1、第8章 第6节一、选择题1(2010湖北黄冈)若抛物线y22px的焦点与椭圆1的右焦点重合，则p的值为()A2 B2 C4 D4答案D解析椭圆中，a26，b22，c2，右焦点(2,0)，由题意知2，p4.2已知点M是抛物线y22px(p0)上的一点，F为抛物线的焦点，若以|MF|为直径作圆，则这个圆与y轴的关系是()A相交 B相切C相离 D以上三种情形都有可能答案B解析如图，由MF的中点A作准线l的垂线AE，交直线l于点E，交y轴于点B；由点M作准线l的垂线MD，垂足为D，交y轴于点C，则MDMF，ONOF，AB，这个圆与y轴相切3(2010山东文)已知抛物线y22px(p0)，过焦点且斜率为
2、1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为()Ax1 Bx1 Cx2 Dx2答案B解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则线段AB的中点(，)，2，A、B在抛物线y22px上，得y12y222p(x1x2)，kAB，kAB1，p2抛物线方程为y24x，准线方程为：x1，故选B.4双曲线1的渐近线上一点A到双曲线的右焦点F的距离等于2，抛物线y22px(p0)过点A，则该抛物线的方程为()Ay29x By24xCy2x Dy2x答案C解析双曲线1的渐近线方程为yx，F点坐标为(，0)，设A点坐标为(x，y)，则yx，由|AF|22x，y，代入y22px
3、得p，所以抛物线方程为y2x，所以选C.5已知点P是抛物线y22x上的一个动点，则点P到点(0,2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为()A. B3 C. D.答案A解析记抛物线y22x的焦点为F，准线是l，由抛物线的定义知点P到焦点F的距离等于它到准线l的距离，因此要求点P到点(0,2)的距离与点P到抛物线的准线的距离之和的最小值，可以转化为求点P到点(0,2)的距离与点P到焦点F的距离之和的最小值，结合图形不难得知相应的最小值就等于焦点F与点(0,2)的距离，因此所求的最小值等于，选A.6已知抛物线C：y24x的焦点为F，准线为l，过抛物线C上的点A作准线l的垂线，垂足为M，若
4、AMF与AOF(其中O为坐标原点)的面积之比为31，则点A的坐标为()A(2,2) B(2，2)C(2，) D(2，2)答案D解析如图，由题意可得，|OF|1，由抛物线定义得，|AF|AM|，AMF与AOF(其中O为坐标原点)的面积之比为31，3，|AM|3，设A，13，解得y02，2，点A的坐标是(2，2)，故选D.7(2010河北许昌调研)过点P(3,1)且方向向量为a(2，5)的光线经直线y2反射后通过抛物线y2mx，(m0)的焦点，则抛物线的方程为()Ay22x By2xCy24x Dy24x答案D解析设过P(3,1)，方向向量为a(2，5)的直线上任一点Q(x，y)，则a，5x2y1
5、30，此直线关于直线y2对称的直线方程为5x2(4y)130，即5x2y50，此直线过抛物线y2mx的焦点F，m4，故选D.8已知mn0，则方程是mx2ny21与mxny20在同一坐标系内的图形可能是()答案A解析若mn0，则mx2ny21应为椭圆，y2x应开口向左，故排除C、D；mn0，此时抛物线y2x应开口向右，排除B，选A.9(2010山东聊城模考)已知A、B为抛物线C：y24x上的不同两点，F为抛物线C的焦点，若4，则直线AB的斜率为()A BC D答案D解析4，|4|，设|BF|t，则|AF|4t，|BM|AA1|BB1|AF|BF|3t，又|AB|AF|BF|5t，|AM|4t，t
6、anABM，由对称性可知，这样的直线AB有两条，其斜率为.10已知抛物线C的方程为x2y，过点A(0，4)和点B(t,0)的直线与抛物线C没有公共点，则实数t的取值范围是()A(，1)(1，)B.C(，2)(2，)D(，2)(，)答案B解析由题意知方程组无实数解由得y4，代入整理得，2x240，32或t，故选B.点评可用数形结合法求解，设过点A(0，4)与抛物线x2y相切的直线与抛物线切点为M(x0，y0)，则切线方程为yy04x0(xx0)，过A点，42x024x0(0x0)，x0，y04，切线方程为y44x8，令y0得x，即t，由图形易知直线与抛物线无公共点时，t.二、填空题11已知点A(
7、2,0)、B(4,0)，动点P在抛物线y24x上运动，则取得最小值时的点P的坐标是_答案(0,0)解析设P，则，y2y288，当且仅当y0时取等号，此时点P的坐标为(0,0)12(文)(2010泰安市模拟)如图，过抛物线y22px(p0)的焦点F作倾斜角为60的直线l，交抛物线于A、B两点，且|FA|3，则抛物线的方程是_答案y23x解析设抛物线准线为l，作AA1l，BB1l，FQl，垂足分别为A1、B1、Q，作BMAA1垂足为M，BM交FQ于N，则由条件易知ABM30，设|BF|t，则|NF|，|MA|，|AM|QN|，3p，p，抛物线方程为y23x.(理)(2010泰安质检)如图，过抛物线
8、y22px(p0)的焦点的直线l依次交抛物线及其准线于点A、B、C，若|BC|2|BF|，且|AF|3，则抛物线的方程是_答案y23x解析解法1：过A、B作准线垂线，垂足分别为A1，B1，则|AA1|3，|BB1|BF|，|BC|2|BF|，|BC|2|BB1|，|AC|2|AA1|2|AF|6，|CF|3，p|CF|，抛物线方程为y23x.解法2：由抛物线定义，|BF|等于B到准线的距离，由|BC|2|BF|得BCB130，又|AF|3，从而A在抛物线上，代入抛物线方程y22px，解得p.点评：还可以由|BC|2|BF|得出BCB130，从而求得A点的横坐标为|OF|AF|或3，3，p.13
9、已知F为抛物线C：y24x的焦点，过F且斜率为1的直线交C于A、B两点设|FA|FB|，则|FA|与|FB|的比值等于_答案32解析分别由A和B向准线作垂线，垂足分别为A1，B1，则由条件知，解得，32，即32.14(文)若点(3,1)是抛物线y22px的一条弦的中点，且这条弦所在直线的斜率为2，则p_.答案2解析设弦两端点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则，两式相减得，2，y1y22，p2.(理)(2010衡水市模考)设抛物线x212y的焦点为F，经过点P(2,1)的直线l与抛物线相交于A、B两点，又知点P恰为AB的中点，则|AF|BF|_.答案8解析过A、B、P作准线的垂线AA1、
10、BB1与PP1，垂足A1、B1、P1，则|AF|BF|AA1|BB1|2|PP1|21(3)8.三、解答题15(文)若椭圆C1：1(0b0)的焦点在椭圆C1的顶点上(1)求抛物线C2的方程；(2)若过M(1,0)的直线l与抛物线C2交于E、F两点，又过E、F作抛物线C2的切线l1、l2，当l1l2时，求直线l的方程解析(1)已知椭圆的长半轴长为a2，半焦距c，由离心率e得，b21.椭圆的上顶点为(0,1)，即抛物线的焦点为(0,1)，p2，抛物线的方程为x24y.(2)由题知直线l的斜率存在且不为零，则可设直线l的方程为yk(x1)，E(x1，y1)，F(x2，y2)，yx2，yx，切线l1，
11、l2的斜率分别为x1，x2，当l1l2时，x1x21，即x1x24，由得：x24kx4k0，由(4k)24(4k)0，解得k0.又x1x24k4，得k1.直线l的方程为xy10.(理)在ABC中，(0，2)，点M在y轴上且()，点C在x轴上移动(1)求B点的轨迹E的方程；(2)过点F的直线l交轨迹E于H、E两点，(H在F、G之间)，若，求直线l的方程解析(1)设B(x，y)，C(x0,0)，M(0，y0)，x00，ACB，1，于是x022y0M在y轴上且()，所以M是BC的中点，可得，把代入，得yx2(x0)，所以，点B的轨迹E的方程为yx2(x0)(2)点F，设满足条件的直线l方程为：ykx
12、，H(x1，y1)，G(x2，y2)，由消去y得，x2kx0.k210k21，即(x2x1，y2y1)，x1x2x13x1x2.x1x2k，x1x2，k，故满足条件的直线有两条，方程为：8x4y0和8x4y0.16(文)已知P(x，y)为平面上的动点且x0，若P到y轴的距离比到点(1,0)的距离小1.(1)求点P的轨迹C的方程；(2)设过点M(m,0)的直线交曲线C于A、B两点，问是否存在这样的实数m，使得以线段AB为直径的圆恒过原点解析(1)由题意得：x1，化简得：y24x(x0)点P的轨迹方程为y24x(x0)(2)设直线AB为yk(xm)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由，得ky2
13、4y4km0，y1y2，y1y24m.x1x2m2，以线段AB为直径的圆恒过原点，OAOB，x1x2y1y20.即m24m0m0或4.当k不存在时，m0或4.存在m0或4，使得以线段AB为直径的圆恒过原点点评(1)点P到定点F(1,0)的距离比到y轴的距离大1，即点P到定点F(1,0)的距离与到定直线l：x1的距离相等P点轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线，p2，方程为y24x.(理)已知抛物线y24x，过点(0，2)的直线交抛物线于A、B两点，O为坐标原点(1)若4，求直线AB的方程(2)若线段AB的垂直平分线交x轴于点(n,0)，求n的取值范围解析(1)设直线AB的方程为ykx2(k0)，
14、代入y24x中得，k2x2(4k4)x40设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2.y1y2(kx12)(kx22)k2x1x22k(x1x2)4.(x1，y1)(x2，y2)x1x2y1y24，k22k10，解得k1.又由方程的判别式(4k4)216k232k160得k，k1，直线AB的方程为(1)xy20.(2)设线段AB的中点的坐标为(x0，y0)，则由(1)知x0，y0kx02，线段AB的垂直平分线的方程是y.令y0，得n2222.又由k且k0得0，n222.n的取值范围为(2，)17(文)(2010全国)已知抛物线C：y24x的焦点为F，过点K(1,0)的直线l与C
15、相交于A、B两点，点A关于x轴的对称点为D.(1)证明：点F在直线BD上；(2)设，求BDK的内切圆M的方程解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x1，y1)，l的方程为xmy1(m0)(1)将xmy1(m0)代入y24x并整理得y24my40，从而y1y24m，y1y24直线BD的方程为yy2(xx2)即yy2令y0，得x1，所以点F(1,0)在直线BD上(2)由(1)知，x1x2(my11)(my21)4m22，x1x2(my11)(my21)1因为(x11，y1)，(x21，y2)，(x11，y1)(x21，y2)x1x2(x1x2)1484m2，故84m2，解得m，直线l的方程
16、为3x4y30,3x4y30.从而y2y1，故因而直线BD的方程为3xy30,3xy30.因为KF为BKD的角平分线，故可设圆心M(t,0)，(1t1)，M(t,0)到直线l及BD的距离分别为，由得t或t9(舍去)，故圆M的半径为r，所以圆M的方程为2y2.(理)(2010揭阳市模考)已知点C(1,0)，点A、B是O：x2y29上任意两个不同的点，且满足0，设P为弦AB的中点(1)求点P的轨迹T的方程；(2)试探究在轨迹T上是否存在这样的点：它到直线x1的距离恰好等于到点C的距离？若存在，求出这样的点的坐标；若不存在，说明理由解析(1)法一：连结CP，由0知，ACBC，|CP|AP|BP|AB
17、|，由垂径定理知|OP|2|AP|2|OA|2，即|OP|2|CP|29，设点P(x，y)，有(x2y2)(x1)2y29，化简得，x2xy24.法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x，y)，根据题意知，x12y129，x22y229,2xx1x2,2yy1y2，4x2x122x1x2x22,4y2y122y1y2y22故4x24y2(x12y12)(2x1x22y1y2)(x22y22)182(x1x2y1y2)又0，(1x1，y1)(1x2，y2)0(1x1)(1x2)y1y20，故x1x2y1y2(x1x2)12x1，代入式得，4x24y2182(2x1)，化简得，x2xy24.(2)根据抛物线的定义，到直线x1的距离等于到点C(1,0)的距离的点都在抛物线y22px上，其中1，p2，故抛物线方程为y24x，由方程组得，x23x40，解得x11，x24，由于x0，故取x1，此时y2，故满足条件的点存在，其坐标为(1，2)和(1,2).高考资源网w。w-w*k&s%5￥u高考资源网w。w-w*k&s%5￥u
