1、高 考 总 复 习 艺考生山东版数学 第2节 两直线的位置关系第七章 平面解析几何最新考纲核心素养考情聚焦1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离1.两条直线的位置关系的判定，达成直观想象和数学运算的素养2.距离问题的求解，达成直观想象和数学运算的素养3.对称问题的求解，提升逻辑推理、数学运算和数学抽象的素养高考对本部分的考查为两点间的距离和点到直线的距离，常与圆、椭圆、双曲线、抛物线交汇考查，有时也会单独命制新定义题目题型以选择题、填空题为主，属中低档题型1两条直线位置
2、关系的判定直线方程斜截式一般式位置关系yk1xb1 yk2xb2A1xB1yC10A2xB2yC20相交 k1k2 A1B2A2B10 垂直 k1k21 A1A2B1B20 平行 k1k2 且 b1b2 A1B2A2B10B2C1B1C20 或A1B2A2B10A1C2A2C10重合k1k2 且 b1b2A1B2A2B10B2C1B1C20 或A1B2A2B10A1C2A2C102.三种距离(1)两点间的距离公式平面上任意两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式为|P1P2|x2x12y2y12.特别地，原点 O(0,0)与任一点 P(x，y)的距离|OP|x2y2.(2)点到
3、直线的距离公式平面上任意一点 P0(x0，y0)到直线 l：AxByC0 的距离 d|Ax0By0C|A2B2.(3)两条平行线间的距离公式一般地，两条平行直线 l1：AxByC10，l2：AxByC20间的距离 d|C1C2|A2B2.3两种对称(1)中心对称 点 P(x，y)关 于 O(a，b)的 对 称 点 P(x，y)满 足x2ax，y2by.直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决(2)轴对称点 A(a，b)关于直线 AxByC0(B0)的对称点为 A(m，n)，则有nbmaAB 1，Aam2Bbn2 C0.直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决 常见的三大直线
4、系方程(1)与直线 AxByC0 平行的直线系方程是 AxBym0(mR 且 mC)(2)与直线 AxByC0 垂直的直线系方程是 BxAym0(mR)(3)过直线 l1：A1xB1yC10 与 l2：A2xB2yC20 的交点的直线系方程为 A1xB1yC1(A2xB2yC2)0(R)，但不包括l2.思考辨析 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“”，错误的打“”(1)若两直线的方程组成的方程组有解，则两直线相交()(2)如果两条直线 l1 与 l2 垂直，则它们的斜率之积一定等于1.()(3)点 P(x0，y0)到直线 ykxb 的距离为|kx0b|1k2.()(4)直线外一点与
5、直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离()(5)两平行线间的距离是一条直线上任一点到另一条直线的距离，也可以看作是两条直线上各取一点的最短距离()答案：(1)(2)(3)(4)(5)小题查验1已知直线(k3)x(4k)y10 与2(k3)x2y30平行，那么 k 的值为()A1 或 3 B1 或 5C3 或 5 D1 或 2解析：C 法一：把 k1 代入已知两条直线，得2x3y10 与4x2y30，此时两条直线的斜率不相等，所以两条直线不平行，所以 k1，排除 A，B，D.法 二：因 已 知 两 条 直 线 平 行，所 以k 3或 k3，k32k34k2 13 解得 k3 或 k5.故选
6、C.2(2019南宁市模拟)直线 x2y10 关于直线 x1 对称的直线方程是()Ax2y10 B2xy10C2xy30 Dx2y30解析：D 设所求直线上任一点(x，y)，则它关于直线 x1 的对称点(2x，y)在直线 x2y10 上，即 2x2y10，化简得 x2y30.3(2019呼和浩特市一模)设直线 l1：x2y10 与直线 l2：mxy30 的交点为 A；P，Q 分别为 l1，l2 上任意两点，点 M 为 PQ的中点，若|AM|12|PQ|，则 m 的值为()A2 B2 C3 D3解析：A 根据题意画出图形，如图所示直线 l1：x2y10 与直线 l2：m xy30 的交点为 A；
7、M 为 PQ 的中点，若|A M|12|PQ|，则 PA Q A，即 l1l2，1m(2)10，解得 m 2.故选 A.4(人教 A 版教材习题改编)经过两直线 2xy80 与 x2y10 的交点，且平行于直线 4x3y70 的直线方程为 _.答案：4x3y605已知点 A(3,2)和 B(1,4)到直线 axy10 的距离相等，则a 的值为 _.解析：由平面几何知识得 A B 平行于直线 axy10 或 A B 中点在直线 axy10 上，所以 a12或4.答案：12或4考点一 两条直线的位置关系(自主练透)题组集训1(2019资阳市模拟)已知直线 l1：ax(a2)y20 与 l2：xay
8、10 平行，则实数 a 的值为()A1 或 2 B0 或 2C2 D1解析：D 由 aa(a2)0，即 a2a20，解得 a2 或1.经过验证可得：a2 时两条直线重合，舍去a1.故选 D.2“m3”是“直线 l1：2(m1)x(m3)y75m0 与直线 l2：(m3)x2y50 垂直”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件解析：A 由 l1l2，得 2(m 1)(m 3)2(m 3)0，m 3 或 m 2，m 3 是 l1l2的充分不必要条件故选A.3(2019西安市模拟)已知 a，b 为正数，且直线 axby60与直线 2x(b3)y50 平行，则 2a
9、3b 的最小值为 _.解析：由两直线平行可得，a(b3)2b，即 2b3aab，2a3b1.又 a，b 为正数，所以 2a3b(2a3b)2a3b 136ab 6ba 1326ab 6ba 25，当且仅当 ab5 时取等号，故 2a3b 的最小值为 25.答案：251充分掌握两直线平行与垂直的条件是解决本类题的关键，对于斜率都存在且不重合的两条直线 l1 和 l2，l1l2k1k2，l1l2k1k21.若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率是多少一定要特别注意2两直线交点的求法求两直线交点坐标，就是解由两直线方程组成的方程组，以方程组的解为坐标的点即为交点考点二 距离问题(师生共研)典
10、例(1)P 点在直线 3xy50 上，且点 P 到直线 xy10 的距离为 2，则 P 点坐标为()A(1,2)B(2,1)C(1,2)或(2，1)D(2,1)或(1,2)(2)若直线 l1：x2ym0(m0)与直线 l2：xny30 之间的距离是 5，则 mn()A0 B1 C1 D2(3)过 P(2，1)点且与原点距离为 2 的直线 l 的方程为 _.解析：(1)设 P(x,53x)，则 d|x53x1|12122，化简得|4x6|2，即 4x62，解得 x1 或 x2，故点 P 的坐标为(1,2)或(2，1)(2)直线 l1：x2ym 0(m 0)与直线 l2：xny30 之间的距离为5
11、，n2，|m 3|55，n2，m 2，或 m 4(负值舍去)m n0.(3)当 l的斜率 k 不存在时显然满足要求，此时 l的方程为 x2；当 l的斜率 k 存在时，设 l的方程为 y1k(x2)，即 kxy2k10.由点到直线距离公式得|2k1|1k2 2，k34，l的方程为 3x4y100.综上，所求 l的方程为 x2 或 3x4y100.答案：(1)C(2)A(3)x2 或 3x4y100距离问题的常见题型与求解策略题型求 解 策 略已知距离，求点的坐标或点的个数借助于距离公式，建立方程(组)求解或判断解的个数即可已知距离求参数值 可利用距离公式得出方程，解方程求得已知距离，求直线方程立
12、足确定直线的几何要素点和方向，利用直线方程的各种形式，结合直线的位置关系，巧设直线方程，在此基础上借助三种距离公式求解与距离最值有关的问题一是转化为几何问题，利用几何知识求解，二是借助于基本不等式或函数性质求解.跟踪训练1(2019广州市模拟)已知点 P(4，a)到直线 4x3y10 的距离不大于 3，则 a 的取值范围是 _.解析：由题意得，点 P 到直线的距离为|443a1|5|153a|5.又|153a|53，即|153a|15，解之得 0a10，所以 a的取值范围是0,10答案：0,102(2019厦门市模拟)若两平行直线 3x2y10,6xayc0之间的距离为2 1313，则 c 的
13、值是 _.解析：依题意知，63a2c1，解得 a4，c2，即直线 6xayc0 可化为 3x2yc20，又两平行线之间的距离为21313，所以c21322221313，解得 c2 或6.答案：2 或63点 P(2,1)到直线 l：mxy30(mR)的最大距离是 _.解析：直线 l 经过定点 Q(0，3)，如图所示由图知，当 PQl 时，点 P(2,1)到直线 l 的距离取得最大值|PQ|2121322 5，所以点 P(2,1)到直线 l 的最大距离为 2 5.答案：2 5考点三 对称问题(多维探究)命题角度 1 点关于点的对称 1过点 P(0,1)作直线 l 使它被直线 l1：2xy80 和
14、l2：x3y100 截得的线段被点 P 平分，求直线 l 的方程解：设 l1 与 l 的交点为 A(a,82a)，则由题意知，点 A 关于点 P的对称点 B(a,2a6)在 l2 上，代入 l2 的方程得a3(2a6)100，解得 a4，即点 A(4,0)在直线 l 上，所以由两点式得直线 l 的方程为 x4y40.点关于点的对称问题实际是个中心对称问题，利用中点坐标公式易得：点 P(x，y)关于 O(a，b)的对称点 P(x，y)满足x2ax，y2by.命题角度 2 点关于线对称 2已知直线 l：2x3y10，点 A(1，2)，求点 A 关于直线 l 的对称点 A的坐标解：设 A(x，y)，
15、由已知得y2x1231，2x12 3y22 10，解得x3313，y 413，故 A3313，413.点关于线的对称点牢记两点：(1)点与对称点的中点在已知直线上；(2)点与对称点连线的斜率是已知直线斜率的负倒数(仅指斜率存在的情况，如斜率不存在时较简单)；设点 A(a，b)关于直线 AxByC0(B0)的对称点为 A(m，n)，则有nbmaAB 1，Aam2Bbn2 C0.跟踪训练若将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m，n)重合，则 mn _.解析：由题可知纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线，即直线 y2x3，它也是点(7,3)与点(
16、m，n)连线的中垂线，于是 3n2 27m23，n3m 712，解得 m 35，n315，故 m n345.答案：345命题角度 3 线关于线对称 3在角度二的条件下，求直线 m：3x2y60 关于直线 l的对称直线 m的方程解：在直线 m 上取一点，如 M(2,0)，则 M(2,0)关于直线 l 的对称点 M必在直线 m上设对称点 M(a，b)，则2a223b0210，b0a2231，得 M613，3013.设直线 m 与直线 l 的交点为 N，则由2x3y10，3x2y60，得 N(4,3)又m经过点 N(4,3)，由两点式得直线 m的方程为 9x46y1020.直线关于直线的对称最终转化
17、为点关于直线的对称问题来解决一般要在已知直线上取点，也可取特殊点作对称直线的对称点，再和两条直线的交点联立，求直线即可跟踪训练试求直线 l1：xy20 关于直线 l2：3xy30 对称的直线l 的方程解：设所求直线 l 上一点 P(x，y)，则在直线 l1 上必存在一点 Q(x0，y0)与点 P 关于直线 l2 对称由题设知 PQ 与直线 l2 垂直，且线段 PQ 的中点 Mxx02，yy02在直线 l2 上y0yx0 x31，3xx02yy0230，变形得x03y4x95，y03x4y35，代入直线 l1：xy20，得3y4x953x4y3520，整理得 7xy220.所以所求直线方程为 7
18、xy220.命题角度 4 对称问题的应用 4已知光线从 A(4，2)点射出，到直线 yx 上的 B 点后被直线 yx 反射到 y 轴上的 C 点，又被 y 轴反射，这时反射光线恰好过点 D(1,6)，求 BC 所在的直线方程解：作出草图，如图所示，设 A 关于直线 yx 的对称点为 A，D 关于 y 轴的对称点为 D，则易得 A(2，4)，D(1,6)由入射角等于反射角可得 AD所在直线经过点 B 与 C.故 BC 所在的直线方程为 y646 x121，即 10 x3y80.光线的反射问题具有入射角等于反射角的特点，这样就有对称关系，一是入射光线与反射光线关于过反射点且与反射轴垂直的直线(法线)对称，二是入射光线与反射光线所在直线关于反射轴对称跟踪训练如图所示，已知 A(4,0)，B(0,4)，从点 P(2,0)射出的光线经直线AB 反射后再射到直线 OB 上，最后经直线 OB 反射后又回到 P 点，则光线所经过的路程是()A2 10 B6 C3 3 D2 5解析：A 由题意知点 P 关于直线 A B 的对称点为 D(4,2)，关于y 轴的对称点为 C(2,0)，则光线所经过的路程为|C D|210.故选A.
