1、高 考 总 复 习 艺考生山东版数学 第5节 基本不等式 第一章 集合、常用逻辑用语、不等式最新考纲核心素养考情聚焦1.掌握基本不等式(a，b0)2.结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题1.利用基本不等式求最值，达成逻辑推理和数学运算素养2.均值不等式的实际应用，发展数学建模和数学运算素养3.基本不等式的综合应用，提升逻辑推理和数学运算素养利用基本不等式求函数的最值，不等式的变形，构造基本不等式的形式，不等式的证明及利用不等式解决实际问题等是高考的热点，各种题型均有可能出现，难度中等，属于低中档题1基本不等式：abab2.(1)基本不等式成立的条件：a0，b0.(2)等号成
2、立的条件：当且仅当 ab 时取等号(3)其中 ab2 称为正数 a，b 的算术平均数，ab 称为正数 a，b 的几何平均数2利用基本不等式求最值已知 x0，y0，则(1)如果积 xy 是定值 p，那么当且仅当 xy 时，xy 有最小值是 2 p(简记：积定和最小)(2)如果和 xy 是定值 s，那么当且仅当 xy 时，xy 有最大值是 s24(简记：和定积最大)几个重要的不等式1a2b22ab(a，bR)，当且仅当 ab 时取等号2abab22(a，bR)，当且仅当 ab 时取等号3.a2b22ab22(a，bR)，当且仅当 ab 时取等号4.baab2(a，b 同号)，当且仅当 ab 时取等
3、号思考辨析 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“”，错误的打“”(1)函数 yx1x的最小值是 2.()(2)abab22 成立的条件是 ab0.()(3)x0 且 y0 是xyyx2 的充要条件()(4)若 a0，则 a3 1a2的最小值是 2 a.()(5)(ab)24ab(a，bR)()答案：(1)(2)(3)(4)(5)小题查验1设 ab0，下列不等式不正确的是()Aaba2b22 Bab abD.ab 2abab解析：C 由 a2b22ab，ab2 ab及 ab0 知，a2b22ab，abab22，选项 A、B 正确.2abab2)在 xa 处取最小值，则 a 等于()A
4、1 2B1 3C3 D4解 析：C 当 x2 时，x 20，f(x)(x 2)1x2 22x2 1x224，当且仅当 x2 1x2(x2)，即 x3 时取等号，即当 f(x)取得最小值时，即 a3，选 C.3在下列函数中，最小值是 2 的函数是()Ayx1xBycos x 1cos x0 x0 时，y2，x0，y0，且 2x y 1，则 1x 2y 的 最 小 值 是_解析：因为1x2y(2xy)(1x2y)4yx4xy 42 yx4xy 8，当且仅当 y12，x14时成立答案：8考点一 利用基本不等式求最值(多维探究)命题点 1 通过配凑法利用基本不等式典例(1)已知 0 x1)的最小值为_
5、解析：yx22x1 x22x12x23x1x122x13x1(x1)3x122 32.当且仅当 x1 3x1，即 x 31 时，等号成立答案：2 32命题点 2 通过常数代换法利用基本不等式典例 若 a0，b0，lg alg blg(ab)，则 ab 的最小值为()A8 B6 C4 D2数学运算基本不等式应用中的核心素养数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的过程主要包括：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算方向，选择运算方法，设计运算程序，求得运算结果等应用基本不等式求最值就极大地提升了数学运算的核心素养信息提取信息解读数学运算已知条件a0，b0，lgalgblg(ab
6、)由lg alg blg(ab)，得lg(ab)lg(ab)，即abab，则有1着眼点一(对数的运算性质)：由lgalgblg(ab)，得lg(ab)lg(ab)，即abab.着眼点二(等式的恒等变形)：再由abab，得1.着眼点三(“1”代换)：ab(ab)2.着眼点四(基本不等式的应用)：2224，当且仅当ab2时等号成立求则ab的最小值利用常数“1”代换的方法，将ab的变形为ab(ab)2，在利用基本不等式求其最小值解析 C 由 lg alg blg(ab)，得 lg(ab)lg(ab)，即 abab，则有1a1b1，所以 ab1a1b(ab)2baab22baab4，当且仅当 ab2
7、时等号成立，所以 ab 的最小值为4，故选 C.求函数定义域的三种常考类型及求解策略(1)应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”(2)在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式(3)条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求最值跟踪训练1(2019濮阳市质检)若正实数 x，y 满足 4xyxy，则 x4y取最小值时，y 的值为()A1 B2 C3 D5解析：D(1)x0，y0 且 4xyxy，1x4y1，x4y(x4y)1x
8、4y 174xy 4yx 25，当且仅当 xy5 时取等号，故选 D.2函数 yloga(x3)1(a0，且 a1)的图象恒过定点 A，若点 A 在 mxny20 上，其中 mn0，则1m1n的最小值为_解析：当 x2 时，yloga(23)11，即定点 A 的坐标为(2，1)，于是有2m n20，即 m n21，1m 1n m n232n2m mn 322n2m mn 32 22，当且仅当n2m mn，即 n2m 2(21)时取等号，因此1m 1n的最小值是3222.答案：32 22考点二 均值不等式的实际应用(师生共研)典例 某车间分批生产某种产品，每批产品的生产准备费用为800 元，若每
9、批生产 x 件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为 1 元。为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品()A60 件 B80 件C100 件D120 件解析 B 若每批生产 x 件产品，则每件产品的生产准备费用是800 x 元，仓储费用是x8元，总的费用是800 x x82 800 x x820，当且仅当800 x x8，即 x80 时取等号故选 B.在利用基本不等式解决实际问题时，一定要注意所涉及变量的取值范围，即定义域若使基本不等式等号成立的变量值不在定义域内时，则要研究函数的单调性，利用单调性求最值跟踪训练某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每
10、台机器生产的产品可获得的总利润 y(单位：万元)与机器运转时间 x(单位：年)的关系为 yx218x25(xN*)，则该公司年平均利润的最大值是_万元解析：每台机器运转 x 年的年平均利润为yx18x25x，而 x0，故yx182 258，当且仅当 x5 时等号成立，此时年平均利润最大，最大值为 8 万元答案：8考点三 基本不等式的综合应用(师生共研)典例(1)若 a0，b0，ab2，则下列不等式：a2b22；1a1b2；ab1；a b 2.恒成立的是()A BCD(2)已知函数 f(x)x2ax11x1(aR)，若对于任意 xN*，f(x)3恒成立，则 a 的取值范围是_解析(1)因为 a0
11、，b0，ab2，所以由a2b22ab2 1 ab 21a1b得 a2b22;1a1b2；ab1；即均正确；不妨令 ab1，则 a b2 2，故错误；综上所述，恒成立的是.故选 B.(2)对任意 xN*，f(x)3 恒成立，即x2ax11x13 恒成立，即知 ax8x 3.设 g(x)x8x，xN*，则 g(2)6，g(3)173.g(2)g(3)，g(x)min173.x8x 383，a83，故a 的取值范围是83，.答案(1)B(2)83，综合应用基本不等式的重点题型与求解策略题型求解策略判断或证明不等式或比较大小对所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解求参数的值或范围观察题目特点
12、，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或范围与函数、数列、解析几何等其他知识结合的问题利用已知条件进行转化，再利用基本不等式求解跟踪训练1若函数 f(x)x 1x2(x2)在 xa 处取最小值，则 a 等于()A1 2 B1 3 C3 D4解 析：C 当 x2 时，x 20，f(x)(x 2)1x2 22x2 1x224，当且仅当 x2 1x2(x2)，即 x3 时取等号，即当 f(x)取得最小值时，即 a3，选 C.2若对于任意的 x0，不等式xx23x1a 恒成立，则实数 a的取值范围为()Aa15Ba15Ca15Da15解析：A 由 x0，得xx23x11x1x312x1x315，当且仅当 x1 时，等号成立则 a15，故选 A.
