1、高 考 总 复 习 艺考生山东版数学 第5节 对数与对数函数 第二章 函数、导数及其应用最新考纲核心素养考情聚焦1.理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数2.通过具体实例，了解对数函数的概念能用描点法或借助计算工具画出对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点3.知道对数函数ylogax与指数函数yax互为反函数(a0，且a1)1.对数的基本运算，发展数学运算素养2.对数函数的图象及应用，提升直观想象和数学运算素养3.对数函数的性质及应用，提升逻辑推理和数学运算素养对数及对数的运算性质，以对数函数为载体的对数型函数的图象和性质，考查函数值的大小比较
2、及单调性的应用，尤其是有关对数函数的复合函数是高考热点主要以选择题、填空题形式出现，属于中低档题1对数的概念(1)对数的定义：如果 axN(a0，且 a1)，那么 x 叫做以 a 为底 N 的对数，记作 xlogaN，其中 a 叫做对数的底数，N 叫做真数(2)两种常见对数：对数形式特点记法常用对数底数为 10 Lg N 自然对数底数为 e Ln N 2.对数的性质、换底公式与运算性质(1)对数的性质：loga1 0；logaa 1；alogaN N；logaab b(a0，且 a1)(2)对数的运算法则如果 a0 且 a1，M0，N0，那么loga(MN)logaMlogaN；logaMN
3、logaMlogaN；logaMn nlogaM(nR)；logamMnnmlogaM(m，nR，且 m0)(3)对数的重要公式换底公式：logbNlogaNlogab(a，b 均大于零且不等于 1)；logab 1logba，推广 logablogbclogcd logad.3对数函数及其性质(1)概念：函数 ylogax(a0，且 a1)叫做对数函数，其中 x 是自变量，函数的定义域是(0，)(2)对数函数的图象与性质底数a10a1 时，y0；当 0 x1 时，y1 时，y0；当 0 x0 性质在(0，)上是 增函数 在(0，)上是 减函数 4.反函数指数函数 yax(a0，且 a1)与对
4、数函数 ylogax(a0，且a1)互为反函数，它们的图象关于直线 yx 对称 对数函数的图象与底数大小的比较如图，作直线 y1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数故 0cd1ab.由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大思考辨析 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“”，错误的打“”(1)函数 ylog2(x1)是对数函数()(2)log2x22log2x.()(3)当 x1 时，logax0.()(4)对数函数 ylogax(a0 且 a1)的图象过定点(1,0)，且过点(a,1)，1a，1，函数图象只在第一、四象限()(5)函数 yln1x1x与 y
5、ln(1x)ln(1x)的定义域相同()答案：(1)(2)(3)(4)(5)小题查验1(log29)(log34)等于()A.14 B.12 C2 D4解析：D 法一：原式lg 9lg 2lg 4lg 32lg 32lg 2lg 2lg 3 4.法二：原式2log23log24log23224.2(2019龙岩模拟)alog132，b3log213，c2log123，则 a，b，c 的大小关系是()AcabBabcCacbDcba解析：D alog13 2log3212，1，0b3log2133log31313，c2log1230，可得 cba，故选 D.3已知 lg alg b0(a0 且
6、a1，b0 且 b1)，则 f(x)ax 与g(x)logbx 的图象可能是()4(人教 A 版教材习题改编)函数 y log0.54x3的定义域为_解析：由4x30log0.54x30，解得 x34，1.答案：34，1解析：f(x)是 R 上的偶函数，它的图象关于 y 轴对称f(x)在0，)上为增函数，f(x)在(，0上为减函数，由 f13 0，得 f13 0.x2 或 0 x12，x0，12(2，)答案：0，12(2，)考点一 对数的基本运算(自主练透)题组集训1(2018全国卷)已知函数 f(x)log2(x2a)，若 f(3)1，则 a_.解析：根据题意有 f(3)log2(9a)1，
7、可得 9a2，所以 a7.答案：72.lg 32lg 91lg 27lg 8lg 1 000lg 0.3lg 1.2_.解析：原式lg 322lg 3132lg 33lg 232lg 31lg 32lg 211lg 332lg 32lg 21lg 31lg 32lg 21 32.答案：323若 log147a,14b5，则用 a，b 表示 log3528_.解析：14b5，log145b，又 log147a，log3528log1428log1435log141427log145log1472aab.答案：2aab对数运算的一般思路(1)首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形
8、式，使幂的底数最简，然后正用对数运算性质化简合并(2)将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算考点二 对数函数的图象及应用(子母变式)直观想象数形结合法在对数函数问题中的应用对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合求解一些对数型函数、方程、不等式问题的求解，常转化为相应函数图象问题，利用数形结合法求解母题 当 0 x12时，4x1 时不满足条件，当 0a1 时，画出两个函数在0，12 上的图象，可知，f12 g12，即 2 22，所以 a 的取值范围为22，1
9、.法二：0 x12，14x1，0a1，排除选项 C，D；取 a12，x12，则有2，121，显然 4xlogax 不成立，排除选项 A.子题 1 将母题变为：若不等式 x2logax0 对 x0，12 恒成立，则实数 a 的取值范围是_解析：由 x2logax0 得 x2logax，设 f1(x)x2，f2(x)logax，要使 x0，12 时，不等式 x21 时，显然不成立；当 0a1 时，如图所示，要使 x2logax 在 x0，12 上恒成立，需 f112 f212，所以有122loga12，解得 a 116，116a1.即实数 a 的取值范围是116，1.答案：116，1子题 2 将母
10、题变为：当 0 x14时，xlogax，则实数 a 的取值范围是_解析：若 xlogax 在 x0，14 成立，则 0a1，且 y x的图象在 ylogax 图象的下方，如图所示，由图象知14loga14，0a14，解得 116a03x，x0，且关于 x 的方程 f(x)xa0 有且只有一个实根，则实数 a 的取值范围是_解析：如图，在同一坐标系中分别作出 yf(x)与 yxa 的图象，其中 a 表示直线在 y 轴上的截距，由图可知，当 a1 时，直线 yxa 与 yf(x)只有一个交点答案：a1应用对数型函数的图象可求解的问题(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单
11、调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解考点三 对数函数的性质及应用(师生共研)命题角度 1 比较对数值的大小1(2016全国卷)若 ab0,0c1，则()Alogaclogbc BlogcalogcbCaccb解析：B 0cb1 时，logaclogbc，A 项错误；0cb0，logcalogcb，B 项正确；0cb0，acbc，C 项错误；0cb0，ca0 且 a1)，如果对于任意的 x13，2 都有|f(x)|1 成立，则 a 的取值范围为_解析：f(x)logax，则 y|f(x)|的图象如
12、右图由图知，要使 x13，2 时恒有|f(x)|1，只需f13 1，即1loga131，即 logaa1loga13logaa.当 a1 时，得 a113a，即 a3；当 0a1 时得 a113a，得 02(a0，且 a1)的值域是4，)，则实数 a 的取值范围是_解析：当 x2 时，f(x)x6，f(x)在(，2上为减函数，f(x)4，)；当 x2 时，若 a(0,1)，则 f(x)3logax 在(2，)上为减函数，f(x)(，3loga2)，显然不满足题意，a1，此时 f(x)在(2，)上为增函数，f(x)(3loga2，)，由题意可知(3loga2，)4，)，则 3loga24，即 loga21，1a2.答案：(1,2对数函数性质及应用中应注意的问题(1)比较对数值大小时，若底数相同，构造相应的对数函数，利用单调性求解；若底数不同，可以找中间量，也可以用换底公式化成同底的对数再比较(2)解简单的对数不等式时，先利用对数的运算性质化为同底数的对数值，再利用对数函数的单调性转化为一般不等式求解(3)利用对数函数的性质，求与对数函数有关的复合函数的值域和单调性问题，必须弄清三方面的问题，一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与 1 的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的
