1、23.2等比数列的通项公式明目标、知重点1.了解等比数列通项公式推导的过程，能熟练应用等比数列的通项公式.2.熟悉等比数列的有关性质.3.系统了解判断是否成等比数列的方法1等比数列的通项公式一般地，对于等比数列an的第n项an，有公式ana1qn1.这就是等比数列an的通项公式，其中a1为首项，q为公比2等比数列的第二通项公式等比数列的通项公式为ana1qn1，推广形式为anamqnm(n，mN*)3等比数列的性质(1)如果mnkl，则有amanakal；(2)如果mn2k，则有amana；(3)若m，n，p成等差数列，则am，an，ap成等比数列；(4)在等比数列an中，每隔k项(kN*)取
2、出一项，按原来的顺序排列，所得的新数列仍为等比数列；(5)如果an，bn均为等比数列，且公比分别为q1，q2，那么数列，anbn，|an|仍是等比数列，且公比分别为，q1q2，|q1|；(6)等比数列的项的对称性：在有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a1ana2an1akank1.情境导学在等差数列an中，我们学习了通项公式，并且通项公式可推广为aman(mn)d.，并且若mnpq，则anamapaq(n，m，p，qN*)，特别地，若mn2p，则anam2ap.那么，在等比数列中又如何呢？这就是本节研究的主要内容探究点一等比数列的通项公式思考1如果等比数列an的
3、首项为a1，公比为q，你能用归纳的方法给出数列an的通项公式吗？答根据等比数列的定义知：a1a1q0，a2a1q，a3a2qa1q2，a4a3qa1q3，a5a4qa1q4，一般地，有ana1qn1.思考2如何证明等比数列的通项公式？答因为an是等比数列，所以当n2时，有q，q，q，q.将上面n1个等式的左、右两边分别相乘，得qn1，化简得qn1，即ana1qn1.当n1时，上面的等式也成立ana1qn1(nN*)思考3已知等比数列an的前三项依次为a1，a1，a4，则an等于什么？为什么？答an等于4()n1，由已知(a1)2(a1)(a4)，得a5，则a14，q，an4()n1.小结(1)
4、等比数列的通项公式为ana1qn1(nN*)，不要把an错误地写成ana1qn；(2)对于公比q，要强调它是“从第2项起，每一项与它的前一项的比”防止把相邻两项的比的次序颠倒；(3)公比q是任意非零常数，可正可负；(4)首项和公比均不为0.例1在等比数列an中，(1)已知a13，q2，求a6；(2)已知a320，a6160，求an.解(1)由等比数列的通项公式，得a63(2)6196.(2)设等比数列的公比为q，那么解得所以ana1qn152n1.反思与感悟已知等比数列an的某两项的值，求该数列的其他项或求该数列的通项常用方程思想，通过已知可以得到关于a1和q的两个方程，从而解出a1和q，再求
5、其他项或通项跟踪训练1在243和3中间插入3个数，使这5个数成等比数列解设插入的三个数为a2，a3，a4，由题意知243，a2，a3，a4,3成等比数列设公比为q，则3243q51，解得q.因此，所求三个数为81,27,9或81,27，9.思考4如果一个数列an的通项公式为ana1qn，其中a1，q都是不为0的常数，那么这个数列一定是等比数列吗？为什么？答一定是等比数列，因为ana1qn(a1q)qn1，所以该数列为首项为a1q，公比为q的等比数列探究点二等比数列的判断方法思考1判断或证明一个数列是等比数列的常用方法有哪些？答(1)定义法：q(常数)；(2)等比中项法：aanan2(an0，n
6、N*)；(3)通项法：ana1qn1(a1q0，nN*)思考2如何判断或证明一个数列不是等比数列？答如果判断或证明一个数列不是等比数列，只要找到连续的三项不成等比数列即可，即存在，1，2，且12.例2已知an、bn是项数相同的等比数列，求证：anbn，can(c为非零常数)是等比数列证明设数列an的首项是a1，公比为p；数列bn的首项为b1，公比q，那么数列anbn的第n项与第n1项分别为a1pn1b1qn1与a1pnb1qn，即为a1b1(pq)n1与a1b1(pq)n.因pq.它是一个与n无关的常数，所以anbn是一个以pq为公比的等比数列同理可证can(c为非零常数)也是等比数列反思与感
7、悟利用等比数列的定义q(q0)是判断一个数列是等比数列的基本方法要判断一个数列不是等比数列，举一组反例即可，例如aa1a3.跟踪训练2若数列an为等比数列，公比为q，且an0，bnlg an，试问数列bn是什么数列？并证明你的结论解数列bn是等差数列证明如下：bn1bnlg an1lg anlg lg q(常数)bn是公差为lg q的等差数列探究点三等比数列的性质思考1类比等差数列通项公式的推广，你能得出等比数列通项公式推广的结论吗？答在等比数列中，由通项公式ana1qn1，得qnm，所以anamqnm(n，mN*)思考2在等比数列an中，aa1a9是否成立？aa3a7是否成立？aan2an2
8、(n2)是否成立？答a5a1q4，a9a1q8，a1a9aq8(a1q4)2a，aa1a9成立同理aa3a7成立由ana1qn1，an2a1qn3，an2a1qn1，an2an2a1qn3a1qn1aq2n2(a1qn1)2a，aan2an2(n2)成立思考3由思考2你能得到等比数列更一般的结论吗？该结论如何证明？答一般地，在等比数列an中，若mnst，则有amanasat(m，n，s，tN*)证明：ama1qm1，ana1qn1，amanaqmn2，同理，asataqst2，mnst，amanasat.思考4在等比数列an中，若mn2k，如何证明amana(m，n，kN*)?答ama1qm1
9、，ana1qn1，amanaqmn2，aka1qk1，aaq2k2.mn2k，amana.思考5公比q0且q1时，等比数列呈现怎样的特点？答当a10，q1时，等比数列是递增数列；当a10,0q1时，等比数列是递减数列；当a11时，等比数列是递减数列；当a10,0q0，a2a42a3a5a4a625，求a3a5；(2)若an0，a5a69，求log3a1log3a2log3a10的值解(1)a2a42a3a5a4a6a2a3a5a(a3a5)225，an0，a3a50，a3a55.(2)根据等比数列的性质a5a6a1a10a2a9a3a8a4a79.a1a2a9a10(a5a6)595.log3
10、a1log3a2log3a10log3(a1a2a9a10)log3955log3910.反思与感悟利用等比数列的第二通项公式anamqnm及等比数列的性质，不难得出等比数列另外一些性质：(1)an为有穷等比数列，则与首末两项等距离的两项之积都相等，且等于首末两项之积；(2)下标成等差数列且公比为q的等比数列中，项ak，akm，ak2m，(k，mN*)组成公比为qm的等比数列跟踪训练3在各项均为正数的等比数列an中，若a3a54，则a1a2a3a4a5a6a7_.答案128解析a3a5a4，an0，a42.a1a2a3a4a5a6a7(a1a7)(a2a6)(a3a5)a4432128.1在等
11、比数列an中，a28，a564，则an_.答案2n1解析由a5a2q3，得q38，所以q2.所以ana2qn282n22n1.2在等比数列an中，an0，且a1a1027，log3a2log3a9_.答案3解析因为a2a9a1a1027，log3a2log3a9log3273.3公比为2的等比数列an的各项都是正数，且a2a1216，则a5_.答案1解析a2a1216，a16，a74a522，a51.4已知an2n3n，判断数列an是不是等比数列？解不是等比数列a121315，a2223213，a3233335，a1a3a，数列an不是等比数列呈重点、现规律1等比数列的判断或证明(1)利用定义
12、：q(与n无关的常数)(2)利用等比中项：aanan2(nN*)2如果证明数列不是等比数列，可以通过具有三个连续项不成等比数列来证明3巧用等比数列的性质，减少计算量，这一点在解题中也非常重要一、基础过关1已知各项均为正数的等比数列an中，lg(a3a8a13)6，则a1a15_.答案10 000解析lg(a3a8a13)lg a6，a106a8102100.又a1a15a10 000.2等比数列an的各项为正数，且a5a6a4a718，则log3a1log3a2log3a10等于()A12 B10C8 D2log35答案B解析由等比数列的性质可知，a5a6a4a7a1a10.所以a5a6a4a
13、72a1a1018.所以a1a109.所以log3a1log3a2log3a10log3(a1a2a3a10)log3(a1a10)510.3在等比数列an中，a11，公比|q|1.若ama1a2a3a4a5，则m_.答案11解析在等比数列an中，a11，ama1a2a3a4a5aq10q10.ama1qm1qm1，m110，m11.4已知a，b，c，d成等比数列，且曲线yx22x3的顶点是(b，c)，则ad_.答案2解析y(x1)22，b1，c2.又a，b，c，d成等比数列，adbc2.5设数列an为公比q1的等比数列，若a4，a5是方程4x28x30的两根，则a6a7_.答案18解析由题意
14、得a4，a5，q3.a6a7(a4a5)q2()3218.6已知等差数列an的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2_.答案6解析由题意知，a3a14，a4a16.a1，a3，a4成等比数列，aa1a4，(a14)2(a16)a1，解得a18，a26.7有四个数，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，首末两项和为21，中间两项和为18，求这四个数解设这四个数分别为x，y,18y,21x，则由题意得，解得或故所求的四个数为3,6,12,18或，.二、能力提升8已知各项均为正数的等比数列an中，a1a2a35，a7a8a910，则a4a5a6_.答案5解析a1a2a3a5，a2.a7a8
15、a9a10，a8.aa2a8，又数列an各项均为正数，a5.a4a5a6a5.9已知等比数列an中，各项都是正数，且a1，a3,2a2成等差数列，则_.答案32解析设等比数列an的公比为q，a1，a3,2a2成等差数列，a3a12a2，a1q2a12a1q，q22q10，q1.an0，q0，q1.q2(1)232.10已知等比数列an中，有a3a114a7，数列bn是等差数列，且b7a7，则b5b9_.答案8解析由等比数列的性质得a3a11a，a4a7.a70，a74.b7a74.再由等差数列的性质知b5b92b78.11等差数列an的前n项和为Sn，已知S3a，且S1，S2，S4成等比数列，
16、求an的通项公式解设an的公差为d.由S3a，得3a2a，故a20或a23.由S1，S2，S4成等比数列，得SS1S4.又S1a2d，S22a2d，S44a22d，故(2a2d)2(a2d)(4a22d)若a20，则d22d2，所以d0，此时Sn0，不合题意；若a23，则(6d)2(3d)(122d)，解得d0或d2.因此an的通项公式为an3或an2n1.12已知an是首项为19，公差为2的等差数列，Sn为an的前n项和(1)求通项公式an及Sn；(2)设bnan是首项为1，公比为3的等比数列，求数列bn的通项公式解(1)因为an是首项为19，公差为2的等差数列，所以an192(n1)2n2
17、1，即an2n21；Sn19n(2)n220n，即Snn220n.(2)因为bnan是首项为1，公比为3的等比数列，所以bnan3n1，即bn3n1an3n12n21.三、探究与拓展13互不相等的三个数之积为8，这三个数适当排列后可成为等比数列，也可排成等差数列，求这三个数解设三个数为，a，aq，a38，即a2，三个数为，2，2q.(1)若2为和2q的等差中项，则2q4，q22q10，q1，与已知矛盾；(2)若2q为与2的等差中项，则12q，2q2q10，q或q1(舍去)，三个数为4，2,1；(3)若为2q与2的等差中项，则q1，q2q20，q2或q1(舍去)，三个数为1，2,4.综合(1)(2)(3)可知，这三个数为4，2,1.
