1、第 1页，共 4页莱芜四中 52 级高二下学期第一次质量检测数学试题一、单选题（本大题共 8 小题，共 40 分）1.下列导数运算正确的是()A.()=B.()=1C.(3)=3D.(1)=122.已知曲线=12 2 2 上一点(1,32)，则在点处的切线的倾斜角为()A.30B.45C.135D.1653.设曲线=2+2 在点处的切线斜率为 3，则点的坐标为()A.(0,2)B.(1,0)C.(0,0)D.(1,1)4.如图所示，从甲地到乙地有 3 条公路可走，从乙地到丙地有 2 条公路可走，从甲地不经过乙地到丙地有 2 条水路可走.则从甲地经过乙地到丙地和从甲地到丙地的走法种数分别为()A
2、.6，8B.6，6C.5，7D.6，25.已知2=15，那么2=()A.20B.30C.42D.726.用数字 0，1，2，3，4，5 组成没有重复数字的五位数，其中比 40000 大的偶数共有()A.144 个B.120 个C.96 个D.72 个7.3 名男生和 2 名女生排成一队照相，要求女生相邻，共有()排法A.120B.24C.48D.968.某高中期中考试需要考查九个学科(语文、数学、英语、生物、物理、化学、政治、历史、地理)，已知语文考试必须安排在首场，且物理考试与英语考试不能相邻，则这九个学科不同的考试顺序共有()A.88种B.2277种C.6672种D.6682种二、多选题（
3、本大题共 4 小题，共 20.0 分）9.下列等式中，成立的有()A.=!B.1+=+1C.=D.=1110.(多选题)已知函数()=，则下列说法正确的是()A.()的单调递增区间为(,+)B.()在(0,1)上是减函数C.当 (0,1时，()有最小值1D.()在定义域内无极值11.函数=()的导函数=()的图象如图所示，以下命题正确的是()A.4 是函数=()的最小值点B.0 是函数=()的极值点C.=()在区间(4,1)上单调递增D.=()在=1 处切线的斜率大于零12.设函数()=13 ln(0)，则=()()A.在区间1,1 内无零点，在区间(1,)内有零点；B.在区间1,1，(1,)
4、内均有零点；C.在区间 3,2 内有零点；D.函数=()有且仅有两个零点。三、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）13.若 3=6 4，则的值为14.如图，从 有_种不同的走法15.()=3 3+有 3 个不同的零点，则的取值范围是_16.当前新冠肺炎疫情形势依然严峻，防控新冠肺炎疫情需常态化.为加大宣传力度，提高防控能力，某县疾控中心拟安排某 4 名医务人员到流动人口较多的某 3 个乡镇进行疫情防控督查，每个医务人员只去一个乡镇，每个乡镇至少安排一名医务人员，则不同的安排方法共有种第 2页，共 4页四、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分）17.（10 分）已知曲线()=13
5、3(1)求曲线在点(2,83)处的切线方程;(2)若曲线上某点的切线过点(0,23)，求该点坐标以及该点处的切线方程18.已知函数()=23 62 18+5()求函数()的单调区间；()若函数()=()+至多有两个零点，求实数的取值范围19.已知函数 =ln+2()求 的极小值；()已知函数 =+3 22 2，其中为常数且 0，若函数 在区间1,2上为单调增函数，求实数的取值范围20.已知函数(1)求函数()的极值;(2)若函数，求证：当 2 时，()()21.已知函数()=2ln，()=3e 5e，其中是自然对数的底数()求函数()在区间,4上的最小值；()求证：对任意，(0,+)，都有()
6、()成立22.设函数()=1 ()证明：，()；()令()=(1 ()()求()的最大值；()如果1 2，且(1)=(2)，证明：1+2 2xexxf1)()4()(xfxg第 3页，共 4页莱芜四中 52 级高二下学期第一次质量检测 数学试题答案1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.714.615.(2,2)16.3617.解：(1)由题意，得()=2，所以(2)=4，从而曲线在点(2,83)处的切线方程为 83=4(2)，整理得=4 163(2)设切点为(0,13 03)，则点处的切线方程为 13 03=02(0)，整理得=02 23 03，再将点(0,23)代入方程
7、，解出0=1，从而切点的坐标为(1,13)，该点处的切线方程为=23【解析】本题考查利用导数求解切线方程属于基础题(1)由题意，得()=2，在把=2 代入后求出切线方程斜率，在根据点(2,83)得出切线方程即可，(2)先设(0,13 03)，再利用导数相关知识求解出点处的切线方程为 1303=02(0)，再将点(0,23)代入方程，解出0即可18.解答：()依题意：()=62 12 18=6(3)(+1)故当 (,1)时，()0，当 (1,3)时，()0所以函数()的单调增区间为(,1)和(3,+)，单调减区间为(1,3)()令()=0,得=()因为(1)=15，(3)=49，所以函数()=(
8、)+至多有两个零点可转化为曲线=()与直线=至多有两个交点。结合图象可知，15 或 49，即实数的取值范围为(,15 49,+)【解析】本题考查利用导数求解函数的单调区间以及零点问题，属于简单题()求 f(x)及函数 f(x)的定义域，由 f(x)0 及 f(x)0，则 2，令()0，则 0 0)，因为()在区间1,2上是增函数，所以在区间1,2上()0 恒成立，即3 4+1 0 在区间1,2上恒成立，即3 4 1在区间1,2上恒成立，即3 (4 1)，其中 1 2令()=4 1(1 2)，易知函数()在区间1,2上单调递增，所以()=(2)=4 2 12=152，所以3 152，所以 0 2
9、 时，2 4，从而，()在(2,+)上是增函数当 2 时，()()成立【解析】本题考查利用导数研究函数的极值及利用导数证明不等式成立，考查计算求解能力，属于中档题目(1)求出 f(x)，判断出 f(x)的单调性，得出 f(x)的极值；(2)令，求导得出 F(x)的单调性，故，即可得证不等式成立21.【答案】解：()由题意得，函数()的定义域为(0,+)，()=2(ln+1)令()0，解得 0 0，解得 1，函数()在(0,1)上单调递减，在(1,+)上单调递增，函数()在,4上单调递增，又()=2，函数()在区间,4上的最小值为 2()由()知函数()在=1处取得最小值，即()min=(1)=
10、2，()2()=3 5，则()=33 易得函数()在(0,1)上单调递增，在(1,+)上单调递减，函数()在=1 处取得最大值，即()max=(1)=2，()2，对任意，(0,+)，都有()()成立【解析】本题考查了利用导数研究函数的单调性与最值，考查了学生的逻辑推理能力与运算求解能力()由 f(x)=2xlnx，得 f(x)=2lnx+2.由此能求出函数 f(x)在区间e,4上的最小值()由 f(x)=2xlnx(x (0,+)在 x=1e时取得最小值，知 f(m)2e.由 g(x)=3xex 5e，得 g(x)=33xex.所以函数 g(x)(x 0)在 x=1 时取得最大值2e，由此能够
11、证明对任意 m，n (0,+)，都有 f(m)g(n)成立22.【答案】证明：()要证明 ，()，只要证 1 ，只要证 1 ，只要证 1+，构造函数：()=1，则对()求导得：()=1当 0 时，()0，()是增函数，当 0 时，()1 时，()0，()单调递减；当 0，()单调递增；所以()=在(,1)内是增函数，在(1,+)内是减函数，=1 是函数()的唯一极大值点则()max=(1)=1；方法二：结论代换法，由()知：1+，则 1+1 ，即 1恒成立，()max=1；()因为1 2，且(1)=(2)，所以由()图像可知不妨设 0 1 1 1)，则 2=1 1+2=ln，所以1=ln1,2
12、=ln1，则1+2=+1 ln1，要证1+2 2，只要证 ln 2(1)+1 0(1)，构造新函数()=ln 2(1)+1(1)，则()=1 4(+1)2=(1)2(+1)2 0，所以()在(1,+)上单调递增，因此当 1 时，ln 2(1)+1 1 0=0 恒成立，所以1+2 2 得证【解析】本题考查利用导数研究单调性、最值以及恒成立问题，属于难题()要证明 x R，f(x)x，只要证 1+x ex恒成立，构造函数，利用导数证明即可；()(i)方法一：得到(x)的解析式，利用导数求出(x)的最大值即可；方法二：利用()的结论直接求解即可；(ii)构造新函数，则只需证明 m(t)=lnt 2(t1)t+1 0(t 1)即可