1、掌握两直线平行与垂直的条件、点到直线的距离公式、中心对称和轴对称的概念，能根据直线的方程判断两直线的位置关系，会求两相交直线的交点坐标和两平行直线间的距离，能把握对称的实质，并能应用对称性解题 1111112222221212211212211212122112121200.1/_0(0)2_.30.14lyk xbA xB yClyk xbA xB yCllbbA CACB CB CllllA BA Bllkkbb平面内的两条直线的位置若直线：或；直线：或且或且或或与 相交与 重合且关系12211221122100(0)A BA BACA CB CB C或且或 000000112212()0
2、10.20.3_.00_.2_P xylAxByCAxByCAxByCdlAxByClAxByClld设点，直线：，则点在直线上：点在直线外：点到直线的距离特别地，若：，：，则 与 间的距点与直线的位置关系离 000,000000001()()2200()()2()3(P xyM abPMPPPaxbyabP xyPxyP xylykxbP xyPPlPPl 中心对称：求，关于点，对称的点 的基本方法是转化为是线段的中点求，即特例：当，时，关于原点的对称点为，轴对称：求已知点，关于已知直线：的对称点，的基本方法是转化为求方程组的解，即由线段的中心对称与轴对中点p称.12567010()()()
3、()()()_.()()()()()()kbP xyxyP xyPxyP xyyxyxP xyyxbyxbP ybxbPybxbP xyxaybP 特例：当，或时，分别有以下规律：，关于 轴、轴对称的点分别为，关于直线，对称的点分别为，关于直线，对称的点分别为，关于直线，对称的点分别为8(2),21,0axyP xbyk，注意：当时，不具有上述规律 1(24)0CF xyfCCCfCCC曲线：，经过上述规律进行变换，得曲线，则为 关于 对称的曲线若 的方程与 的方程相同，则证明曲线自身具有对称变换对称性()0()0()0()0()0()0()0()0()(2)0CF xyxyCF xyFxyF
4、xyyxyxyxbyxbCF yxFyxF ybxbFybxbxaybM abCFaxyF 特例：曲线：，关于 轴、轴、原点对称的曲线的方程分别为，；关于直线，对称的曲线的方程分别是，；关于直线，点，对称的曲线的方程分别为，,202,20.xbyFaxby，1212211212120120003401|00|022|12222()()kkA BA Bk kAxByCA AB BAByyCCkxxAByyxxkbP yxPyx ；【要点指南、，】，1.如果直线 l1：ax2y10 与直线 l2：xy20互相垂直，那么 a 的值等于()A1B13C23D2【解析】方法 1：由 l1l2A1A2B1
5、B20，求得 a2.方法 2：若两直线垂直且斜率存在，则 k1k21，即(a2)(1)1，得 a2.2.过点(1,0)且与直线 x2y20 平行的直线方程是()Ax2y10Bx2y10C2xy20Dx2y10【解析】方法 1：过点(1,0)且斜率为12的直线方程为 y12(x1)，即 x2y10.方法 2：设所求直线方程为 x2yc0，因为点(1,0)在直线上，所以 10c0，所以 c1，所以所求直线方程为 x2y10.3.不等边ABC 的三个内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 lgsinA，lgsinB，lgsinC 成等差数列，则直线 xsin2AysinAa 与直线 xsi
6、n2BysinCc的位置关系是()A平行B垂直C重合D相交但不垂直【解析】因为 lgsinA，lgsinB，lgsinC 成等差数列，所以 sin2BsinAsinC.由正弦定理可知，sin2Asin2Bsin2AsinAsinCsinAsinCac，故两直线位置关系是重合，故选 C.4.直线 x2y10 关于直线 x1 对称的直线方程是 x2y30.【解析】由已知及对称几何性质可设所求直线的方程为 x2y0.又由x1x2y10，得点 A(1,1)又点 A 在直线 x2y0 上，从而3，故对称的直线方程为 x2y30.5.已知点(x0，y0)在直线 axby0(a，b 为常数)上，则 x0a2
7、y0b2的最小值为 a2b2.【解析】x0a2y0b2可看作点(x0，y0)与点(a，b)的距离，而点(x0，y0)在直线 axby0上，所以 x0a2y0b2的最小值为点(a，b)到直线 axby0 的距离，为 a2b2a2b2 a2b2.一 两条直线的位置关系【例 1】已知两条直线 l1：axby40 和 l2：(a1)xyb0，求满足下列条件的 a、b 的值(1)l1l2，且 l1 过点(3，1)；(2)l1l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等【解析】(1)方法 1：因为 l1l2 且 l1 过点(3，1)，所以aa1b03ab40，解得a2b2.方法 2：由已知可得 l2 的斜率必存
8、在，所以 k21a.若 k20，则 1a0，a1.因为 l1l2，直线 l1 的斜率 k1 必不存在，即 b0.又因为 l1 过点(3，1)，所以3ab40，即 b3a410(不合题意)，所以此种情况不存在，即 k20.若 k20，即 k1、k2 都存在因为 k21a，k1ab，l1l2，所以 k1k21，即ab(1a)1.又因为 l1 过点(3，1)，所以3ab40.由联立，解得 a2，b2.(2)因为 l2 的斜率存在，l1l2，所以直线 l1 的斜率存在，所以 k1k2，即ab(1a)又因为坐标原点到这两条直线的距离相等，且l1l2，所以 l1、l2 在 y 轴上的截距互为相反数，即4b
9、b，则联立解得a2b2 或a23b2，所以 a、b 的值分别为 2 和2 或23和 2.【点评】在运用直线的斜截式 ykxb 时，要特别注意直线斜率不存在时的特殊情况运用直线的一般式AxByC0 时，要特别注意 A、B 为零时的特殊情况另外求解与两直线平行或垂直有关的问题时，主要是利用两直线平行或垂直的充要条件；若出现斜率不存在的情况，可考虑用数形结合的方法去研究 已知两直线 l1：mx8yn0 和 l2：2xmy10，试确定 m、n 的值，使：(1)l1l2；(2)l1l2 且 l1 在 y 轴上的截距为1.素材1【解析】(1)由 mm820，得 m4.由 8(1)nm0，得m4n2 或m4
10、n2，即 m4，n2 时，或 m4，n2 时，l1l2.(2)当且仅当 m28m0，即 m0 时，l1l2.又n81，所以 n8，即 m0，n8 时，l1l2 且 l1 在 y 轴上的截距为1.二 有关距离问题【例 2】已知点 P(2，1)(1)求过点 P 且与原点距离为 2 的直线 l 的方程；(2)求过点 P 且与原点距离最大的直线 l 的方程，最大距离是多少？【分析】设出直线方程，利用点到直线的距离公式求出系数即可【解析】(1)当 l 的斜率 k 不存在时显然成立，此时 l 的方程为 x2.当 l 的斜率 k 存在时，设 l：y1k(x2)，即 kxy2k10，由点到直线的距离公式得，|
11、2k1|1k2 2，解得 k34，所以 l：3x4y100.故所求 l 的方程为 x2 或 3x4y100.(2)数形结合可得，过点 P 且与原点 O 距离最大的直线是过点 P 且与 PO 垂直的直线由 lOP，得 klkOP1，所以 kl 1kOP2.由直线方程的点斜式得直线 l 的方程为 y12(x2)，即 2xy50，即直线 2xy50 是过点 P 且与原点 O 距离最大的直线，最大距离为|5|5 5.【点评】1.点到直线的距离公式和两平行直线间的距离公式是常用的公式，应熟练掌握 2点到几种特殊直线的距离：(1)点 P(x0，y0)到 x 轴的距离 d|y0|；(2)点 P(x0，y0)
12、到 y 轴的距离 d|x0|；(3)点 P(x0，y0)到与 x 轴平行的直线 ya 的距离d|y0a|；(4)点 P(x0，y0)到与 y 轴平行的直线 xb 的距离d|x0b|.在直线 x3y0 上求一点 P，使它到原点的距离与到直线 x3y20 的距离相等素材2【解析】设点 P 的坐标为(3t，t)，则 3t2t2|3t3t2|1232，解得 t15，所以点 P 的坐标为(35，15)或(35，15)三 两直线的交点问题【例 3】求经过两直线 l1：x2y40 和 l2：xy20 的交点 P，且与直线 l3：3x4y50垂直的直线 l 的方程【分析】求 l 的方程：思路一：求交点，定斜率
13、，用点斜式求解思路二：利用直线系方程求解【解析】方法 1：由方程组x2y40 xy20，解得x0y2，即 P(0,2)因为 ll3，所以 kl43，所以直线 l 的方程为 y243x，即 4x3y60.方法 2：因为直线 l 过直线 l1 和 l2 的交点，所以可设直线 l 的方程为 x2y4(xy2)0，即(1)x(2)y420.因为 l 与 l3 垂直，所以 3(1)(4)(2)0，所以 11，所以直线 l 的方程为 12x9y180，即 4x3y60.【点评】求与已知两直线的交点有关的问题，可有以下两种解法：(1)先求出两直线的交点，将问题转化为过定点的直线，然后再依其他条件求解(2)运
14、用过两直线交点的直线系方程：若两直线 l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20 有交点，则过l1 与 l2 交点的直线系方程为 A1xB1yC1(A2xB2yC2)0(为待定常数，不包括直线 l2)，设出方程后再利用其他条件求解 本例中，若把条件中的“垂直”改为“平行”，求直线 l 的方程素材3【解析】方法 1：先求出交点为 P(0,2)，又 ll3，所以 kl34，故直线 l 的方程为 y234x，即 3x4y80.方法 2：设直线 l 的方程为 x2y4(xy2)0，即(1)x(2)y420.因为 ll3，所以13 24 425，解得 27.所以 l 的方程为 3x4y80.四
15、对称问题【例 4】求直线 l1：2xy40 关于直线 l：xy20对称的直线 l2 的方程【解析】方法 1：解方程组2xy40 xy20，得直线l1 与直线 l 的交点 A(23，83)在直线 l1 上取一点 B(2,0)，设点 B 关于直线 l 对称的点为 C(x，y)，则x22 y220yx21，解得x2y4，即 C(2,4)又直线 l2 过 A(23，83)和 C(2,4)两点，故由两点式得直线 l2 的方程为y4834x2232，即 x2y60.方法 2：设 M(x0，y0)是直线 l1 上任意一点，它关于直线 l 的对称点为 N(x，y)，则线段 MN 的中点坐标为(xx02，yy0
16、2)，直线 MN 的斜率为yy0 xx0.由题意，得xx02yy0220yy0 xx01，解得x0y2y0 x2.因为 M(x0，y0)是在直线 l1 上，所以 2x0y040，即 2(y2)(x2)40.所以直线 l2 的方程为 x2y60.【点评】由平面几何知识知，若直线 l1、l2 关于直线 l 对称，则有如下性质：若直线 l1 与直线 l 相交，则交点在直线l2 上；若 B 在直线 l1 上，则其关于直线 l 的对称点 C 在直线 l2 上本题方法 1 就是利用上述两条性质，找出确定直线 l2 的两个点(直线 l1 与直线 l 的交点 A 和直线 l1上的特殊点 B 关于直线 l 的对
17、称点)，由两点式得到直线 l2 的方程；方法 2 则是用运动的观点，直接求轨迹方程把握两点：线段 MN 的中点在直线 l 上，直线 l 与直线 MN 垂直 求直线 l：2x3y10 关于点 A(1，2)对称的直线 l的方程素材4【解析】因为 ll，所以可设 l的方程为 2x3yC0(C1)，因为点 A(1，2)到两直线 l，l的距离相等，所以|26C|2232|261|2232，得 C9，所以 l的方程为 2x3y90.【点评】点线对称是直线的方程中很经典的一个问题它还包括点关于点的对称和线关于线的对称等，而轴对称性质和中点坐标公式是解决这类问题的主要途径 备选例题已知 n 条直线，l1：xy
18、C10，C1 2，l2：xyC20，l3：xyC30，ln：xyCn0(其中C1C2C3Cn)，这 n 条平行直线中，每相邻两条直线之间的距离顺次为 2、3、4、n.(1)求 Cn；(2)求 xyCn0 与 x 轴、y 轴围成的图形的面积；(3)求 xyCn10 与 xyCn0 及 x 轴、y 轴围成图形的面积【解析】(1)原点 O 到 l1 的距离为 1，原点 O 到 l2 的距离为 12，原点 O 到 ln 的距离 dn 为 12nnn12，因为 Cn 2dn，所以 Cn 2nn12.(2)设直线 ln：xyCn0 交 x 轴于 M，交 y 轴于 N，则OMN 的面积SOMN12|OM|O
19、N|12C2nn2n124，所以 Snn2n124(nN*)(3)所围成的图形是等腰梯形，由(2)Snn2n124知 Sn1n12n24，所以 SnSn1n2n124n12n24n3.故所求面积为 n3(n2，nN*)12221|2CCdABxy判断两直线平行或垂直时，不要忘记两条直线中有一条或两条直线均无斜率的情形另外，两直线斜率相等，包括平行或重合两种情况，应注意区分在运用公式求两平行直线间的距离时，一定两直线平行与垂要把，项直的判定两平行线间的距相应系数化成离相等的系数 11112222121112221221220000100.0()/2()3/lA xB yClA xB yCllA xB yCA xB yCllllllxyyyk xx直线系是具有某一共同性质的直线的全体，巧妙地使用直线系，可以减少运算量，简化运算过程设：，：若与 相交，则方程表示过 与 交直线系问点的直线系 不包括；若，则上述形式的方程表示与 平行的直线系过定点，的旋转直线系方程为题000()()()kxxkyk xb bRR不包括直线，斜率为 的平行直线系方程为 14().2()1.xxyy关于对称问题，有如下规律：中心对称 关于某个点对称解题方法：中点坐标公式特殊地，关于原点对称，是以代换，以代换轴对称 关于某直线对称斜率之积等于解题方法：中点在对称轴对称问题上关于
