1、1定积分的概念在f(x)dx中，a，b分别叫做积分下限与积分上限，区间a，b叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式2定积分的性质(1)kf(x)dxkf(x)dx(k为常数)；(2)f1(x)f2(x)dxf1(x)dxf2(x)dx；(3)f(x)dxf(x)dxf(x)dx(其中ac0.()(3)若f(x)dx0)所围成的曲边梯形的面积为，则k_.答案(1)D(2)2解析(1)由x2，得x或x(舍)，则阴影部分的面积为S0(x2)dx1(x2)dx(xx3)|0(x3x)|1.(2)由得或则曲线yx2与直线ykx(k0)所围成的曲边梯形的面积为(kx
2、x2)dx(x2x3)|，即k38，解得k2.思维升华(1)根据定积分的几何意义可计算定积分；(2)利用定积分求平面图形面积的四个步骤：画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图象；借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限；把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和；计算定积分，写出答案(1)定积分dx的值为()A9 B3C. D.(2)由曲线y2x2，直线y4x2，直线x1围成的封闭图形的面积为_答案(1)C(2)解析(1)由定积分的几何意义知dx是由曲线y，直线x0，x3，y0围成的封闭图形的面积，故dx，故选C.(2)由解得x1，依题意可得，所求的封闭图形的面积为(2x2
3、4x2)dx(x32x22x)|11(1321221)(1)32(1)22(1).题型三定积分在物理中的应用例4一物体作变速直线运动，其vt曲线如图所示，则该物体在 s6 s间的运动路程为_ m.答案解析由图可知，v(t)由变速直线运动的路程公式，可得s v(t)dt 2tdt2dt(t1)dtt2|2t|(t2t)|(m)所以物体在 s6 s间的运动路程是 m.思维升华定积分在物理中的两个应用：(1)变速直线运动的位移：如果变速直线运动物体的速度为vv(t)，那么从时刻ta到tb所经过的路程sv(t)dt.(2)变力做功：一物体在变力F(x)的作用下，沿着与F(x)相同方向从xa移动到xb时
4、，力F(x)所做的功是WF(x)dx.设变力F(x)作用在质点M上，使M沿x轴正向从x1运动到x10，已知F(x)x21且和x轴正向相同，则变力F(x)对质点M所做的功为_答案342解析变力F(x)x21使质点M沿x轴正向从x1运动到x10所做的功为WF(x)dx(x21)dx(x3x)|342，即变力F(x)对质点M所做的功为342.5利用定积分求面积时易错点典例已知函数yF(x)的图象是折线段ABC，其中A(0,0)，B(，5)，C(1,0)，则函数yxF(x)(0x1)的图象与x轴围成的图形的面积为_易错分析本题在根据函数图象写分段函数时易错，导致不能正确写出积分式；另外，求原函数时也易
5、出错解析由题意，F(x)则xF(x)所以函数yxF(x)(0x1)的图象与x轴围成的图形的面积为 10x2dx (10x210x)dxx3(5x2x3) (5)().答案温馨提醒(1)利用定积分求图形的面积要根据图形确定被积函数和积分上、下限，运用微积分基本定理计算定积分，求出图形面积；(2)注意区分定积分和图形面积的关系：定积分是一个数值，可正可负；而图形面积总为正方法与技巧1求定积分的基本方法：(1)利用微积分基本定理求定积分步骤如下：求被积函数f(x)的一个原函数F(x)；计算F(b)F(a)(2)利用定积分的几何意义求定积分2对于求平面图形的面积问题，应首先画出平面图形的大致图形，然后
6、根据图形特点，选择相应的积分变量及被积函数，并确定被积区间失误与防范1若定积分的被积函数为分段函数，要分段积分然后求和2定积分式子中隐含的条件是积分上限大于积分下限3定积分的几何意义是曲边梯形的面积，但要注意：面积非负，而定积分的结果可以为负A组专项基础训练(时间：35分钟)1定积分(2xex)dx的值为()Ae2 Be1 Ce De1答案C解析(2xex)dx(x2ex)|e.故选C.2由曲线ysin x，ycos x与直线x0，x所围成的平面图形的面积是()A1 B.C. D22答案D解析由sin xcos x(x(0，)，解得x.故图中阴影部分的面积S(cos xsin x)dx(sin
7、 xcos x)dx(sin xcos x)(cos xsin x)sincoscos 0(cossin)(cossin)22.(本题也可利用图形的对称性求解)3一物体在变力F(x)5x2(力单位：N，位移单位：m)作用下，沿与F(x)成30方向作直线运动，则由x1运动到x2时，F(x)做的功为()A. J B. J C. J D2 J答案C解析F(x)cos 30dx(5x2)dx，F(x)做的功为 J.4.已知二次函数yf(x)的图象如图所示，则它与x轴所围成的面积为()A. B.C. D.答案B解析根据f(x)的图象可设f(x)a(x1)(x1)(a0)因为f(x)的图象过(0,1)点，
8、所以a1，即a1.所以f(x)(x1)(x1)1x2.所以S(1x2)dx2(1x2)dx2(xx3)|2(1).5若定积分dx，则m等于()A1 B0 C1 D2答案A解析根据定积分的几何意义知，定积分dx的值就是函数y的图象与x轴及直线x2，xm所围成图形的面积，y是一个圆心为(1,0)，半径为1的半圆，其面积等于，而dx，即在区间2，m上该函数图象应为个圆，于是得m1，故选A.6(exx)dx_.答案e解析(exx)dx(exx2)|e1e.7由直线x，x，y0与曲线ycos x所围成的封闭图形的面积为_答案解析所求面积Scos xdxsin x|sin(sin).8一物体在力F(x)(
9、单位：N)的作用下沿与力F相同的方向，从x0处运动到x4(单位：m)处，则力F(x)做的功为_焦答案36解析由题意知，力F(x)所做的功为WF(x)dx5dx(3x4)dx52(x24x)|104244(2242)36(焦)9求曲线y，y2x，yx所围成图形的面积解由得交点A(1,1)；由得交点B(3，1)故所求面积Sdxdx|10|31.10在某介质内作变速直线运动的物体，经过时间t(单位：s)所走过的路程s4t2(单位：m)，若介质阻力F与物体的运动速度v成正比，且当v10 m/s时，F5 N，求物体在位移区间1,4内克服介质阻力所做的功解物体经过时间t所走过的路程s4t2，速度v(t)s
10、8t.设Fkv(t)，由“当v10 m/s时，F5 N”知k，F4t.dWFds4td(4t2)32t2dt.s1,4，t，1，物体在位移区间1,4内克服介质阻力所做的功W132t2dt|1(J)B组专项能力提升(时间：15分钟)11若f(x)x22f(x)dx，则f(x)dx等于()A1 BC. D1答案B解析f(x)x22f(x)dx，f(x)dx(x32xf(x)dx)|2f(x)dx，f(x)dx.故选B.12若S1x2dx，S2dx，S3exdx，则S1，S2，S3的大小关系为()AS1S2S3 BS2S1S3CS2S3S1 DS3S2S1答案B解析方法一S1x3|，S2ln x|l
11、n 2ln e1，S3ex|e2e2.722.74.59，所以S2S1S3.方法二S1，S2，S3分别表示曲线yx2，y，yex与直线x1，x2及x轴围成的图形的面积，通过作图易知S2S10)围成的图形的面积为，则m的值为()A2 B3 C1 D8答案A解析Sm20(m)dx(mxx)|m20m3m3，解得m2.14汽车以v3t2(单位：m/s)作变速直线运动时，在第1 s至第2 s间的1 s内经过的路程是_ m.答案6.5解析s(3t2)dt(t22t)|44(2)10(m)15已知f(a)(2ax2a2x)dx，则函数f(a)的最大值为_答案解析f(a)(2ax2a2x)dx(ax3a2x2)|10a2a，由二次函数的性质可得f(a)max.
