1、授课提示：对应学生用书第329页A组基础保分练1已知O为坐标原点，抛物线C：y28x上一点A到焦点F的距离为6，若P为抛物线C准线上的一个动点，则|OP|AP|的最小值为()A4B4C4D6解析：抛物线y28x的准线方程为x2，因为|AF|6，所以由抛物线的定义知点A到准线的距离为6，即点A的横坐标为4.因为点A在抛物线上，不妨设点A在第一象限，则点A的坐标为(4,4)坐标原点O关于准线的对称点B的坐标为(4,0)如图，连接BP，则|PO|PB|，所以当A，P，B三点共线时，|PA|PO|有最小值，即(|PA|PO|)min|AB|4.答案：C2(2021广州调研)在平面直角坐标系xOy中，直
2、线xy20与椭圆C：1(ab0)相切，且椭圆C的右焦点F(c,0)关于直线l：yx的对称点E在椭圆C上，则OEF的面积为()A.BC1D2解析：联立方程可得消去x，化简得(a22b2)y28b2yb2(8a2)0，由0得2b2a280.设F为椭圆C的左焦点，连接FE(图略)，易知FEl，所以FEEF，又点F到直线l的距离d，所以|EF|，|FE|2a|EF|，在RtFEF中，|FE|2|EF|2|FF|2，化简得2b2a2，代入2b2a280得b22，a2，所以|EF|FE|2，所以SOEFSFEF1.答案：C3椭圆ax2by21(a0，b0)与直线y1x交于A，B两点，过原点与线段AB中点的
3、直线的斜率为，则的值为()A.BC.D答案：B4已知椭圆C：1(a0，b0)的离心率为，直线l与椭圆C交于A，B两点，且线段AB的中点为M(2,1)，则直线l的斜率为()A.BC.D1解析：由e，得，所以a24b2，则椭圆方程为x24y24b2.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x24，y1y22，把A，B的坐标代入椭圆方程得得(x1x2)(x1x2)4(y1y2)(y1y2)，所以.所以直线l的斜率为.答案：C5在直角坐标系xOy中，抛物线C：y24x的焦点为F，准线为l，P为C上一点，PQ垂直l于点Q，M，N分别为PQ，PF的中点，直线MN与x轴交于点R，若NFR60，则|NR|
4、()A2BC2D3解析：如图，连接MF，QF，设准线l与x轴交于点H.y24x的焦点为F，准线为l，P为C上一点，|FH|2，|PF|PQ|.M，N分别为PQ，PF的中点，MNQF.PQ垂直l于点Q，PQOR，|PQ|PF|，NFR60，PQF为等边三角形，MFPQ，F为HR的中点，|FR|FH|2，|NR|2.答案：A6已知抛物线y22px(p0)的准线方程为x1，焦点为F，A，B，C为抛物线上不同的三点，|，|，|成等差数列，且点B在x轴下方，若0，则直线AC的方程为()A2xy10Bx2y10C2xy10Dx2y10解析：抛物线y22px的准线方程为x1，p2，抛物线方程为y24x，F(
5、1,0)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，根据抛物线的定义得，|x11，|x21，|x31，|，|，|成等差数列，2|，即2(x21)x11x31，整理得x1x32x2.又0，x11x21x310，y1y2y30，x21.又y20，y22，x1x32，y1y32，AC的中点坐标为(1,1)，kAC2，直线AC的方程为y12(x1)，即2xy10.答案：A7(2021广州模拟)已知F为抛物线C：x22py(p0)的焦点，曲线C1是以F为圆心，为半径的圆，直线2x6y3p0与曲线C，C1从左至右依次相交于P，Q，R，S，则_.解析：可得直线2x6y3p0与y轴交点是抛物线C：
6、x22py(p0)的焦点F，由得x2pxp20xPp，xSpyPp，ySp.|RS|SF|ySp，|PQ|PF|yPp.则.答案：8已知点A(0,1)，抛物线C：y2ax(a0)的焦点为F，连接FA，与抛物线C相交于点M，延长FA，与抛物线C的准线相交于点N，若|FM|MN|12，则实数a的值为_解析：依题意得抛物线的焦点F的坐标为，过M作抛物线的准线的垂线，垂足为K(图略)，由抛物线的定义知|MF|MK|.因为|FM|MN|12，所以|KN|KM|1，又kFN，kFN，所以，解得a.答案：9(2021北京海淀区模拟)已知椭圆C：1，直线l：xy20与椭圆C相交于两点P，Q，与x轴交于点B，点
7、P，Q与点B不重合(1)求椭圆C的离心率；(2)当SOPQ2时，求椭圆C的方程；(3)过原点O作直线l的垂线，垂足为N.若|PN|BQ|，求实数的值解析：(1)a23m，b2m，c22m，e2，故e.(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，y1y20，将xy20代入椭圆C的方程并整理得4x212x123m0，依题意，由(12)244(123m)0得m1.且有|PQ|x1x2|，原点到直线l的距离d，所以SOPQ|PQ|d2.解得m1，故椭圆方程为1.(3)直线l的垂线为ON：yx，由解得交点N(1,1)因为|PN|BQ|，又x1x23，所以1，故的值为1.10(2020高考全国卷)已知椭圆
8、C：1(0m5)的离心率为，A，B分别为C的左、右顶点(1)求C的方程；(2)若点P在C上，点Q在直线x6上，且|BP|BQ|，BPBQ，求APQ的面积解析：(1)由题设可得，得m2，所以C的方程为1.(2)设P(xP，yP)，Q(6，yQ)，根据对称性可设yQ0，由题意知yP0.由已知可得B(5,0)，直线BP的方程为y(x5)，所以|BP|yP，|BQ|.因为|BP|BQ|，所以yP1.将yP1代入C的方程，解得xP3或3.由直线BP的方程得yQ2或8.所以点P，Q的坐标分别为P1(3,1)，Q1(6,2)；P2(3,1)，Q2(6,8)|P1Q1|，直线P1Q1的方程为yx，点A(5,0
9、)到直线P1Q1的距离为，故AP1Q1的面积为.|P2Q2|，直线P2Q2的方程为yx，点A到直线P2Q2的距离为，故AP2Q2的面积为.综上，APQ的面积为.B组能力提升练1(2021郑州调研)已知椭圆C：1(ab0)与圆D：x2y22axa20交于A，B两点，连接OA，AD，DB，OB，若四边形OADB(O为原点)是菱形，则椭圆C的离心率为()A.BC.D解析：由已知得圆D：(xa)2y2a2，圆心D(a,0)，则菱形OADB对角线的交点的坐标为.将x代入圆D的方程，得ya，不妨设点A在x轴上方，即A.将点A的坐标代入椭圆C的方程可得1，所以a2b2a2c2，得a2c，所以椭圆C的离心率e
10、.答案：B2(2021长沙模拟)已知F1，F2分别是双曲线C：y2x21的上、下焦点，P是其一条渐近线上的一点，且以F1F2为直径的圆经过点P，则PF1F2的面积为()A.B1C.D2解析：设P(x0，y0)，不妨设点P在双曲线C的过一、三象限的渐近线xy0上，因此可得x0y00.易知F1(0，)，F2(0，)，所以|F1F2|2，以F1F2为直径的圆的方程为x2y22，又以F1F2为直径的圆经过点P，所以xy2.由得|x0|1，于是SPF1F2|F1F2|x0|21.答案：C3如图，点A为双曲线C：1(a0，b0)的右顶点，点P为双曲线上一点，作PBx轴，垂足为B，若A为线段OB的中点，且以
11、A为圆心，AP为半径的圆与双曲线C恰有三个公共点，则双曲线C的离心率为()A.BC2D解析：法一：由题意可得A(a,0)，又A为线段OB的中点，所以可得B(2a,0)，令x2a，则yb，可取P(2a，b)由题意可得圆A经过双曲线的左顶点(a,0)，即|AP|2a，即2a，可得ab，e .法二：设双曲线C的左顶点为M，圆A与x轴的正半轴交于点N.由已知易得|PB|b，|BM|3a，|BN|a，连接PM，PN(图略)，则PMPN，在RtPMN中，PBMN，所以|PB|2|BM|BN|，所以3b23a2，因为c2b2a2，所以e.答案：A4(多选题)(2021海南模拟)已知抛物线C：y22px(p0
12、)的准线经过点M(1,1)，过C的焦点F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则下列结论正确的是()Ap2B|AB|DE|的最小值为16C四边形ADBE的面积的最小值为64D若直线l1的斜率为2，则AMB90解析：由题可知1，所以p2，故A正确；设直线l1的斜率为k(k0)，则直线l2的斜率为.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x3，y3)，E(x4，y4)，直线l1：yk(x1)，直线l2：y(x1)联立消去y整理得k2x2(2k24)xk20，所以x1x2，x1x21.所以|AB|x1x2p24，同理|DE|x3x4p44k2，从而
13、|AB|DE|8416，当且仅当k1时等号成立，故B正确；因为S四边形ADBE|AB|DE|8(1k2)832，当且仅当k1时等号成立，故C错误；(x11，y11)(x21，y21)x1x2x1x21y1y2(y1y2)1，当k2时，x1x23，x1x21，y1y22，y1y24，代入上式，得0，所以AMB90，故D正确答案：ABD5(2020高考天津卷)已知椭圆1(ab0)的一个顶点为A(0，3)，右焦点为F，且|OA|OF|，其中O为原点(1)求椭圆的方程；(2)已知点C满足3，点B在椭圆上(B异于椭圆的顶点)，直线AB与以C为圆心的圆相切于点P，且P为线段AB的中点，求直线AB的方程解析
14、：(1)由已知可得b3.记半焦距为c，由|OF|OA|可得cb3.又由a2b2c2，可得a218.所以椭圆的方程为1.(2)因为直线AB与以C为圆心的圆相切于点P，所以ABCP.依题意，直线AB和直线CP的斜率均存在设直线AB的方程为ykx3.由方程组消去y，可得(2k21)x212kx0，解得x0或x.依题意，可得点B的坐标为.因为P为线段AB的中点，点A的坐标为(0，3)，所以点P的坐标为.由3，得点C的坐标为(1,0)，故直线CP的斜率为.又因为ABCP，所以k1，整理得2k23k10，解得k或k1.所以直线AB的方程为yx3或yx3.C组创新应用练1设双曲线1的左、右焦点分别为F1，F
15、2，过F1的直线l交双曲线左支于A，B两点，则|AF2|BF2|的最小值为()A13B12C11D10解析：由题意得双曲线的实半轴长a2，虚半轴长b.根据双曲线的定义得|AF2|AF1|2a4，|BF2|BF1|2a4，得|AF2|BF2|AF1|BF1|8|AB|8.又|AB|min3，所以|AF2|BF2|的最小值为11.答案：C2如图，过抛物线y24x的焦点F作直线l，交抛物线于P，Q两点，以线段PQ为直径的圆M交x轴于A，B两点，交y轴于C，D两点，则的最小值为()A.BC.D解析：由题意知F(1,0)，设直线l的方程为xmy1，代入y24x，并消去x，得y24my40，设P(x1，y
16、1)，Q(x2，y2)，则y1y24m，y1y24，M(2m21,2m)，圆M的半径r|PQ|y1y2|2m22.过M作MGAB于点G，MHCD于点H(图略)，则|AB|2(2|AG|)24(r2|MG|2)4(2m22)2(2m)216(m4m21)，|CD|2(2|DH|)24(r2|MH|2)4(2m22)2(2m21)24(4m23)令4m23t，则t3，m2，44(1)，故当t，即t，m2时，取得最小值.答案：D3(2021嘉兴教学测试)如图，已知抛物线C1：y24x和圆C2：(x1)2y21，直线l经过C1的焦点F，自上而下依次交C1和C2于A，B，C，D四点，则的值为()A.BC1D2解析：法一：因为直线l经过抛物线C1的焦点F(1,0)，所以可设l：xmy1.将直线方程与抛物线方程联立，消元化简可得y24my40，设A(x1，y1)，D(x2，y2)，则y1y24.|(x111)(x211)x1x21.法二：不妨考虑特殊情况，即lx轴，则A(1,2)，B(1,1)，C(1，1)，D(1，2)，所以(0，1)，(0，1)，所以1.答案：C
