方程为yxb，椭圆中心到l的距离为，由题意知2b，即，故离心率e.2(双曲线的离心率)设F1，F2分别是双曲线C：1(a0，b0)的左、右焦点，M为
16、双曲线右支上一点，N是MF2的中点，O为坐标原点，且ONMF2,3|ON|2|MF2|，则C的离心率为()A6 B5 C4 D3B连接MF1(图略)，由双曲线的定义得|MF1|MF2|2a，因为N为MF2的中点，O为F1F2的中点，所以ONMF1，所以|ON|MF1|，因为3|ON|2|MF2|，所以|MF1|8a，|MF2|6a，因为ONMF2，所以MF1MF2，在RtMF1F2中，由勾股定理得(8a)2(6a)2(2c)2，即5ac，因为e，所以e5，故选B.3(椭圆与抛物线的综合)已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线C：y28x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交
17、点，则|AB|()A3 B6 C9 D12B抛物线C：y28x的焦点坐标为(2,0)，准线方程为x2.从而椭圆E的半焦距c2.可设椭圆E的方程为1(ab0)，因为离心率e，所以a4，所以b2a2c212.由题意知|AB|26.故选B.直线与圆锥曲线的综合问题(5年5考)高考解读直线与圆锥曲线的位置关系是每年高考的亮点，主要涉及直线与抛物线、直线与椭圆的综合问题，突出考查研究直线与圆锥曲线位置关系的基本方法，注意通性通法的应用，考查考生的逻辑推理和数学运算核心素养.角度一：直线与圆锥曲线的位置关系1(2018全国卷)设抛物线C：y22x，点A(2,0)，B(2,0)，过点A的直线l与C交于M，N
18、两点(1)当l与x轴垂直时，求直线BM的方程；(2)证明：ABMABN.切入点：直线l过点A；l与C交于M，N两点；l与x轴垂直关键点：将问题转化为证明kBM与kBN具有某种关系解(1)当l与x轴垂直时，l的方程为x2，可得点M的坐标为(2,2)或(2，2)所以直线BM的方程为yx1或yx1.(2)证明：当l与x轴垂直时，AB为MN的垂直平分线，所以ABMABN.当l与x轴不垂直时，设l的方程为yk(x2)(k0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x10，x20.由得ky22y4k0，可知y1y2，y1y24.直线BM，BN的斜率之和为kBMkBN.将x12，x22及y1y2，y1y2的
19、表达式代入式分子，可得x2y1x1y22(y1y2)0.所以kBMkBN0，可知BM，BN的倾斜角互补，所以ABMABN.综上，ABMABN.角度二：直线与圆锥曲线的相交弦问题2(2018全国卷)已知斜率为k的直线l与椭圆C：1交于A，B两点，线段AB的中点为M(1，m)(m0)(1)证明：k；(2)设F为C的右焦点，P为C上一点，且0.证明：2|.切入点：直线l与椭圆C相交；AB的中点M(1，m)关键点：根据0及点P在C上确定m，并进一步得出|，|，|的关系证明(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则1，1.两式相减，并由k得k0.由题设知1，m，于是k.由题设得0m，故k.(2)由题
20、意得F(1,0)设P(x3，y3)，则(x31，y3)(x11，y1)(x21，y2)(0,0)由(1)及题设得x33(x1x2)1，y3(y1y2)2m0.又点P在C上，所以m，从而P1，|.于是|2.同理|2.所以|4(x1x2)3.故2|.教师备选题(2018北京高考)已知椭圆M：1(ab0)的离心率为，焦距为2.斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A，B.(1)求椭圆M的方程；(2)若k1，求|AB|的最大值；(3)设P(2,0)，直线PA与椭圆M的另一个交点为C，直线PB与椭圆M的另一个交点为D，若C，D和点Q共线，求k.解(1)由题意得解得a，b1.所以椭圆M的方程为y21.(
21、2)设直线l的方程为yxm，A(x1，y1)，B(x2，y2)由得4x26mx3m230，所以x1x2，x1x2.所以|AB| .当m0，即直线l过原点时，|AB|最大，最大值为.(3)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意得x3y3，x3y23.直线PA的方程为y(x2)由得(x12)23yx212yx12y3(x12)20.设C(xC，yC)，所以xCx1.所以xCx1.所以yC(xC2).设D(xD，yD)，同理得xD，yD.记直线CQ，DQ的斜率分别为kCQ，kDQ，则kCQkDQ4(y1y2x1x2)因为C，D，Q三点共线，所以kCQkDQ0.故y1y2x1x2.所以直线l的斜
22、率k1.1判断直线与圆锥曲线公共点的个数或求交点问题的两种常用方法(1)代数法：联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于x，y的方程组，消去y(或x)得到一个一元二次方程，此方程根的个数即为交点个数，方程组的解即为交点坐标；(2)几何法：画出直线与圆锥曲线，根据图形判断公共点个数2弦长公式设斜率为k的直线l与圆锥曲线C的两交点为P(x1，y1)，Q(x2，y2)则|PQ|x1x2|.或|PQ|y1y2|(k0)3弦的中点圆锥曲线C：f(x，y)0的弦为PQ.若P(x1，y1)，Q(x2，y2)，中点M(x0，y0)，则x1x22x0，y1y22y0.1(直线与椭圆的综合)已知离心率为的椭圆1(ab
23、0)的左、右顶点分别为A1，A2，上顶点为B，且1.(1)求椭圆的标准方程；(2)过椭圆左焦点F的直线l与椭圆交于M，N两点，且直线l与x轴不垂直，若D为x轴上一点，|，求的值解(1)A1，A2，B的坐标分别为(a,0)，(a,0)，(0，b)，(a，b)(a，b)b2a21，c21.又e，a24，b23.椭圆的标准方程为1.(2)由(1)知F(1,0)，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线l与x轴不垂直，可设其方程为yk(x1)当k0时，易得|MN|4，|DF|1，4.当k0时，联立得(34k2)x28k2x4k2120，x1x2，x1x2，|MN|x1x2|.又y1y2k(x1x22
24、)，MN的中点坐标为，MN的垂直平分线方程为y(k0)，令y0得，x0，解得x.|DF|，4.综上所述，4.2(直线与抛物线的综合)过抛物线E：x24y的焦点F的直线交抛物线于M，N两点，抛物线在M，N两点处的切线交于点P.(1)证明点P落在抛物线E的准线上；(2)设2，求PMN的面积解(1)抛物线x24y的焦点坐标为(0,1)，准线方程为y1.设直线MN的方程为ykx1，代入抛物线方程x24y，整理得x24kx40.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1x24k，x1x24.对yx2求导，得yx，所以直线PM的方程为yy1x1(xx1)直线PN的方程为yy2x2(xx2)联立方程，消去x，得y1.所以点P落在抛物线E的准线上(2)因为(x1,1y1)，(x2，y21)，且2.所以得x8，x2.不妨取M(2，2)，N(，)，由得P.易得|MN|，点P到直线MN的距离d，所以PMN的面积S.
