1、第1讲空间几何体的表面积、体积及有关量的计算做小题激活思维1一个球的表面积是16，那么这个球的体积为()A.B.C16D24B设球的半径为R，则由4R216，解得R2，所以这个球的体积为R3.2如图，已知正三棱柱ABCA1B1C1中，AB，AA14，若点P从点A出发，沿着正三棱柱的表面，经过棱A1B1运动到点C1，则点P运动的最短路程为()A5 B.C4 D6B将三棱柱展开成如图的图形，让点C1与ABB1A1在同一平面内，C1DAB交A1B1于Q，则C1QA1B1，A1QAD，两点之间线段最短，故AC1即为所求的最短距离，因为C1QA1C1sin 60，所以C1D4，AD，所以AC1.3如图是
2、由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为_，体积为_2816由三视图知该几何体是圆锥与圆柱的组合体，设圆柱底面圆半径为r，周长为c，圆锥母线长为l，圆柱高为h.由图得r2，c2r4，h4，由勾股定理得：l4，S表r2chcl416828.VV柱V锥16.4如图，正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，D为BC的中点，则三棱锥AB1DC1的体积为_1在正三棱柱ABCA1B1C1中，ADBC，ADBB1，BB1BCB，AD平面B1DC1.VAB1DC1SB1DC1AD21.5已知一个圆台的下底面半径为3，高为2，当圆台的上底面半径r变化时，圆台体积的变化范围是_(6，
3、18)V圆台(r2rrr2)h,0r3.当上底面面积为0时，圆台变为圆锥，V圆锥r2h6；当r3时，圆台变为圆柱，V圆柱r2h18.所以圆台体积的变化范围是.扣要点查缺补漏1空间几何体的表面积与体积(1)求三棱锥的体积时，等体积转化是常用的方法，转化原则是其高易求，底面放在已知几何体的某一面上，如T4.(2)求不规则几何体的体积，常用分割或补形的思想，将不规则几何体转化为规则几何体以易于求解.(3)已知几何体的三视图，可去判断几何体的形状和各个度量，然后求解表面积和体积，如T3.2柱、锥、台之间的关系3多面体与球(1)设球的半径为R，球的截面圆半径为r，球心到球的截面的距离为d，则有r.(2)
4、当球内切于正方体时，球的直径等于正方体的棱长，当球外接于长方体时，长方体的体对角线长等于球的直径；当球与正方体各棱都相切时，球的直径等于正方体底面的对角线长(3)若正四面体的棱长为a，则正四面体的外接球半径为a，内切球半径为a.空间几何体的三视图、展开图、截面图(5年2考)高考解读重点考查考生的识图能力和空间想象能力、考生对试题的研究必须经历从“识图”、“想图”到“构图”的过程，要通过观察、分析、想象、判断、计算的逻辑思维才能求解，考查了考生的直观想象和逻辑推理的核心素养.(2018全国卷)某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左
5、视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为()A2B2C3D2切入点：圆柱的三视图关键点：正确还原圆柱体并将侧面展开，找出M，N在侧面展开图中的位置B设过点M的高与圆柱的下底面交于点O，将圆柱沿MO剪开，则M，N的位置如图所示，连接MN，易知OM2，ON4，则从M到N的最短路径为2.教师备选题1(2018北京高考)某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为()A1B2C3D4C由三视图得到空间几何体，如图所示，则PA平面ABCD，平面ABCD为直角梯形，PAABAD2，BC1，所以PAAD，PAAB，PABC.又BCAB，ABPAA，所以BC
6、平面PAB，所以BCPB.在PCD中，PD2，PC3，CD，所以PCD为锐角三角形所以侧面中的直角三角形为PAB，PAD，PBC，共3个故选C.2(2015北京高考)某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为()A1B.C.D2C根据三视图，可知几何体的直观图为如图所示的四棱锥VABCD，其中VB平面ABCD，且底面ABCD是边长为1的正方形，VB1.所以四棱锥中最长棱为VD.连接BD，易知BD，在RtVBD中，VD.1由三视图还原直观图需遵循以下3步(1)看视图明关系；(2)分部分想整体；(3)合起来定整体2解决空间几何体表面上两点间的最短路径问题的常用方法：把立体图形展为平面图形，利
7、用两点之间线段最短进行求解1(由三视图还原几何体)某四棱锥的三视图如图所示，其侧视图是等腰直角三角形，俯视图的轮廓是直角梯形，则该四棱锥的各侧面面积的最大值为()A8B4C8D12D由三视图可知该几何体是一个底面为直角梯形，高为4的四棱锥，如图，其中侧棱PA平面ABCD，PA4，AB4，BC4，CD6，所以AD2，PD6，PB4，连接AC，则AC4，所以PC4，显然在各侧面面积中PCD的面积最大，又PDCD6，所以PC边上的高为2，所以SPCD4212，故该四棱锥的各侧面面积的最大值为12.故选D.2.(侧面展开图)如图，一立在水平地面上的圆锥形物体的母线长为4 m，一只小虫从圆锥的底面圆上的
8、点P出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点P处若该小虫爬行的最短路程为4 m，则圆锥底面圆的半径等于_m.把圆锥侧面沿过点P的母线展开成如图所示的扇形，由题意OP4，PP4，则cosPOP，所以POP.设底面圆的半径为r，则2r4，所以r.3(截面问题)已知圆锥的底面直径为，母线长为1，过圆锥的顶点，作圆锥的截面，则截面面积的最大值为_由于圆锥的底面直径为，母线长为1，设圆锥轴截面的顶角为，则cos .又(0，)，.因此截面面积的最大值为11sin .空间几何体的表面积和体积(5年18考)高考解读空间几何体的表面积和体积是每年的必考内容，题型既有选择题也有解答题，以往多与三视图综合考查，由于新课标对
9、三视图不作要求，对表面积和体积的考查也以单一考点的形式出现在高考试题中.角度一：空间几何体的表面积1(2018全国卷)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为()A12B12C8D10切入点：过直线O1O2的平面截该圆柱所得的轴截面是面积为8的正方形关键点：找出圆柱的底面半径及母线的长B因为过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，所以圆柱的高为2，底面圆的直径为2，所以该圆柱的表面积为2()22212.2(2016全国卷)如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多
10、面体的表面积为()A1836 B5418C90 D81切入点：多面体的三视图关键点：正确还原几何体B由几何体的三视图可知，该几何体是底面为正方形的斜四棱柱由题意可知该几何体底面边长为3，高为6，所以侧棱长为3.故该几何体的表面积S322(36)2(33)25418.角度二：空间几何体的体积3一题多解(2017全国卷)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为()A90 B63 C42 D36切入点：三视图关键点：割补法求体积B法一(割补法)：如图所示，由几何体的三视图，可知该几何体是一个圆柱被截去上面虚线部分所
11、得将圆柱补全，并将圆柱体从点A处水平分成上下两部分由图可知，该几何体的体积等于下部分圆柱的体积加上上部分圆柱体积的，所以该几何体的体积V32432663.故选B.法二(估值法)：由题意，知V圆柱V几何体V圆柱又V圆柱321090，45V几何体90.观察选项可知只有63符合故选B.4(2019全国卷)学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型如图，该模型为长方体ABCDA1B1C1D1挖去四棱锥OEFGH后所得的几何体，其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，ABBC6 cm，AA14 cm.3D打印所用原料密度为0.9 g/cm3.不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为_
12、g.切入点：E、F、G、H分别为所在棱的中点，ABBC6 cm，AA14 cm.关键点：正确求出四棱锥的体积1188由题知挖去的四棱锥的底面是一个菱形，对角线长分别为6 cm和4 cm，故V挖去的四棱锥46312(cm3)又V长方体664144(cm3)，所以模型的体积为V长方体V挖去的四棱锥14412132(cm3)，所以制作该模型所需原料的质量为1320.9118.8(g)5.(2019全国卷)如图，长方体ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BEEC1.(1)证明：BE平面EB1C1；(2)若AEA1E，AB3，求四棱锥EBB1C1C的体积切入点：ABCD为正
13、方形，BEEC1.关键点：线面垂直判定定理的应用；正确求出四棱锥EBB1C1C的高解(1)证明：由已知得B1C1平面ABB1A1，BE平面ABB1A1，故B1C1BE.又BEEC1，B1C1EC1C1，所以BE平面EB1C1.(2)由(1)知BEB190.由题设知RtABERtA1B1E，所以AEBA1EB145，故AEAB3，AA12AE6.如图，作EFBB1，垂足为F，则EF平面BB1C1C，且EFAB3.所以四棱锥EBB1C1C的体积V36318.教师备选题1(2015全国卷)一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为()A.B.C. D
14、.D由已知三视图知该几何体是由一个正方体截去了一个“大角”后剩余的部分，如图所示，截去部分是一个三棱锥设正方体的棱长为1，则三棱锥的体积为V1111，剩余部分的体积V213.所以，故选D.2(2017全国卷)如图，四棱锥PABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，ABBCAD，BADABC90.(1)证明：直线BC平面PAD；(2)若PCD的面积为2，求四棱锥PABCD的体积解(1)证明：在平面ABCD内，因为BADABC90，所以BCAD.又BC平面PAD，AD平面PAD，故BC平面PAD.(2)如图，取AD的中点M，连接PM，CM.由ABBCAD及BCAD，ABC90得四边形
15、ABCM为正方形，则CMAD.因为侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，所以PMAD，PM底面ABCD.因为CM底面ABCD，所以PMCM.设BCx，则CMx，CDx，PMx，PCPD2x.如图，取CD的中点N，连接PN，则PNCD，所以PNx.因为PCD的面积为2，所以xx2.解得x2(舍去)或x2.于是ABBC2，AD4，PM2.所以四棱锥PABCD的体积V24.1求几何体的表面积的方法(1)求表面积问题的思路是将立体几何问题转化为平面图形问题，即空间图形平面化，这是解决立体几何的主要出发点(2)求不规则几何体的表面积时，通常将所给几何体分割成柱、锥、台体
16、，先求这些柱、锥、台体的表面积，再通过求和或作差求得所给几何体的表面积.2求空间几何体体积的常用方法公式法直接根据常见柱、锥、台等规则几何体的体积公式计算等积法根据体积计算公式，通过转换空间几何体的底面和高使得体积计算更容易，或是求出一些体积比等割补法把不能直接计算体积的空间几何体进行适当的分割或补形，转化为可计算体积的几何体1(组合体的表面积)某几何体的三视图如图所示，其中侧视图的下半部分曲线为半圆弧，则该几何体的表面积为_5162由三视图可知该几何体是一个正三棱柱和一个半圆柱的组合体，三棱柱的两个侧面面积之和为24216，两个底面面积之和为222；半圆柱的侧面积为44，两个底面面积之和为2
17、12，所以几何体的表面积为5162.2(等体积转换)如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，已知ABAA13，点P在棱CC1上，则三棱锥PABA1的体积为_由题意，得V三棱锥PABA1V三棱锥CABA1V三棱锥A1ABCSABCAA1323.球与几何体的切、接问题(5年5考)高考解读球与几何体的切、接问题是高考的常考考点，难度偏高，主要考查考生将空间问题转化为平面问题的能力，体现了考生的空间想象逻辑推理及数学运算的核心素养.角度一：球与多面体的切、接问题1(2018全国卷)设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC为等边三角形且其面积为9，则三棱锥DABC体积的最大值为()A12
18、B18 C24 D54切入点：ABC为等边三角形；SABC9.关键点：求出ABC的边长及点D到平面ABC的距离的最大值B如图，E是AC中点，M是ABC的重心，O为球心，连接BE，OM，OD，BO.因为SABCAB29，所以AB6，BMBE2.易知OM平面ABC，所以在RtOBM中，OM2，所以当D，O，M三点共线且DMODOM时，三棱锥DABC的体积取得最大值，且最大值VmaxSABC(4OM)9618.故选B.2(2016全国卷)在封闭的直三棱柱ABCA1B1C1内有一个体积为V的球，若ABBC，AB6，BC8，AA13，则V的最大值是()A4 B. C6 D.切入点：球在直三棱柱ABCA1
19、B1C1的内部；ABBC，AB6，BC8，AA13.关键点：求出最大球的半径B设球的半径为R，ABBC，AB6，BC8，AC10.当球与直三棱柱的三个侧面相切时，有(6810)R68，此时R2；当球与直三棱柱两底面相切时，有2R3，此时R.所以在封闭的直三棱柱中，球的最大半径只能为，故最大体积V3.角度二：球与旋转体的切、接问题3(2017全国卷)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为()A B. C. D.切入点：圆柱的两个底面在直径为2的同一个球的球面上关键点：确定圆柱底面圆的半径B设圆柱的底面半径为r，球的半径为R，且R1，由圆柱两个底面的圆周
20、在同一个球的球面上可知，r，R及圆柱的高的一半构成直角三角形r.圆柱的体积为Vr2h1.故选B.4(2017江苏高考)如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则的值是_切入点：球与圆柱相切关键点：确定内切球的半径设球O的半径为R，球O与圆柱O1O2的上、下底面及母线均相切，圆柱O1O2的高为2R，底面半径为R.教师备选题1(2015全国卷)已知A，B是球O的球面上两点，AOB90，C为该球面上的动点若三棱锥OABC体积的最大值为36，则球O的表面积为()A36B64C144D256C如图，设球的半径为R，AOB90，S
21、AOBR2.VOABCVCAOB，而AOB面积为定值，当点C到平面AOB的距离最大时，VOABC最大，当C为与球的大圆面AOB垂直的直径的端点时，体积VOABC最大为R2R36，R6，球O的表面积为4R2462144.故选C.2(2017全国卷)已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径若平面SCA平面SCB，SAAC，SBBC，三棱锥SABC的体积为9，则球O的表面积为_C如图，连接OA，OB.由SAAC，SBBC，SC为球O的直径，知OASC，OBSC.由平面SCA平面SCB，平面SCA平面SCBSC，OASC，知OA平面SCB.设球O的半径为r，则OAOBr，SC2r
22、，三棱锥SABC的体积VOA，即9，r3，S球表4r236.解决与球有关的切、接问题的策略(1)“接”的处理：构造正(长)方体，转化为正(长)方体的外接球问题.空间问题平面化，把平面问题转化到直角三角形中，作出适当截面(过球心，接点等).利用球心与截面圆心的连线垂直于截面定球心所在直线.(2)“切”的处理：体积分割法求内切球半径.作出合适的截面(过球心，切点等)，在平面上求解，多球相切问题，连接各球球心，转化为处理多面体问题.1(外接球)已知三棱锥PABC的所有顶点都在球O的球面上，PC是球O的直径若平面PCA平面PCB，PAAC，PBBC，三棱锥PABC的体积为a，则球O的体积为()A2a
23、B4a C.a D.aB设球O的半径为R，因为PC为球O的直径，PAAC，PBBC，所以PAC，PBC均为等腰直角三角形，点O为PC的中点，连接AO，OB(图略)，所以AOPC，BOPC，因为平面PCA平面PCB，平面PCA平面PCBPC，所以AO平面PCB，所以V三棱锥PABCSPBCAOAORR3a，所以球O的体积VR34a.故选B.2(内切球)四棱锥PABCD的底面ABCD是边长为6的正方形，且PAPBPCPD，若一个半径为1的球与此四棱锥所有面都相切，则该四棱锥的高是 ()A6 B5 C. D.D过点P作PH平面ABCD于点H.由题意知，四棱锥PABCD是正四棱锥，内切球的球心O应在四棱锥的高PH上过正四棱锥的高作组合体的轴截面如图，其中PE，PF是斜高，M为球面与侧面的一个切点设PHh，易知RtPMORtPHF，所以，即，解得h(h0舍去)，故选D.3(折叠问题)一张半径为1的圆形包装纸，按照如图所示的实线裁剪，并按虚线折叠为各棱长都相等的四棱锥，折叠所成的四棱锥外接球的表面积为_8如图，连接OE，与AD交于I，设正方形ABCD的边长为2x，则EIx，则xx1，即x1.设外接球的球心为Q，半径为R，可得OC，OP，R2(R)2()2.R，该四棱锥的外接球的表面积S4R28.故答案为8.
