1、高考资源网（） 您身边的高考专家7.3离散型随机变量的数字特征最新课标通过具体实例，理解离散型随机变量的数字特征(均值、方差)7.3.1离散型随机变量的均值教材要点要点一离散型随机变量的均值及其性质(1)定义：一般地，若离散型随机变量X的分布列为：Xx1x2xnPp1p2pn则称E(X)_为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称期望(2)含义：反映了随机变量取值的_(3)性质：E(aXb)_，其中a，b为常数1.均值是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均数2.离散型随机变量的均值E(X)是一个数值，是随机变量X本身固有的一个数字特征，它不具有随机性，反映的是随机变量取值的平均水平3.由离
2、散型随机变量的均值的定义可知，它与离散型随机变量有相同的单位要点二两点分布的均值若X服从两点分布，则E(X)_基础自测1.判断正误(正确的画“”，错误的画“”)(1)随机变量X的均值E(X)是一个变量，它随样本的改变而改变()(2)随机变量的均值与样本的平均值相同()(3)若随机变量X的均值E(X)2，则E(2X)4.()(4)常数的数学期望就是这个常数本身()2.已知随机变量满足P(1)0.3，P(0)0.7，则E()()A0.3 B0.6C0.7 D13.随机抛掷一枚骰子，则所得骰子点数的均值是()A0.6 B1C3.5 D24.已知某一随机变量X的分布列如下表：X3b8P0.20.5a且
3、E(X)6，则a_，b_题型一两点分布的均值自主完成1.在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分如果运动员甲罚球命中的概率是0.8，记运动员甲罚球1次的得分为X，则E(X)等于()A0.2 B0.4 C0.8 D12.抛掷一枚硬币，规定正面向上得1分，反面向上得1分，则得分X的均值为_方法归纳若离散型随机变量X服从两点分布，用两点分布的均值公式求解题型二求离散型随机变量的均值微点探究微点1利用离散型随机变量的均值的性质求均值例1已知随机变量X的分布列为：X21012Pm若Y2X，则E(Y)_变式探究1本例条件不变，若Y2X3，求E(Y).变式探究2本例条件不变，若aX3，且E()，求a的值
4、方法归纳若给出的随机变量与X的关系为aXb，(a，b)为常数，求E()的两种思路：一是先求出E(X)，再利用公式E(aXb)aE(X)b求E().二是利用X的分布列得到的分布列，关键由X的取值计算的取值，对应的概率相等，再由定义法求得E().跟踪训练1(1)设的分布列为1234P又设25，则E()等于()A BC D(2)若随机变量的分布列如下表所示，E()1.6，则ab()0123P0.1ab0.1A.0.2 B0.2C0.8 D0.8微点2利用离散型随机变量的均值的定义求均值例2一个盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1，3张卡片上的数字是2，2张卡片上的数字是3.从盒
5、中任取3张卡片(1)求所取3张卡片上的数字完全相同的概率；(2)X表示所取3张卡片上的数字的中位数，求X的分布列与数学期望(注：若三个数a，b，c满足abc，则称b为这三个数的中位数)方法归纳求离散型随机变量X的均值的步骤：(1)理解X的实际意义，并写出X全部可能的取值；(2)求出X取每个值时的概率；(3)写出X的分布列(有时也可省略)；(4)利用定义公式E(X)x1p1x2p2xipixnpn求出均值其中第1、2步是解答此类题目的关键跟踪训练2在一场娱乐晚会上，有5名民间歌手(1至5号)登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手各位观众必须独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的
6、歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名观众乙和丙对5名歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中随机选3名歌手(1)求观众甲选3号歌手且观众乙未选3号歌手的概率；(2)X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求X的分布列及数学期望题型三实际应用中的决策问题师生共研例3某柑橘基地因冰雪灾害，使得果林严重受损，为此有关专家提出两种拯救果林的方案，每种方案都需分两年实施若实施方案一，预计当年可以使柑橘产量恢复到灾前的1.0倍、0.9倍、0.8倍的概率分别是0.3、0.3、0.4；第二年可以使柑橘产量为上一年产量的1.25倍、1.0倍的概率分别是0.5、0.5.若实施方案二，预计当年可以使
7、柑橘产量达到灾前的1.2倍、1.0倍、0.8倍的概率分别是0.2、0.3、0.5；第二年可以使柑橘产量为上一年产量的1.2倍、1.0倍的概率分别是0.4、0.6.实施每种方案时，第二年与第一年相互独立记i(i1，2)表示方案i实施两年后柑橘产量达到灾前产量的倍数(1)写出1，2的分布列； (2)实施哪种方案，两年后柑橘产量超过灾前产量的概率更大？(3)不管哪种方案，如果实施两年后柑橘产量达不到灾前产量，预计可带来效益10万元；两年后柑橘产量恰好达到灾前产量，预计可带来效益15万元；两年后柑橘产量超过灾前产量，预计可带来效益20万元问：实施哪种方案所带来的平均效益更大？(1）两种方案都需要实施两
8、年，随机变量1，2的取值应是两年实施效果的累计，且两年是相互独立的，可采用独立事件的概率公式计算随机变量取某些值时的概率；(2）根据第(1）问中的分布列，分别计算两年后柑橘产量超过灾前产量的概率，然后进行比较即可；(3）列出收益分布列，计算数学期望，进行比较方法归纳解决实际问题的三个步骤(1）审题，确定实际问题是哪一种概率模型，可能用到的事件类型，所用的公式有哪些(2）确定随机变量的分布列，计算随机变量的均值(3）对照实际意义，回答概率、均值等所表示的结论跟踪训练3某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为，中奖可以获得3分；未
9、中奖则不得分每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品(1）若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X，求X3的概率；(2）若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？73离散型随机变量的数字特征73.1离散型随机变量的均值新知初探课前预习要点一x1p1x2p2xnpnipi平均水平aE(X)b要点二p基础自测1(1)(2)(3)(4)2解析：因为随机变量服从两点分布，且P(1)0.3，所以E()0.3.故选A.答案：A3解析：抛掷骰子所得点数的分布列为123456P所以E()123
10、4563.5.故选C.答案：C4解析：由0.20.5a1，得a0.3.又由E(X)30.2b0.58a6，得b6.答案：0.36题型探究课堂解透题型一1解析：由题意知，X的所有可能取值为0，1，P(X0)10.80.2，P(X1)0.8，所以E(X)00.210.80.8.故选C.答案：C2解析：由题意知P(X1)，P(X1)，E(X)1(1)0.答案：0题型二例1解析：由随机变量分布列的性质，得m1，解得m，所以E(X)(2)(1)012.由Y2X，得E(Y)2E(X)，即E(Y)2.答案：变式探究1解析：由公式E(aXb)aE(X)b及E(X)得，E(Y)E(2X3)2E(X)323.变式
11、探究2解析：因为E()E(aX3)aE(X)3a3，所以a15.跟踪训练1解析：(1)由题意得，E()1234，则E()E(25)2E()525.故选D.(2)因为分布列中所有概率和为1，所以ab0.8，因为E()1.6，所以a2b0.31.6，a2b1.3，解得a0.3，b0.5，ab0.2，故选B.答案：(1)D(2)B例2解析：(1)由古典概型的概率计算公式知，所求概率P.(2)X的所有可能取值为1，2，3，且由题意知P(X1)，P(X2)，P(X3)，故X的分布列为X123P所以E(X)123.跟踪训练2解析：(1)设A表示事件“观众甲选3号歌手”，B表示事件“观众乙选3号歌手”，则P
12、(A)，P(B).事件A与B相互独立，观众甲选3号歌手且观众乙未选3号歌手的概率为P(A )P(A)P()P(A)1P(B)(或P(A ).(2)设C表示事件“观众丙选3号歌手”，则P(C).X的所有可能取值为0，1，2，3，且取这些值的概率分别为P(X0)P( )，P(X1)P(A )P( B )P( C)，P(X2)P(AB )P(A C)P( BC)，P(X3)P(ABC)，X的分布列为X0123PX的数学期望E(X)0123.题型三例3解析：(1)1所有可能的取值为0.8，0.9，1.0，1.125，1.25；2所有可能的取值为0.8，0.96，1.0，1.2，1.44.1，2的分布列
13、分别为10.80.91.01.1251.25P0.20.150.350.150.1520.80.961.01.21.44P0.30.20.180.240.08(2)令事件A、B分别表示方案一、方案二两年后柑橘产量超过灾前产量，由(1)可得，P(A)0.150.150.3，P(B)0.240.080.32.可见，方案二两年后柑橘产量超过灾前产量的概率更大(3)令i(i1，2)表示方案i所带来的效益，由题意及(1)易得1，2的分布列分别为1101520P0.350.350.32101520P0.50.180.32所以E(1)100.35150.35200.314.75(万元)，E(2)100.51
14、50.18200.3214.1(万元).可见，方案一所带来的平均效益更大跟踪训练3解析：(1)由已知得，小明中奖的概率为，小红中奖的概率为，且两人中奖与否互不影响记“这两人的累计得分X3”为事件A，则事件A包含“X0”“X2”“X3”三个两两互斥的事件，因为P(X0)，P(X2)，P(X3)，所以P(A)P(X0)P(X2)P(X3)，即这两人的累计得分X3的概率为.(2)设小明、小红都选择方案甲所获得的累计得分为X1，都选择方案乙所获得的累计得分为X2，则X1，X2的分布列如下X1024PX2036P所以E(X1)024，E(X2)036.因为E(X1)E(X2)，所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大- 22 - 版权所有高考资源网