1、1(13)2借助长方体模型，在直观地认识和理解空间点、线、面的位置关系的基础上，抽象出空间线、面位置关系的定义，并了解可作为推理依据的公理 了解空间两条直线的位置关系，掌握异面直线所成的角的概念，会用平移法作出异面直线所成的角，并求角的大小_()_1_ _4_23：如果一条直线上的在一个平面内，那么这条直线在这个平面内过的三点，有且只有一个平面如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们过该点的公共直线公一、平面的基本性质及公理理公理：公理：公平行公理 平行于的两直线互理：相平行 121/_()2abOaabbabab位置关系的分类共面直线异面直线：不同在一个平面内异面直线所成的角定义：设，是两
2、条二、直线与直异面直线，经过空间中任一点 作直线，把 与 所成的叫做异面直线的位置线 与 所成的角 或夹角关系范围_.：三、直线与平面的位置关系位置关系直线a在平面a内直线a在平面a内直线a在平面a内公共点有_个公共点有且只有_个公共点_个公共点符号表示_图形表示四、两个平面的位置关系位置关系图示表示法公共点个数两平面平行_公共点两平面相交斜交垂直有_个公共点，且都在一条直线上有_个公共点，且都在一条直线上_.空间中如果两个角的两边分别对应平行，五那么这两个角、等角定理(021 /aaAaalaaaaa两点；不在同一直线上；有一条；同一直线；相交直线；平行直线；任何；锐角或直角；，；无数；没有
3、；没有；无数；无数；【相要点指南】等或互补 1.用符号表示“点 A 在直线 l 上，l 在平面 外”，正确的是()AAl，lBAl，lCAl，lDAl，l【解析】本小题考查立体几何中的符号语言 2.若空间三条直线 a、b、c 满足 ab、bc，则直线 a 与 c(D )A一定平行B一定相交C一定是异面D平行、相交、异面都有可能 3.(2011四川卷)l1，l2，l3 是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是()Al1l2，l2l3l1l3Bl1l2，l2l3l1l3Cl1l2l3l1，l2，l3 共面Dl1，l2，l3 共点l1，l2，l3 共面【解析】由 l1l2，l2l3，根据异面直线所成
4、角知 l1与 l3 所成角为 90，选 B.4.若直线 l 上有两点到平面 的距离相等，则直线 l 与平面 的关系是 平行或相交.【解析】当这两点在 的同侧时，l 与 平行；当这两点在 异侧时，l 与 相交5.如图，正方体 ABCDA1B1C1D1 中A1B1 与 BC 所成的角为 90；A1C1 与 AB 所成的角为 45；A1C1 与 AB1 所成的角为 60.一 基本概念问题【例 1】下列命题中：若直线 a 与 b 没有公共点，则 ab；若直线 b平面，直线 a，则 ba；若平面，b，a，则 ba；若直线 a 不在平面 内，则 a；长方体 ABCDA1B1C1D1 中，平面 ABCD 与
5、平面A1BC1 只有一个公共点 B；直线 a、b、c，若 ac，bc，则 ab.其中真命题的个数是()A0B1C3D4【分析】平面几何的知识向立体几何推广的时候，要慎重在直线与直线的位置关系中，空间中多了一种全新的异面关系，复习时应借助熟悉的空间几何图形，理解这种关系【解析】此题考查的是空间点、线、面的位置关系，解决此类问题要概念清晰，逐个分析，可借助熟悉的图形直线 a 与 b 没有公共点，a、b 可能平行或异面；直线 b平面，直线 a，a、b 可能平行或异面；若平面，b，a，可知直线 b 与 a 无公共点，则 a 与 b 可平行也可异面；若直线 a 不在平面 内，则 a 与 相交或平行；平面
6、与平面如果有公共点，就不止一个，应该有一条过 B 的公共直线在空间内，考虑问题要脱离平面的束缚，长方体的共点的三条棱两两垂直，便是反例据以上分析，故选 A.【点评】本题易错在：(1)分析命题时把平面几何中的结论直接照搬，不加分析；(2)分析命题时，只看到表面上只有一个交点，误以为这两个面只有一个交点 设 l，m 是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是()A若 lm，m，则 lB若 l，lm，则mC若 l，m，则 lmD若 l，m，则lm素材1【解析】当 lm，m 时，l 可能在平面 内，也可能平行平面 或与平面 相交，故 A 不对；因为两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条直线也
7、垂直于该平面，故 B 正确；当 l，m 时，lm 或l 与 m 异面，故 C 不对；当 l，m 时，lm 或 l与 m 相交或 l 与 m 异面，故 D 不对 二平面的基本性质及平行公理的应用【点评】1.证点、线共面的常用方法：(1)纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内；(2)辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面，再证明其余元素确定平面，最后证明、重合2点共线问题证明空间点共线问题，一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点，再根据公理 3 证明这些点都在这个平面的交线上 3证线共点问题证明空间三线共点问题，先证明两条直线交于一点，再证明第三条直线经过这点，把问题转化为证明点
8、在直线上 正方体 ABCDA1B1C1D1 中，对角线 A1C 与平面 BDC1交于点 O，AC、BD 交于点 M，求证：C1、O、M 共线【分析】寻找两个相交平面 确定C1、O、M在这两个平面内 得结论.素材2【证明】如图所示，A1AC1C确定平面 A1C.A1C平面A1C又OA1CO平面A1C.A1C平面BC1DOO平面BC1DO 在平面 A1C 与平面 BC1D 的交线上ACBDMM平面BC1D且M平面A1C平面BC1D平面A1CC1MOC1M，即 O、C1、M 三点共线三求异面直线所成的角【例 3】如图，正四面体 ABCD 的棱长为 a，E、F 分别是 AD、BC 的中点求 EF、CD
9、 所成角的大小【解析】设 G 是 AC 的中点，连接 GE，GF，则 GECD，所以GEF 是直线 EF、CD 所成的角，设为.因为 E、F 分别为 AD、BC 的中点，所以 CEAD，AFBC，DFBC.因为 AFDFF，所以 BC平面 AFE，所以 EFBC.所以 EF2EC2CF2CD2CF2DE2a212a212a2，FGEG12a，所以 cos12a214a214a22 22 a12a12a222 a2 22，则 45.所以 EF、CD 所成角的大小为 45.【点评】求异面直线的夹角，需要在几何体中作线段的平移求异面直线所成的角一般方法是平移法，通过平移构造三角形，利用正弦定理和余弦
10、定理求解如果两条直线具有垂直关系，则直接用垂直的判定定理 直三棱柱 ABCA1B1C1 中，若BAC90，ABACAA1，则异面直线 BA1 与 AC1 所成的角等于()A30B45C60D90素材3【解析】由原来的直三棱柱补成一个正方体 ABDCA1B1D1C1.因为 AC1BD1，所以A1BD1 即为异面直线 BA1 与 AC1 所成的角因为A1BD1 为正三角形，所以A1BD160.备选例题如图，设 E、F、G、H 分别是空间四边形 ABCD 的边AB、BC、CD、DA 上的点，且AEEBAHDH，CFFBCGGD.(1)若，判断四边形 EFGH 的形状；(2)若，判断四边形 EFGH
11、的形状1()2233平面的三个基本性质是立体几何的推理依据，要注意通过作图 特别是截面图 的训练，加深对公理的掌握和理解确定平面的公理 及三个推论是将立体几何问题转化为平面几何问题的依据证明若干个点共线的重要方法之一是证明这些点分别是两个平面的公共点，再由公理 可知它们共线证明点共面，线共面的基本途径是由满足确定平面条件的几个点或几条直线作出平面，再证明其他元素也在该平面内44567学习空间平行直线时，要掌握等角定理，并能熟练地应用公理 论证有关直线平行问题理解异面直线的定义，对“不同在任何一个平面内的两条直线”要有深刻的认识求两条异面直线所成角的大小的具体步骤是：选点平移；证明所作角为异面直线的夹角；解三角形求角处理异面直线问题，通常的思路是将空间问题平面化处理