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2012届高三数学二轮复习全套精品系列之:专题二:分类讨论思想.doc

1、【专题二】分类讨论思想【考情分析】分类讨论是解决问题的一种逻辑方法,也是一种数学思想,这种思想对于简化研究对象,发展人的思维有着重要帮助,因此,有关分类讨论的数学命题在高考试题中占有重要位置。所谓分类讨论,就是当问题所给的对象不能进行统一研究时,就需要对研究对象按某个标准分类,然后对每一类分别研究得出每一类的结论,最后综合各类结果得到整个问题的解答.实质上,分类讨论是“化整为零,各个击破,再积零为整”的数学策略.分类讨论思想是一种重要的数学思想,它在人的思维发展中有着重要的作用,因此在近几年的高考试题中,他都被列为一种重要的思维方法来考察。分类讨论是每年高考必考的内容,预测2011年高考对本专

2、题的考察为:将有一道中档或中档偏上的题目,其求解思路直接依赖于分类讨论,特别关注以下方面:涉及指数、对数底的讨论,含参数的一元二次不等式、等比数列求和,由求等。【知识交汇】分类讨论是一种重要的数学思想方法,当问题的对象不能进行统一研究时,就需要对研究的对象进行分类,然后对每一类分别研究,给出每一类的结果,最终综合各类结果得到整个问题的解答。1分类讨论思想就是依据一定的标准,对问题分类、求解,要特别注意分类必须满足互斥、无漏、最简的原则。有关分类讨论的数学问题需要运用分类讨论思想来解决,引起分类讨论的原因大致可归纳为如下几种:(1)涉及的数学概念是分类讨论的;如绝对值|a|的定义分a0、a0、a

3、2时分a0、a0和a0) ,圆半径|ON|=1,|MN|2=|MO|2-|ON|2=|MO|21,设点M的坐标为(x,y),则,整理得:,经检验,坐标适合这个方程的点都属于集合P,故这个方程为所求的轨迹方程。当=1时,方程化为 ,它表示一条直线,该直线与x轴垂直且交x轴于点;当1时,方程化为,它表示圆,该圆圆心的坐标为 ,半径为。点评:本题在求出轨迹方程之后,在判定为何曲线时,因参数引起了分类讨论:一些问题中的数学表达式中因含有会导致不同结论的参数,从而需对参数分情况讨论,求得问题的结果。题型4:不等式中分类讨论问题例7解不等式0 (a为常数,a)分析:含参数的不等式,参数a决定了2a1的符号

4、和两根4a、6a的大小,故对参数a分四种情况a0、a0、a0、a0时,a; 4a0 。所以分以下四种情况讨论:当a0时,(x4a)(x6a)0,解得:x6a;当a0时,x0,解得:x0;当a0,解得: x4a;当a时,(x4a)(x6a)0,解得: 6ax0时,x6a;当a0时,x0;当a0时,x4a;当a时,6ax0或a0,因为这两种情形下,不等式解集形式是不同的;不等式的解是在两根之外,还是在两根之间。而确定这一点之后,又会遇到1与谁大谁小的问题,因而又需作一次分类讨论。故而解题时,需要作三级分类。题型5:数列中分类讨论问题例9(2011天津理20)已知数列与满足:, ,且()求的值;()

5、设,证明:是等比数列;(III)设证明:本小题主要考查等比数列的定义、数列求和等基础知识,考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法.满分14分.(I)解:由 可得又(II)证明:对任意,得将代入,可得,即又因此是等比数列.(III)证明:由(II)可得,于是,对任意,有将以上各式相加,得即,此式当k=1时也成立.由式得从而所以,对任意,对于n=1,不等式显然成立.所以,对任意点评:数列证明中的数学归纳法是一个需要牢记的分类递进推理过程,证明格式相对严格、规范。例10(2010四川理数)已知数列an满足a10,a22,且对任意m、nN*都有a2m1a2n12amn

6、12(mn)2()求a3,a5;()设bna2n1a2n1(nN*),证明:bn是等差数列;()设cn(an+1an)qn1(q0,nN*),求数列cn的前n项和Sn。解:(1)由题意,零m2,n1,可得a32a2a126,再令m3,n1,可得a52a3a1820。(2)当nN *时,由已知(以n2代替m)可得:a2n3a2n12a2n18。于是a2(n1)1a2(n1)1(a2n1a2n1)8,即 bn1bn8。所以bn是公差为8的等差数列(3)由(1)(2)解答可知bn是首项为b1a3a16,公差为8的等差数列则bn8n2,即a2n+=1a2n18n2另由已知(令m1)可得:an-(n1)

7、2.那么an1an2n12n12n于是cn2nqn1.当q1时,Sn2462nn(n1)当q1时,Sn2q04q16q22nqn1.两边同乘以q,可得 qSn2q14q26q32nqn.上述两式相减得 (1q)Sn2(1qq2qn1)2nqn22nqn2,所以Sn2综上所述,Sn。点评:等比数列的求和公式只适合于,特别公比中含参数时,需要分类讨论。题型6:三角函数与三角形中分类讨论问题例11解析:, ; ;这与三角形的内角和为180相矛盾。, ,因此,只要根据已知条件,求出cosA,sinB即可得cosC的值。但是由sinA求cosA时,是一解还是两解?这一点需经过讨论才能确定,故解本题时要分

8、类讨论。对角A进行分类。例12若函数f(x)=a+bcosx+csinx的图象经过点(0,1)和时,|f(x)|2恒成立,求实数a的取值范围。解析:f(x)经过点(0,1)和f(x)=a+(1-a)cosx+(1-a)sinx=a+(1-a)(sinx+cosx),。(1)a0,要使-2f(x)2,恒成立,只要,即。;(2)a=1时,(3)a1时,1-a8,a=8,a8,根据条件,逐一讨论,使问题得以解决【思维总结】分类讨论是一种重要的数学思想,也是一种重要的解题策略,它可以将整体化为局部,将复杂问题化为单一问题,以便于“各个击破”。但由于分类讨论一般过程较为冗长,叙述较为烦琐,且极易在完备上

9、造成失误,因此它并非一定是解决问题的上策或良策,我们提倡在熟悉和掌握分类思想的同时,要注意克服思维定势,处理好“分”与“合”,“局部”与“整体”之间的辨证统一关系,充分挖掘求解问题中潜在的特殊性与简单性,尽可能地简化或避免分类讨论。下面结合一些实例,谈谈简化分类讨论的常用策略。消去参数、整体换元、反客为主、补集分析、整体变形、借助图解。 1对于分类讨论题不要急于直接进行分类讨论,首先应认真审查题目的特点,考虑是否可以你用合适的公式、法则,能否进行某中变形,可否改变常规的思维方式和解题策略,即能否消除或掩盖“讨论基因”,若能,则可以避免进行繁杂的分类讨论;若不能,可否先作某些等价变换,使讨论推迟

10、得来,这种延迟讨论有时也是一种简化和一种进步。当然,有些问题,你通过了一番试验,仍无法作到完全回避讨论或延迟讨论,这可能是“不可避免的直接讨论型”问题,这是我们就应遵循分类讨论的原则去攻克它。2实际应用题(排列组合)中分类讨论往往带有隐蔽性,理解题意,抓住限制条件,准确把握分类对象和标准是解决问题的关键。如果发现多种分类途径,则应加强比较,从中选择最为合理的分类途径。3分类的原则是不重复不遗漏,即将讨论的对象分为若干类时,其并集为全集,两两的交集为空集。4分类对象,即使问题变换不定的变动因素;分类的标准,即使变换不定的问题转化为相对稳定问题的分类界值,分类对象和分类标准的确定,应通过识别问题情景来完成。5应该注意的是,在运用时,不要盲目或机械地进行分类讨论,有的题目虽然含有分类因素,但不要急于分类讨论,要首先对问题作深入的研究,充分挖掘题目的已知量与未知量之间的关系,寻求正确的解题策略,则可以简化分类讨论的步骤或避免不必要的分类讨论,使解题更简单。.精品资料。欢迎使用。高考资源网w。w-w*k&s%5¥u高考资源网w。w-w*k&s%5¥u

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