1、3.2 一般形式的柯西不等式（检测教师版）时间:50分钟 总分：80分 班级： 姓名： 一、选择题（共6小题，每题5分，共30分）1. 设a ， b ， c0，且abc1，则 的最大值是( )A. 1 B. C. 3 D. 9【答案】B【解析】由柯西不等式得，当且仅当时等号成立，的最大值为，故选B.2. n个正数的和与这n个正数的倒数和的乘积的最小值是( )A. 1 B. n C. n2 D. 【答案】C【解析】由柯西不等式，得 ，当且仅当时取等号，故选C.3. 若实数xyz1，则2x2+y2+3z2 的最小值为( )A. 1 B. 6 C. 11 D. 【答案】D4. 若实数a ，b ，c均
2、大于0，且abc3，则 的最小值为( )A. 3 B. 1 C. D. 【答案】D【解析】，当且仅当时等号成立，故选D.5. 已知abc1，且a ， b ， c0，则 的最小值为( )A. 1 B. 3 C. 6 D. 9【答案】D【解析】 ，当且仅当时等号成立，故选D.【易错点晴】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时
3、成立）.6. 已知实数a ， b ， c ， d满足abcd3，a2+2b2+3c2+6d2=5 ，则a的最大值是( )A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】B解：根据柯西不等式，得（2b2+4c2+4d2）（+）（b+c+d）2当且仅当2b=4c=4d时，等号成立a+b+c+d=3，a2+2b2+4c2+4d2=55a2（3a）2，解之得1a2，当且仅当2b=4c=4d且b+c+d=1时，即当b=，c=d=时，a有最大值2故选B点评：本题在a+b+c+d=3，a2+2b2+4c2+4d2=5的情况下，求实数a的最大值，着重考查了柯西不等式及其应用，属于中档题，解题时应该注意柯西不等式
4、等号成立的条件二、填空题（共4小题，每题5分，共20分）7函数 的最小值为_【答案】25【解析】 ，故答案为.【方法点睛】本题主要考查了一般形式的柯西不等式，属于中档题. 解决问题的关键是利用柯西不等式求最值时， 关键是对原目标函数进行配凑，以保证出现常数结果.同时，要注意等号成立的条件, 配凑过程采取如下方法：一是考虑题设条件；二是对原目标函数进行配凑后利用柯西不等式解答8. 设x ，y ，zR，2x2yz80，则(x-1)2+(y+2)2+（z-3)2 的最小值为_.【答案】9【解析】试题分析：利用柯西不等式即可得出解：由柯西不等式可得：（x1）2+（y+2）2+（z3）2（22+22+1
5、2）2（x1）+2（y+2）+1（z3）2=（2x+2y+z1）2=（81）2，化为（x1）2+（y+2）2+（z3）29，当且仅当，且2x+2y+z+8=0，即x=1，y=2，z=2时取等号故（x1）2+（y+2）2+（z3）2之最小值为8故答案为8点评：本题考查了柯西不等式的应用，属于基础题9、已知a，b，cR，a2b3c6，则a24b29c2的最小值为_【解析】a2b3c6，1a12b13c6.(a24b29c2)(121212)(a2b3c)2，即a24b29c212.当且仅当，即a2，b1，c时取等号【答案】1210设x，y，zR，若(x1)2(y2)2z24，则3xy2z的取值范围
6、是_又3xy2z取最小值时，x的值为_【解析】(x1)2(y2)2z232(1)2(2)2(3x3y22z)2,414(3xy2z5)2，23xy2z52，即523xy2z52.若3xy2z52，又t，3(3t1)(t2)2(2t)52，t，x1.【答案】52，521三、解答题（共3小题，每题10分，共30分）11、 已知 a,b 为实数,且 a0,b0 , (1)求证: ; (2)求(5-2a)2+4b2+(a-b)2 的最小值.【答案】（1）见解析（2） 【解析】试题分析：（1）先利用基本不等式可得，可得 ，再次利用基本不等式可得结论；（2）原不等式左边化为. ，利用柯西不等式求解即可.试
7、题解析：（1）证明:因为a0,b0,所以 （2）解：(5-2a)2+4b2+(a-b)2 12+12+22 (5-2a)1+2b1+(a-b)22 ,所以当且仅当 时取等号,解得所以当时取最小值 .当时取最小值. 12. 设2x3y5z29，求函数 的最大值.【答案】 【解析】试题分析：本题主要考查了一般形式的柯西不等式，解决问题的关键是利用柯西不等式求最值时， 关键是对原目标函数进行配凑，以保证出现常数结果.同时，要注意等号成立的条件，本题采取如下方法将原目标函数进行配凑后利用柯西不等式解答. 试题解析：根据柯西不等式1203(2x1)(3y4)(5z6) ，故 .当且仅当2x13y45z6，即，时等号成立，此时 . 13. 设a ， b ， c为正数，且不全相等.求证： .【答案】见解析【解析】试题分析：本题主要考查了一般形式的柯西不等式，解决问题的关键是柯西不等式的结构特征可以记为 ，在使用柯西不等式时(要注意从整体上把握柯西不等式的结构特征)，准确地构造公式左侧的两个数组是解决问题的关键. 试题解析：本题考查三维形式的柯西不等式的应用.解答本题需要构造两组数据， ， ；， ，然后利用柯西不等式解决.构造两组数， ， ；，,则由柯西不等式得，即 ，于是 .由柯西不等式知，中有等号成立 .因题设，a ， b ， c不全相等，故中等号不成立，于是.