1、2015-2016学年上海市复旦大学附中高二（上）期末数学试卷一、填空题（共48分，每空4分）1抛物线C的顶点在坐标原点，焦点在坐标轴上，且C过点（2，3），则C的方程是2若过点P（2，2）可以向圆x2+y22kx2y+k2k=0作两条切线，则实数k的取值范围是3参数方程（R）化为普通方程是4M是椭圆上动点，F1，F2是椭圆的两焦点，则F1MF2的最大值为5圆x2+（ya）2=9与椭圆有公共点，则实数a的取值范围是6与圆x2+y24x=0外切，且与y轴相切的动圆圆心的轨迹方程是7双曲线2x23y2=k（k0）的焦点坐标是（用k表示）8已知P（x，y）是圆（x+1）2+y2=1上一点，则2x+3
2、y的最大值为9若直线与圆x2+y2=1在第一象限有两个不同的交点，则实数a的取值范围是10椭圆E：的右顶点为B，过E的右焦点作斜率为1的直线L与E交于M，N两点，则MBN的面积为11设实数x，y满足x2=4y，则的最小值是12椭圆C：向右平移一个单位、向上平移两个单位可以得到椭圆C：设直线l：（2a+1）x+（1a）y3=0，当实数a变化时，l被C截得的最大弦长是二、选择题（共20分，每题5分）13圆x2+y2+2x+4y3=0上到直线x+y+1=0的距离为的点有（）A1个B2个C3个D4个14“ab0”是“方程ax2+by2=c表示双曲线”的（）A充分必要条件B充分不必要条件C必要不充分条件
3、D既不必要也不充分条件15过点（3，0）和双曲线x2ay2=1（a0）仅有一交点的直线有（）A1条B2条C4条D不确定16双曲线C的左、右焦点为F1，F2，P为C的右支上动点（非顶点），I为F1PF2的内心当P变化时，I的轨迹为（）A双曲线的一部分B椭圆的一部分C直线的一部分D无法确定三、解答题（共52分，8+10+10+12+12）17已知抛物线C：y=2x2和直线l：y=kx+1，O为坐标原点（1）求证：l与C必有两交点；（2）设l与C交于A，B两点，且直线OA和OB斜率之和为1，求k的值18斜率为1的动直线L与椭圆交于P，Q两点，M是L上的点，且满足|MP|MQ|=2，求点M的轨迹方程1
4、9已知椭圆x2+2y2=1上存在两点A，B关于直线L：y=4x+b对称，求实数b的取值范围20已知双曲线C的渐近线方程为x2y=0，且点A（5，0）到双曲线上动点P的最小距离为，求C的方程21设定点A（0，1），常数m2，动点M（x，y），设，且（1）求动点M的轨迹方程；（2）设直线L：与点M的轨迹交于B，C两点，问是否存在实数m使得？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由2015-2016学年上海市复旦大学附中高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（共48分，每空4分）1抛物线C的顶点在坐标原点，焦点在坐标轴上，且C过点（2，3），则C的方程是y2=x或x2=y【考点】抛物线的
5、简单性质【分析】对称轴分为是x轴和y轴两种情况，分别设出标准方程为y2=2px和x2=2py，然后将（2，3），代入即可求出抛物线标准方程【解答】解：（1）抛物线的顶点在坐标原点，对称轴是x轴，并且经过点（2，3），设它的标准方程为y2=2px（p0），9=4p解得：2p=，y2=x；（2）对称轴是y轴，并且经过点（2，3），抛物线的方程为x2=2py（p0），4=6p，得：2p=，抛物线的方程为：x2=y所以所求抛物线的标准方程为：y2=x或x2=y故答案为：y2=x或x2=y2若过点P（2，2）可以向圆x2+y22kx2y+k2k=0作两条切线，则实数k的取值范围是（1，1）（4，+）【考
6、点】圆的切线方程【分析】将圆化成标准方程，得（xk）2+（y1）2=k+1，根据方程表示圆的条件和点与圆的位置关系，结合题意建立关于k的不等式组，解之即可得到实数k的取值范围【解答】解：圆x2+y22kx2y+k2k=0，可化为（xk）2+（y1）2=k+1方程x2+y22kx2y+k2k=0表示圆，k+10，解之得k1又过点P（2，2）可以向圆x2+y22kx2y+k2k=0作两条切线，点P（2，2）在圆外，可得（2k）2+（21）2k+1，解之得k1或k4综上所述，可得k的取值范围是（1，1）（4，+），故答案为（1，1）（4，+）3参数方程（R）化为普通方程是x2+（y1）2=1【考点】
7、参数方程化成普通方程【分析】利用同角三角函数平方关系，可得结论【解答】解：由题意，消去参数，可得普通方程是x2+（y1）2=1，故答案为x2+（y1）2=14M是椭圆上动点，F1，F2是椭圆的两焦点，则F1MF2的最大值为arccos【考点】椭圆的简单性质【分析】求得椭圆的a，b，c，由椭圆中焦点三角形中，焦距所对角最大，可得F1MF2最大，此时M为短轴端点再由余弦定理，计算即可得到所求最大角【解答】解：椭圆的a=3，b=1，c=2，由椭圆中焦点三角形中，焦距所对角最大，可得F1MF2最大，此时M为短轴端点则cosF1MF2=，可得F1MF2的最大值为arccos故答案为：arccos5圆x2
8、+（ya）2=9与椭圆有公共点，则实数a的取值范围是6，6【考点】椭圆的简单性质【分析】由题意可知：椭圆焦点在x轴上，a=5，b=3，圆x2+（ya）2=9的圆心坐标（0，a），半径r=3若椭圆1与圆x2+（ya）2=9有公共点，根据图象可知数a的取值范围【解答】解：椭圆焦点在x轴上，a=5，b=3，|x|5，|y|4，圆x2+（ya）2=9的圆心坐标（0，a），半径r=3若椭圆1与圆x2+（ya）2=9有公共点，则实数a的取值范围|a|6；故答案为：6，66与圆x2+y24x=0外切，且与y轴相切的动圆圆心的轨迹方程是y2=8x（x0）或y=0（x0）【考点】轨迹方程；抛物线的定义【分析】分
9、动圆在y轴右侧和动圆在y轴左侧两种情况考虑，若动圆在y轴右侧，则动圆圆心到定点（2，0）与到定直线x=2的距离相等，利用抛物线的定义求轨迹方程，若动圆在y轴左侧，动圆圆心轨迹是x负半轴【解答】解：若动圆在y轴右侧，则动圆圆心到定点（2，0）与到定直线x=2的距离相等，其轨迹是抛物线；且=2，其方程为y2=8x，若动圆在y轴左侧，则动圆圆心轨迹是x负半轴，方程为 y=0，x0，故答案为y2=8x，或 y=0，x07双曲线2x23y2=k（k0）的焦点坐标是（用k表示）（0，）【考点】双曲线的简单性质【分析】双曲线2x23y2=k（k0），化为=1，即可求得c【解答】解；双曲线2x23y2=k（k
10、0），化为=1，根据双曲线方程可知c=，双曲线焦点坐标为（0，）故答案为（0，）8已知P（x，y）是圆（x+1）2+y2=1上一点，则2x+3y的最大值为2【考点】圆的标准方程【分析】假设点P的坐标为（1+cos，sin），利用三角函数，可求最值【解答】解：圆的标准方程为（x+1）2+y2=1，设P（1+cos，sin），则2x+3y=2cos+3sin2=cos（+）22x+3y的最大值为：2故答案为：29若直线与圆x2+y2=1在第一象限有两个不同的交点，则实数a的取值范围是（，2）【考点】直线与圆的位置关系【分析】抓住两个关键点，一是直线过（0，1）；一是直线与圆相切，分别求出m的值，即
11、可确定出直线与圆在第一象限内有两个不同的交点时a的范围【解答】解：分两种情况：当直线过（0，1）时，将x=0，y=1代入得：a=；当直线与圆x2+y2=1相切时，圆心到直线的距离d=r=1，解得：a=2或2（舍去），则直线与圆在第一象限内有两个不同的交点时，实数a的取值范围是（，2）故答案为（，2）10椭圆E：的右顶点为B，过E的右焦点作斜率为1的直线L与E交于M，N两点，则MBN的面积为，【考点】椭圆的简单性质【分析】由椭圆E：右焦点（1，0），右顶点（2，0），设直线L的方程为y=x1，代入椭圆方程，由韦达定理及弦长公式求得丨MN丨，则B到直线L的距离d=，MBN的面积S=丨MN丨d【解答
12、】解：由题意可知：椭圆E：右焦点（1，0），右顶点（2，0），设直线L的方程为y=x1，M（x1，y1），N（x2，y2），由，整理得：7x28x8=0，由韦达定理可知：x1+x2=，x1x2=，丨MN丨=，则B到直线L的距离d=，MBN的面积S=丨MN丨d=，MBN的面积为，故答案为：11设实数x，y满足x2=4y，则的最小值是2【考点】抛物线的简单性质【分析】抛物线的准线方程为y=1， +11最小值是（3，1）与焦点（0，1）的距离减去1，可得结论【解答】解：抛物线的准线方程为y=1， +11最小值是（3，1）与焦点（0，1）的距离减去1，即的最小值是31=2，故答案为212椭圆C：向右平
13、移一个单位、向上平移两个单位可以得到椭圆C：设直线l：（2a+1）x+（1a）y3=0，当实数a变化时，l被C截得的最大弦长是8【考点】椭圆的简单性质【分析】直线l：（2a+1）x+（1a）y3=0，化为：a（2xy）+（x+y3）=0，利用直线系的性质可得：直线l经过定点M（1，2），为椭圆C：的中心因此当实数a变化时，l被C截得的最大弦长是2a【解答】解：直线l：（2a+1）x+（1a）y3=0，化为：a（2xy）+（x+y3）=0，令，解得x=1，y=2，因此直线l经过定点M（1，2），为椭圆C：的中心因此当实数a变化时，l被C截得的最大弦长是2a=8故答案为：8二、选择题（共20分，每
14、题5分）13圆x2+y2+2x+4y3=0上到直线x+y+1=0的距离为的点有（）A1个B2个C3个D4个【考点】直线与圆的位置关系【分析】圆x2+y2+2x+4y3=0可化为（x+1）2+（y+2）2=8，过圆心平行于直线x+y+1=0的直线与圆有两个交点，另一条与直线x+y+1=0的距离为的平行线与圆相切，只有一个交点【解答】解：圆x2+y2+2x+4y3=0可化为（x+1）2+（y+2）2=8圆心坐标是（1，2），半径是2；圆心到直线的距离为d=，过圆心平行于直线x+y+1=0的直线与圆有两个交点，另一条与直线x+y+1=0的距离为的平行线与圆相切，只有一个交点所以，共有3个交点故选：C
15、14“ab0”是“方程ax2+by2=c表示双曲线”的（）A充分必要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不必要也不充分条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】运用反例，特殊值，结合双曲线的标准方程判断【解答】解：若a=1，b=1，c=0，则不能表示双曲线，不是充分条件，反之，若方程ax2+by2=c表示双曲线，则a，b异号，是必要条件，故ab0是方程ax2+by2=c表示双曲线的必要不充分条件，故选：C15过点（3，0）和双曲线x2ay2=1（a0）仅有一交点的直线有（）A1条B2条C4条D不确定【考点】双曲线的简单性质【分析】直线斜率不存在时，不满足条件，直线斜率存在时，与
16、渐近线平行的直线，满足题意，可得结论【解答】解：直线斜率不存在时，满不足条件；直线斜率存在时，与渐近线平行的直线，满足题意，过点（3，0）和双曲线x2ay2=1（a0）仅有一交点的直线有2条故选：B16双曲线C的左、右焦点为F1，F2，P为C的右支上动点（非顶点），I为F1PF2的内心当P变化时，I的轨迹为（）A双曲线的一部分B椭圆的一部分C直线的一部分D无法确定【考点】轨迹方程【分析】将内切圆的圆心坐标进行转化成圆与横轴切点Q的横坐标，PF1PF2=F1QF2Q=2a，F1Q+F2Q=F1F2解出OQ，可得结论【解答】解：如图设切点分别为M，N，Q，则PF1F2的内切圆的圆心的横坐标与Q横坐
17、标相同由双曲线的定义，PF1PF2=2a=4由圆的切线性质PF1PF2=FIMF2N=F1QF2Q=2a，F1Q+F2Q=F1F2=2c，F1Q=a+c，F2Q=ca，OQ=F1F2QF2=c（ca）=aF1PF2内切圆与x轴的切点坐标为（a，0），当P变化时，I的轨迹为直线的一部分故选C三、解答题（共52分，8+10+10+12+12）17已知抛物线C：y=2x2和直线l：y=kx+1，O为坐标原点（1）求证：l与C必有两交点；（2）设l与C交于A，B两点，且直线OA和OB斜率之和为1，求k的值【考点】抛物线的简单性质【分析】（1）联立抛物线C：y=2x2和直线l：y=kx+1，可得2x2k
18、x1=0，利用0，即可证明l与C必有两交点；（2）根据直线OA和OB斜率之和为1，利用韦达定理可得k的值【解答】（1）证明：联立抛物线C：y=2x2和直线l：y=kx+1，可得2x2kx1=0，=k2+80，l与C必有两交点；（2）解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则+=1因为y1=kx1+1，y2=kx2+1，代入，得2k+（+）=1因为x1+x2=k，x1x2=，代入得k=118斜率为1的动直线L与椭圆交于P，Q两点，M是L上的点，且满足|MP|MQ|=2，求点M的轨迹方程【考点】椭圆的简单性质【分析】设直线L的方程为：y=x+t，P（x1，y1），Q（x2，y2），M（m，n）可
19、得y1=x1+t，y2=x2+t，t=nm直线方程与椭圆方程联立可得：3x2+4tx+2t24=0，|MP|=，同理可得：|MQ|=利用|MP|MQ|=2，代入化简即可得出【解答】解：设直线L的方程为：y=x+t，P（x1，y1），Q（x2，y2），M（m，n）则y1=x1+t，y2=x2+t，t=nm联立，化为：3x2+4tx+2t24=0，=16t212（2t24）0，解得：t26x1+x2=，|MP|=，同理可得：|MQ|=|MP|MQ|=2，1=|（x1m）（x2m）|=，m2+2n2=1或7点M的轨迹为椭圆，其方程为m2+2n2=1或719已知椭圆x2+2y2=1上存在两点A，B关于
20、直线L：y=4x+b对称，求实数b的取值范围【考点】椭圆的简单性质【分析】将A，B坐标代入椭圆方程，利用作差法，求得直线AB的斜率，由直线AB的斜率为，代入求得AB中点M（x0，y0），横坐标和纵坐标与m的关系，代入x2+2y21，即可求得b的取值范围【解答】解：椭圆x2+2y2=1，焦点在x轴上，设椭圆上两点A（x1，y1）、B（x2，y2）关于直线y=4x+b对称，AB中点为M（x0，y0），直线AB的斜率为则x12+2y12=1，x22+2y22=1，得：（x1+x2）（x1x2）+2（y1+y2）（y1y2）=0，由中点坐标公式可知：x1+x2=2x0，y1+y2=2y0，即 2x0（
21、x1x2）+22y0（y1y2）=0，=y0=x0，代入直线方程y=4x+b得x0=b，y0=b；（x0，y0）在椭圆内部，+21，即6b249，解得b实数b的取值范围（，）20已知双曲线C的渐近线方程为x2y=0，且点A（5，0）到双曲线上动点P的最小距离为，求C的方程【考点】双曲线的简单性质【分析】由已知条件，设双曲线方程y2=，0，由定点A（50）到双曲线C上的动点P的最小距离为，运用两点距离公式，结合二次函数最值求法，可得最小值，求得，由此能求出双曲线方程【解答】解：双曲线C的一条渐近线L的方程为x2y=0，设双曲线方程为y2=，0设P（m，n），则m24n2=4，点A（5，0）到双曲
22、线上动点P的距离为：=，当m=4时，上式取得最小值，由题意可得=，解得=1则双曲线C的方程为y2=121设定点A（0，1），常数m2，动点M（x，y），设，且（1）求动点M的轨迹方程；（2）设直线L：与点M的轨迹交于B，C两点，问是否存在实数m使得？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由【考点】双曲线的简单性质；轨迹方程【分析】（1）根据向量的表达式，可推断出点M（x，y）到两个定点F1（m，0），F2（m，0）的距离之差4，根据双曲线的定义判断出其轨迹为双曲线，进而根据c和a，求得b，则其方程可得（2）设将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根与系数的关系利用向量数量积的坐标公式即可求得m值，从而解决问题【解答】解：（1）由题意，=42m，动点M的轨迹是以（m，0），（m，0）为焦点的双曲线的右支，方程为=1（x2）；（2）由直线L：与点M的轨迹方程，联立可得（m25）x2+12x364（m24）=0，设B（x1，y1），C（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=，x1x2+（y11）（y21）=，x1x22（x1+x2）+16=，m2=9，m=3，m2，m=3检验m=3时x1+x2=30，所以不存在m2017年3月19日
