1、2015年考前最后一卷（文理科）时间120分钟，满分150分2015.05.28一、填空题（每题4分，共56分）1.若复数满足（是虚数单位），则_.2.直线的一个单位法向量_.3.函数的最大值为_.4.若圆锥的侧面积与其底面积之比为，则该圆锥的轴与母线的夹角大小为_.5.若曲线为到点和距离之和为的动点的轨迹，则曲线的方程为_.6.设等差数列的公差不为，若对于任意，行列式的值恒等于公差，则_.7.（理科）两本书随机给甲、乙、丙三人，则甲拿到的书的数目的数学期望_.（文科）若集合，那么方程表示中心在原点，焦点在轴的椭圆的概率为_.8.在时分时，时针与分针所成的最小正角是_弧度.9.定义：区间的长度
2、为，若函数的定义域为，值域为，则区间长度的最小值为_.10.设为单位向量，非零向量，若的夹角为，则的最大值等于_.11.已知运算按下面的方式定义：，若整数使成立，则在所有满足条件的整数对中，的最大值为_.12.设是定义在正整数集上的函数，且满足：“当成立时，总可推出成立”.那么，下列四个命题中，正确的是_.（填写命题序号）若成立，则；若成立，则当时，均有成立；若成立，则当时，均有成立；若成立，则；13.在行列矩阵中，记位于第行列的数为，当时，表中所有满足的和为_.14.设，且对一切，不等式恒成立，则的最小值为_.二、选择题（共4大题，满分20分，每小题中只有一个正确选项，选对得5分，否则0分）
3、15.已知集合，记原命题：“，则”.那么，在原命题及其逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是（ ）A.0 B.1C.2D.416.（理科）已知极坐标中圆的方程为，则圆心的极坐标为（ ）A. B. C. D. （文科）把函数的图像按向量平移后得到函数的图像，则（ ）A. B. C. D. 17.若干个平面把一个长方体分成个四面体，这些四面体的体积之和等于长方体的体积，则的最小值为（ ）A.3 B.4C.5D.618.定理：若，则.设，其中是函数与图像交点的横坐标，则的大小关系是（ ）A.B. C. D. 三、解答题（共5大题，满分74分，写出必要的文字说明与步骤）19.（本题满分12分，第1
4、小题6分，第2小题6分）已知正方体的棱长为1，点是的中点，是棱上的一点，请问：（1）若是的中点，求直线与所成角的大小；（2）若在线段（不为点）上运动，试求三棱锥体积的最大值.20. （本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）在中，.（1）若，求的长；（2）若的周长为，求的值.21. （本题满分14分，第1小题7分，第2小题7分）设常数，若函数存在反函数.（1）求证：，并求出反函数；（2）若关于的不等式对一切恒成立，求实数的取值范围.22. （本题满分16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分）已知直线过点，直线的一个方向向量为，抛物线的方程为.（1）求直线的方程；（2）若直线与抛物线交于两点，且是和的等比中项，求抛物线的方程；（3）设抛物线的焦点为，问：是否存在正整数，使得抛物线上至少有一点，满足？若存在，求出所有这样的正整数的值；若不存在，说明理由.23. （本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）对于给定数列，若存在一个常数，对于任意的，使得成立，则称数列是周期数列，是数列的一个周期，若是数列的周期，且均不是数列的周期，则称为数列的最小周期.已知数列的最小周期为4，前项和为，且.（1）求的值；（2）求数列通项公式和前项和；（3）已知数列是首项为135，公比为的等比数列，记数列的前项和为，求的取得最大值和最小值时的值.
