1、第三讲导数的应用研热点(聚焦突破)类型一 利用导数研究切线问题导数的几何意义(1)函数yf(x)在xx0处的导数f(x0)就是曲线yf(x)在点(x0,f(x0)处的切线的斜率,即kf(x0);(2)曲线yf(x)在点(x0,f(x0)处的切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0)例1(2012年高考安徽卷改编)设函数f(x)aexb(a0)在点(2,f(2)处的切线方程为yx,求a,b的值解析f(x)aex,f(2)ae2,解得ae22或ae2(舍去),所以a,代入原函数可得2b3,即b,故a,b.跟踪训练已知函数f(x)x3x.(1)求曲线yf(x)的过点(1,0)的切线方程;(2)若过x
2、轴上的点(a,0)可以作曲线yf(x)的三条切线,求a的取值范围解析:(1)由题意得f(x)3x21.曲线yf(x)在点M(t,f(t)处的切线方程为yf(t)f(t)(xt),即y(3t21)x2t3,将点(1,0)代入切线方程得2t33t210,解得t1或,代入y(3t21)x2t3得曲线yf(x)的过点(1,0)的切线方程为y2x2或yx. (2)由(1)知若过点(a,0)可作曲线yf(x)的三条切线,则方程2t33at2a0有三个相异的实根,记g(t)2t33at2a.则g(t)6t26at6t(ta)当a0时,函数g(t)的极大值是g(0)a,极小值是g(a)a3a,要使方程g(t)
3、0有三个相异的实数根,需使a0且a3a0且a210,即a1;当a0时,函数g(t)单调递增,方程g(t)0不可能有三个相异的实数根;当a0时,函数g(t)的极大值是g(a)a3a,极小值是g(0)a,要使方程g(t)0有三个相异的实数根,需使a0,即a0,即a0,那么函数f(x)在区间(a,b)上单调递增;如果f(x)0;当x(1,)时,h(x)0,所以当x(0,1)时,f(x)0;当x(1,)时,f(x)0时,yax22x1为开口向上的抛物线,所以ax22x10在(0,)上恒有解;(2)当a0,此时1a0),g(x)x3bx.(1)若曲线yf(x)与曲线yg(x)在它们的交点(1,c)处具有
4、公共切线,求a,b的值;(2)当a24b时,求函数f(x)g(x)的单调区间,并求其在区间(,1上的最大值解析(1)f(x)2ax,g(x)3x2b,因为曲线yf(x)与曲线yg(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线,所以f(1)g(1),且f(1)g(1)即a11b,且2a3b.解得a3,b3. (2)记h(x)f(x)g(x)当ba2时,h(x)x3ax2a2x1,h(x)3x22axa2.令h(x)0,得x1,x2.a0时,h(x)与h(x)的变化情况如下:00所以函数h(x)的单调递增区间为(,)和(,);单调递减区间为(,)当1,即0a2时,函数h(x)在区间(,1上单调递增,h
5、(x)在区间(,1上的最大值为h(1)aa2.当1,且1,即2a6时,函数h(x)在区间(,)上单调递增,在区间(,1上单调递减,h(x)在区间(,1上的最大值为h()1.当6时,函数h(x)在区间(,)上单调递增,在区间(,)上单调递减,在区间(,1上单调递增,又因为h()h(1)1aa2(a2)20,所以h(x)在区间(,1上的最大值为h()1.跟踪训练(2012年珠海摸底)若函数f(x),在2,2上的最大值为2,则a的取值范围是()Aln 2,)B0,ln 2C(,0 D(,ln 2解析:当x0时,f(x)6x26x,易知函数f(x)在(,0上的极大值点是x1,且f(1)2,故只要在(0
6、,2上,eax2即可,即axln 2在(0,2上恒成立,即a在(0,2上恒成立,故aln 2.答案:D析典题(预测高考)高考真题【真题】(2012年高考辽宁卷)设f(x)ln(x1)axb(a,bR,a,b为常数),曲线yf(x)与直线yx在(0,0)点相切(1)求a,b的值;(2)证明:当0x2时,f(x)0时,2x11x2,故1.记h(x)f(x),则h(x).令g(x)(x6)3216(x1),则当0x2时,g(x)3(x6)22160.因此g(x)在(0,2)内是递减函数又由g(0)0,得g(x)0,所以h(x)0.因此h(x)在(0,2)内是递减函数又h(0)0,得h(x)0. 于是
7、当0x2时,f(x)0时,2x11x2,故1.令k(x)ln(x1)x,则k(0)0,k(x)10,故k(x)0,即ln(x1)0时,f(x)x.记h(x)(x6)f(x)9x,则当0x2时,h(x)f(x)(x6)f(x)9x(x6)()93x(x1)(x6)(2)18(x1)3x(x1)(x6)(3)18(x1)(7x18)0.因此h(x)在(0,2)内单调递减又h(0)0,所以h(x)0,即f(x)g(x);(3)是否存在实数a,使f(x)的最小值是3,若存在,求出a的值;若不存在,请说明理由【解析】(1)由题知当a1时,f(x)1,因为当0x1时,f(x)0,此时f(x)单调递减,当1
8、x0,此时f(x)单调递增,所以f(x)的极小值为f(1)1. (2)证明因为f(x)的极小值为1,即f(x)在(0,e上的最小值为1.令h(x)g(x),h(x),当0x0,h(x)在(0,e上单调递增,所以h(x)maxh(e)g(x).(3)假设存在实数a,使f(x)axln x(x(0,e)有最小值3,f(x)a.当a0时,因为x(0,e,所以f(x)0,而f(x)在(0,e上单调递减,所以f(x)minf(e)ae13,a(舍去),此时f(x)无最小值;当0e时,f(x)在(0,)上单调递减,在(,e上单调递增,所以f(x)minf()1ln a3,ae2,满足条件;当e时,因为x(0,e,所以f(x)0,所以f(x)在(0,e上单调递减,f(x)minf(e)ae13,a(舍去)此时f(x)无最小值综上,存在实数ae2,使得当x(0,e时,f(x)有最小值3.