1、上海市崇明区2020届高三数学二模考试试题（含解析）一、填空题1.行列式的值等于_【答案】【解析】【分析】根据行列式定义直接计算得到答案.【详解】.故答案为：.【点睛】本题考查了行列式的计算，属于简单题.2.设集合，则 .【答案】【解析】解：因为集合，则3.已知复数z满足，i为虚数单位，则z=_【答案】1-2i【解析】【分析】化简得到，计算得到答案.【详解】，故.故答案为：.【点睛】本题考查了复数的计算，意在考查学生的计算能力.4.已知函数，其反函数为，则_【答案】1【解析】【分析】取，解得，得到答案.【详解】，取，解得，故.故答案为：.【点睛】本题考查了反函数的性质，意在考查学生对于反函数性
2、质的灵活运用.5.已知某圆锥的正视图是边长为2的等边三角形，则该圆锥的体积等于_【答案】【解析】【分析】根据体积公式直接计算得到答案.【详解】由于正视图是边长为2的等边三角形，圆锥的高为，底面半径为1，.故答案为：.【点睛】本题考查了圆锥的体积，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.6.的展开式中含项的系数是_（用数字作答）【答案】32【解析】【分析】直接利用二项式定理计算得到答案.【详解】展开式的通项为：，取得到项的系数是.故答案为：.【点睛】本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力和应用能力.7.若，则_【答案】【解析】【分析】化简得到，再利用二倍角公式计算得到答案.【详解】，.故答案
3、为：.【点睛】本题考查了三角恒等变换，意在考查学生的计算能力和转化能力.8.已知数列是无穷等比数列，其前n项和为，若，则_【答案】8【解析】【分析】计算得到，故，再计算极限得到答案.【详解】，解得，故，故.故答案为：.【点睛】本题考查了等比数列求和，数列极限，意在考查学生对于数列公式的灵活运用.9.将函数的图像向右平移个单位后得到函数的图像，若对满足的任意，的最小值是，则的最小值是_【答案】【解析】【分析】，不妨取，得到答案.【详解】根据题意：，不妨取，取，故，即故，最小值为，故当时，的最小值是.故答案为：.【点睛】本题考查了三角函数平移，三角函数的最值，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用
4、.10.已知样本数据的每个数据都是自然数，该样本的平均数为4，方差为5，且样本数据两两互不相同，则样本数据中的最大值是_【答案】7【解析】【分析】不妨设，则，依次验证得到答案.【详解】根据题意：，不妨设，则，当时，则必有一个数为，验证知无解，故不成立；当时，取，满足条件.故答案为：.【点睛】本题考查了平均值和方差，意在考查学生的计算能力和应用能力.11.在中，则面积的最大值是_【答案】【解析】【分析】计算，得到答案.【详解】，当时等号成立.此时，即时，满足题意.故答案为：.【点睛】本题考查了三角形面积的最值，向量运算，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.12.对于函数，其定义域为D，若对任意
5、的，当时都有，则称函数为“不严格单调增函数”，若函数定义域为，值域为，则函数是“不严格单调增函数”的概率是_【答案】【解析】【分析】考虑有4个函数值相同，有3个函数值相同，各有2个函数值相同三种情况，计算概率得到答案.【详解】当有4个函数值相同时：共有，满足条件的有种；当有3个函数值相同，另外有2个函数值相同时，共有，满足条件的有种；当各有2个函数值相同时，共有，满足条件的有1种.故.故答案为：.【点睛】本题考查了概率的计算，分类讨论是常用的数学方法，需要熟练掌握.二、选择题13.若矩阵是线性方程组的系数矩阵，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】直接根据系数矩阵的定义得到
6、答案.【详解】矩阵是线性方程组的系数矩阵，则.故选：.【点睛】本题考查了系数矩阵，属于简单题.14.若抛物线焦点F与双曲线的一个焦点重合，则n的值为（ ）A. B. 1C. 2D. 13【答案】B【解析】【分析】计算抛物线焦点为，计算得到答案.【详解】抛物线的焦点，故，.故选：.【点睛】本题考查了抛物线和双曲线的焦点，属于简单题.15.设是各项为正数的无穷数列，是边长为的矩形的周长，则“数列为等差数列”的充要条件是（ ）A. 是等差数列B. 或是等差数列C. 和都是等差数列D. 和都是等差数列，且公差相同【答案】D【解析】【分析】根据题意，为等差数列，得到为定值，得到答案.【详解】根据题意：，
7、为等差数列，故为定值，故为定值.则和都是等差数列，且公差相同.反之也成立.故选：.【点睛】本题考查了等差数列的判断，充要条件，意在考查学生的计算能力和推断能力.16.已知函数，记集合，集合，若，且都不是空集，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】设，代入集合得到，讨论和两种情况，得到无解，计算得到答案.【详解】都不是空集，设，则；，则.当时：方程的解为 此时，满足；当时：的解为或 ，则或，则无解， 综上所述：，故选【点睛】本题考查了集合的关系，函数零点问题，综合性强，意在考查学生的综合应用能力.三、解答题17.如图所示，在棱长为2的正方体中，E是棱的中点.（1）
8、求直线BE与平面ABCD所成的角的大小；（2）求点C到平面的距离.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）确定为直线BE与平面ABCD所成的角，计算得到答案.（2）根据平行得到点C到平面的距离等于到平面的距离，根据等体积法计算得到答案.【详解】（1）如图所示：连接，正方体，故平面，故为直线BE与平面ABCD所成的角，故直线BE与平面ABCD所成的角的大小为.（2），故平面，故点C到平面的距离等于到平面的距离，中：，根据余弦定理：，故，故，故点C到平面的距离为. 【点睛】本题考查了线面夹角，点面距离，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.18.已知函数（1）判断在其定义域上的单调性，并用函数单
9、调性的定义加以证明；（2）讨论函数的奇偶性，并说明理由.【答案】（1）在其定义域上是增函数，证明见解析 （2）当时，函数是奇函数，当时，函数既不是奇函数也不是偶函数，见解析【解析】【分析】（1）设，计算，得到答案.（2）讨论和两种情况，根据函数奇偶性的定义判断得到答案.【详解】（1）函数单调递增，设，则，易知，故，函数单调递增.（2），当时，函数为奇函数；当时，函数不是奇函数，函数不是偶函数，故为非奇非偶函数.综上所述：当时，函数是奇函数，当时，函数既不是奇函数也不是偶函数.【点睛】本题考查了函数的单调性和奇偶性，意在考查学生对于函数性质的综合应用.19.某开发商欲将一块如图所示的四边形空地A
10、BCD沿着边界用固定高度的板材围成一个封闭的施工区域，经测量，边界AB与AD的长都是2千米，BAD=60，BCD=120.（1）如果ADC=105，求BC的长（结果精确到0.001千米）；（2）围成该施工区域至多需要多少千米长度的板材?（不计损耗，结果精确到0.001千米）【答案】（1）约1.633千米（2）约6.309千米【解析】【分析】（1）如图所示：连接，则为等边三角形，根据正弦定理计算得到答案.（2）设，根据正弦定理得到，计算得到 答案.【详解】（1）如图所示：连接，则为等边三角形，在中：，故.（2）设，则，故，当时，等号成立，故至多需要.【点睛】本题考查了正弦定理解三角形，意在考查学
11、生的计算能力和应用能力.20.已知椭圆的右焦点为F，直线与该椭圆交于点A、B（点A位于轴上方），轴上一点C（2,0），直线AF与直线BC交于点P.（1）当时，求线段AF的长；（2）求证：点P在椭圆上；（3）求证：.【答案】（1）（2）证明见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）计算，得到距离（2）计算：，：，消去得到，得到证明（3）设点、，设直线的方程为，联立方程得到，设，根据函数单调性得到答案.【详解】（1），代入椭圆方程得到，故.（2）计算得到，故：，：，消去得到，代入方程得到：，化简得到，故点P在椭圆上.（3）设点、，设直线的方程为，联立，得，由韦达定理得，令，则，函数在上单调递减，
12、则.当时，等号成立.【点睛】本题考查了线段长度，点与椭圆的位置关系，面积问题，意在考查学生的计算能力和和综合应用能力.21.在无穷数列中，且，记的前n项和为.（1）若，求的值；（2）若，求的值；（3）证明：中必有一项为1或3.【答案】（1）37（2）5（3）证明见解析【解析】【分析】（1）计算数列前9项，再计算和得到答案.（2）讨论为偶数，为偶数，为偶数，为奇数，为奇数，为偶数，为奇数，为奇数四种情况，计算得到答案.（2）设中最小的奇数为，则，讨论为奇数，为偶数两种情况，计算得到答案.【详解】（1），故，故.（2）当为偶数，为偶数时，无整数解；当为偶数，为奇数时，解得，验证不成立；当为奇数，为偶数时，解得，验证成立；当为奇数，为奇数时，无整数解；综上所述：.（3）设中最小的奇数为，则，若为奇数，则，解得；若为偶数，则，为奇数，解得；又，中必有一项为1或3.综上所述：，故中必有一项为1或3.【点睛】本题考查了数列求和，证明数列中项，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用.
