1、2.3 函数的奇偶性与周期性【考纲要求】1、会结合具体函数，了解函数奇偶性的含义。【基础知识】一、函数的奇偶性的定义对于函数，其定义域关于原点对称，如果恒有 ，那么函数为奇函数；如果恒有，那么函数为偶函数。二、奇偶函数的性质奇偶函数的定义域关于原点对称；偶函数的图像关于轴对称；奇函数的图像关于 原点对称；偶函数在对称区间的增减性相反，奇函数在对称区间的增减性相同。奇函数在原点有定义时，必有三、函数的周期性（1）周期函数的定义：若为非零实数，对于定义域内的任意，总有恒成立，则叫做周期函数，叫做这个函数的一个周期。（2）周期函数的性质：若是函数的一个周期，则(也是它的一个周期；若的周期中，存在一个
2、最小的正数，则称它为的最小正周期；如果对于函数定义域中的任意，满足，则得函数的最小正周期是。四、温馨提示1、判断函数的奇偶性的方法 （1）定义法首先必须考虑函数的定义域，如果函数的定义域不关于原点对称，则函数一定是非奇非偶函数；如果函数的定义域关于原点对称，则继续求；最后比较和的关系，如果有=，则函数是偶函数，如果有=-，则函数是奇函数，否则是非奇非偶函数。（2）图像法如果函数的图像关于原点对称，则函数是奇函数；如果函数的图像关于轴对称，则函数是偶函数；如果函数的图像既关于原点对称，又关于轴对称，则函数既是奇函数又是偶函数。（如函数）；否则是非奇非偶函数。2、函数的问题，一定要注意“定义域优先
3、”的原则。考察函数的奇偶性同样要优先考虑函数的定义域是否关于原点对称。3、如果对于函数定义域中的任意，满足，则得函数的周期是；如果对于函数定义域中的任意，满足，则得函数的对称轴是。 4、如果抽象函数求值，自变量的值较大，如：，一般可能是周期函数，所以先要研究函数的周期性。 【例题精讲】例1 判断下列函数的奇偶性（1） （2）（1）【解析】（2）【解析】例2 已知是定义在上的偶函数，并满足，当时，求的值。【解析】 2.3函数的奇偶性和周期性强化训练【基础精练】1、下列函数中，是偶函数的是（ ）（A） （B） （C） （D）2、给定3个函数，（1） （2） （3） ， 其中 是奇函数， 是偶函数，
4、 既不是奇函数也不是偶函数。3、若函数是奇函数，则实数 。4、已知为奇函数，则5、奇函数的定义域是，当时，则在上的表达式为 。6、设偶函数在为减函数，则不等式的解集是 。7、判断下列函数的奇偶性（1） （2） 8、函数是奇函数，且当时是增函数，若，求不等式的解集。9、已知是定义在上的偶函数，并满足，当时，求的值。ZXXK【拓展提高】1、已知函数是常数）是奇函数，且满足（1）求的值；（2）试判断函数在区间上的单调性并说明理由。 2、已知函数的定义在上函数，对定义域内的任意都有，且当时，（1）求证：是偶函数 ；（2）在是增函数；（3）解不等式【基础精练参考答案】1.C【解析】选择支A中函数的定义域为，不关于原点对称，所以是非奇非偶函数；选择支B中，所以不是偶函数；选择支D中的函数的定义域不关于原点对称，所以是非奇非偶函数。所以选C.2.(3),(1),(2)【解析】（3），所以函数是奇函数；（1），所以函数是偶函数；（2），所以函数是非奇非偶函数。3.【解析】函数是实数R上的奇函数 4.【解析】由题得5.【解析】根据奇函数和偶函数的性质得，轴对称，要变；轴对称要变；原点对称都要变。所以函数的解析式为6.【解析】由题得7（1）【解析】（2）【解析】8【解析】 解之得所以不等式的解集为9 【解析】【拓展提高参考答案】1 【解析】（1）由题得 2 【解析】
