1、8.5 空间直线、平面的平行8.5.1 直线与直线平行 1.基本事实4平行于同一条直线的两条直线平行.【思考】平面中有哪些常用的证明两直线平行的定理？提示：三角形的中位线平行于底边、平行四边形的对边平行等.2.等角定理如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.【思考】平面中怎样利用平行证明两个角相等？提示：两直线平行同位角、内错角相等，平行四边形中对角相等.【素养小测】1.思维辨析(对的打“”，错的打“”)(1)分别平行于两条异面直线的两条直线一定是异面直线.()(2)如果空间中的两个角相等或互补，那么这两个角的两条边分别对应平行.()提示：(1).也可能是相交直线.(2)
2、.等角定理的逆定理不成立.2.若一个角两边和另一个角两边分别平行，一个角为45，则另一个角为_.【解析】若一个角两边和另一个角两边分别平行，则这两个角相等或互补，由一个角为45，则另一个角为45或135.答案：45或1353.已知棱长为a的正方体ABCD-ABCD中，M，N分别为CD，AD的中点，则MN与AC的位置关系是_.【解析】如图所示，MNAC，因为ACAC，所以MNAC.答案：平行类型一 空间中两直线平行的判定及应用【典例】如图，空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD边上的中点，G，H分别是BC，CD边上的点，且.求证：四边形GHFE是梯形.【思维引】根据梯形的定义证明.【证明】
3、因为空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD边上的中点，所以EFBD，且EF=BD，因为G，H分别是BC，CD边上的点，且，所以HGBD，且HG=BD，所以EFHG，且EFHG，所以四边形GHFE是梯形.【内化悟】本题中证明线线平行用了哪些定理？提示：三角形中位线定理，平行线分线段成比例定理的逆定理，基本事实4.【类题通】关于空间中两直线平行的证明(1)辅助线：常见的辅助线作法是构造三角形中位线，平行四边形的对边.(2)证明依据：三角形中位线定理，平行线分线段成比例定理的逆定理，基本事实4，几何体中相对的棱、对角线等的平行关系.【习练破】如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F
4、分别是棱AB，BC的中点，点E1，F1分别是棱A1D1，C1D1的中点.求证：EE1FF1.【证明】连接EF，E1F1，A1C1，AC，由长方体ABCD-A1B1C1D1知，ACA1C1，因为点E，F分别是棱AB，BC的中点，所以由三角形中位线定理得：EFAC，同理E1F1A1C1，所以EFE1F1，则四边形EFF1E1为平行四边形，故EE1FF1.【加练固】如图，已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为a的正方体，点E为AA1的中点，点F为CC1的中点，求证：EBFD1.【证明】取DD1的中点M，连结AM，FM，因为FMCDAB，且FM=CD=AB，所以四边形FMAB为平行四边形，可得BFAM
5、，且BF=AM，又因为四边形AMD1E也是平行四边形，所以ED1AM，且ED1=AM，所以BFED1，且BF=ED1，可得四边形EBFD1是平行四边形，所以EBFD1.类型二 等角定理的应用【典例】在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M，N，P分别是CC1，B1C1，C1D1的中点.世纪金榜导学号求证：NMP=BA1D.【思维引】证明两个角的两边分别平行.【证明】如图，连接CB1，CD1，因为CDA1B1，所以四边形A1B1CD是平行四边形，所以A1DB1C.因为M，N分别是CC1，B1C1的中点，所以MNB1C，所以MNA1D.因为BCA1D1，所以四边形A1BCD1是平行四边形，所以
6、A1BCD1.因为M，P分别是CC1，C1D1的中点，所以MPCD1，所以MPA1B，所以NMP和BA1D的两边分别平行且方向都相反，所以NMP=BA1D.【内化悟】两个角的边分别平行时，怎样区分两个角相等还是互补？提示：如果两个角方向相同或相反，则两个角相等，否则互补，也可以通过观察两角是锐角还是钝角，如果同为锐角或钝角，则两角相等.【类题通】关于等角定理的应用(1)根据空间中相应的定理证明角的边分别平行，即先证明线线平行.(2)根据角的两边的方向判定两角相等.【习练破】如图所示，ABC和ABC的对应顶点的连线AA，BB，CC交于同一点O，且(1)求证ABAB，ACAC，BCBC.(2)求的
7、值.【解析】(1)因为AABB=O，且所以AOBAOB，所以ABO=ABO，所以ABAB，同理ACAC，BCBC.(2)因为ABAB，ACAC且AB和AB，AC和AC方向相反，所以BAC=BAC.同理ABC=ABC，ACB=ACB，所以ABCABC且所以【加练固】已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，AD的中点.求证：(1)四边形MNA1C1是梯形.(2)DNM=D1A1C1.【证明】(1)如图，连接AC，在ACD中，因为M，N分别是CD，AD的中点，所以MN是三角形的中位线，所以MNAC，MN=AC.由长方体的性质得：ACA1C1，AC=A1C1.所以MNA1C1，且M
8、N=A1C1，即MNA1C1，所以四边形MNA1C1是梯形.(2)由(1)可知MNA1C1，又因为NDA1D1，所以DNM与D1A1C1相等或互补.而DNM与D1A1C1均是直角三角形的锐角，所以DNM=D1A1C1.类型三 空间中直线平行关系的综合应用角度1 共面问题【典例】如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1，E，F，G，H分别是AD1，CD1，BC，AB的中点.世纪金榜导学号求证：E，F，G，H四点共面.【思维引】证明EFHG即可.【证明】如图，连接AC.因为E，F分别是AD1，CD1的中点，所以EFAC.因为G，H分别是BC，AB的中点，所以GHAC.所以EFGH.所以E，F，G
9、，H四点共面.【素养探】在证明共面问题时，常常用到核心素养中的逻辑推理，将共面问题转化为平行问题，通过证明线线平行证明四点共面.将本例的条件改为“”，试证明EH与FG交于一点.【证明】连接AC，因为E，F分别是AD1，CD1的中点，所以EFAC，EF=AC.因为，所以GHAC，GH=AC.所以EFGH，EFGH，所以四边形EFGH是梯形，所以EH与FG交于一点.角度2 探究问题【典例】如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，点M，N分别在AC，PB上，且AM=MC，BN=BP，作出直线MN与PB确定的平面与平面PAD的交线l，直线l与MN是否平行，如果平行请给出证明，如果不平行
10、请说明理由.世纪金榜导学号【思维引】先作出直线l，再利用比例关系证明是否平行.【解析】连接BM并延长，交DA于点E，连接PE，则PE即为直线MN与PB确定的平面与平面PAD的交线l，因为底面ABCD是平行四边形，所以AEBC，所以AEMCBM，所以因为点M，N分别在AC，PB上，且AM=MC，BN=BP，所以MNPE，即直线lMN.【类题通】1.关于共面问题根据两平行直线确定一个平面，可以证明共面问题，其实质是证明直线平行.2.关于探究问题处理探究问题时一般假设其存在，再进行证明，或先选取如中点等特殊位置进行验证，再给出严格证明.【习练破】如图，在三棱锥A-BCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点.(1)求证：四边形EFGH是平行四边形.(2)当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是正方形.【解析】(1)在ABC中，E，F分别是边AB，BC的中点，所以EFAC，且EF=AC，同理有GHAC，且GH=AC，所以EFGH且EF=GH，故四边形EFGH是平行四边形.(2)当AC与BD垂直且相等时，四边形EFGH是正方形，理由如下：若AC=BD，则有EH=EF，又因为四边形EFGH是平行四边形，所以四边形EFGH是菱形.若ACBD，则EHEF，所以菱形EFGH是正方形.
