1、明目标、知重点1.利用正、余弦定理解决生产实践中的有关距离的测量问题.2.利用正、余弦定理解决生产实践中的有关高度的测量问题.3.利用正、余弦定理解决生产实践中的有关角度的测量问题.4.培养学生提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力，并激发学生的探索精神1仰角与俯角与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角，如图2方位角和方向角从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角叫方位角，方位角的范围是0，360从指定方向线到目标方向线所成的小于90的水平角叫方向角，如北偏东30，南偏东45.3坡角与坡度坡面与水平面所成的二面角叫
2、坡角，坡面的铅直高度与水平宽度之比叫坡度(tan )如图情境导学现实生活中，人们经常遇到测量不可到达点之间的距离、底部不可到达建筑物的高度，以及在航海中航向的确定这些问题究竟怎样解决？恰当利用我们所学过的正弦定理、余弦定理就可以解决上述问题，这节课我们就来探究上述问题探究点一测量底部不能到达的建筑物的高度问题如图，在北京故宫的四个角上各矗立着一座角楼，如何通过测量，求得角楼的高度？ 思考1如图，设线段AB表示角楼的高度，在宫墙外护城河畔的马路边，选位置C，设CC为测量仪器的高，过点C的水平面与AB相交于点B，由测点C对角楼进行测量，你认为通过测量的数据能求出角楼的高度吗？答可测得点A的仰角的大
3、小在ABC中，三条边的长度都无法测出，因而AB无法求得思考2如图，如果移动测量仪 CC到DD(测量仪高度不变)，想想看，我们能测得哪些数据，使问题得以解决？ 答如图所示，在点B，C，D构成的三角形中，可以测得和的大小，又可测得CD的长，这样，我们就可以根据正弦定理求出边BC的长，从而在RtABC中，求出AB的长使得问题得到解决思考3某校用自制的仪器，测得20，99，45，CD60 m，测量仪器的高是1.5 m，试求出故宫角楼的高度(精确到0.1 m)解在BCD中，由正弦定理，得，因此BC72.17.在ABC中 ，ABBCtan 72.17tan 2026.3 (m)因此ABABBB26.31.
4、527.8 (m)答故宫角楼的高约为27.8 m.反思与感悟在运用正弦定理、余弦定理解决实际问题时，通常都根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得出实际问题的解和高度有关的问题往往涉及直角三角形的求解跟踪训练1某登山队在山脚A处测得山顶B的仰角为35，沿倾斜角为20的斜坡前进1 000米后到达D处，又测得山顶的仰角为65，则山的高度为_ m(精确到1 m)答案811解析如图，过点D作DEAC交BC于E，因为DAC20，所以ADE160，于是ADB36016065135.又BAD352015，所以ABD30.在ABD中，由正弦定理，AB1 000(m)在RtABC中
5、，BCABsin 35811(m)答山的高度约为811 m.探究点二测量地面上两个不能到达点之间的距离例2设A、B是两个海岛，如何测量它们之间的距离？分析如图，A、B分别是两个海岛上接近海面的两处标志性设施，如果旋转一个测点C，那么在ABC中只能测得ACB的大小，问题不能得到解决因此需要再选择一个测点D，构造一个能测出其一条边长的BCD.要求出AB，还应先求出AC和BC，为此应先解决ACD和BCD.解如图，在海边适当选取两个测点C，D，使A，B，C，D在一个平面内，测得CDa，ACB，ADC，BCD，BDC.在BCD中，由正弦定理，得，即BC.在ACD中，A180()，由正弦定理，得AC.在A
6、BC中，由余弦定理，得AB2BC2AC22BCACcos ，把BC、AC代入上式即可求出AB.反思与感悟解决实际测量问题的过程一般要充分理解题意，正确作出图形，把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角，通过建立数学模型来求解跟踪训练2如下图，A、B两点都在河的对岸(不可到达)，若在河岸选取相距40米的C、D两点，测得BCA60，ACD30，CDB45，BDA60，那么此时A、B两点间的距离是多少？解应用正弦定理得AC20(1)(米)，BC40(米)在ABC中，由余弦定理得AB20(米)1如图，在河岸AC上测量河的宽度BC，测量下列四组数据，较适宜的是()Aa，c，Bb，c，C
7、c，a，Db，答案D解析由、b，可利用正弦定理求出BC.2某人向东方向走了x千米，然后向右转120，再朝新方向走了3千米，结果他离出发点恰好千米，那么x的值是_答案4解析由余弦定理：x293x13，整理得：x23x40，解得x4.3甲、乙两楼相距20米，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30，则甲、乙两楼的高分别是_答案20米、米解析甲楼的高为20tan 602020(米)；乙楼的高为2020tan 302020(米)4.如图所示，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在A所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，ACB45，CAB105，则A、B两点的距离为
8、_ m.答案50解析由题意知ABC30，由正弦定理，AB50 (m)5江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水面上，由炮台顶部测得俯角分别为45和30，而且两条船与炮台底部连线成30角，则两条船相距_ m.答案30解析设两条船所在位置分别为A、B两点，炮台底部所在位置为C点，在ABC中，由题意可知AC30(m)，BC(m)30，C30，AB2(30)230223030cos 30900，所以AB30(m)呈重点、现规律1运用正弦定理就能测量“一个可到达点与一个不可到达点间的距离”，而测量“两个不可到达点间的距离”要综合运用正弦定理和余弦定理无论测量“底部不能到达的建筑物的高
9、度”，还是测量“两个不可到达点间的距离”都需要在两个点上分别测量，并且都需要测量出两点的距离2正、余弦定理在实际测量中的应用的一般步骤：(1)分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图；(2)建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型；(3)求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解；(4)检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解一、基础过关1海上有A、B两个小岛相距10 n mile，从A岛望C岛和B岛成60的视角，从B岛望C岛和A岛成75的视角，则B、C间的距离是()A10 n mile B.
10、 n mileC5 n mile D5 n mile答案D解析在ABC中，C180607545.由正弦定理得，解得BC5 (n mile)2甲骑电动车以24 km/h的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A处望见电视塔S在电动车的北偏东30方向上，15 min后到点B处望见电视塔在电动车的北偏东75方向上，则电动车在点B时与电视塔S的距离是()A6 km B3 km C3 km D3 km答案C解析由题意知，AB246(km)，BAS30，ASB753045.由正弦定理，得BS3(km)3如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60，再由点C沿北
11、偏东15方向走10 m到位置D，测得BDC45，则塔AB的高是()A10 m B10 mC10 m D10 m答案D解析在BCD中，CD10 m，BDC45，BCD1590105，DBC30，由正弦定理，得，BC10(m)在RtABC中，tan 60，ABBCtan 6010(m)4在某个位置测得某山峰仰角为，对着山峰在地面上前进600 m后测得仰角为2，继续在地面上前进200 m以后测得山峰的仰角为4，则该山峰的高度为()A200 m B300 m C400 m D100 m答案B解析方法一如图，BED，BDC为等腰三角形，BDED600 m，BCDC200 m.在BCD中，由余弦定理可得c
12、os 2，230，460.在RtABC中，ABBCsin 4200300(m)，故选B.方法二由于BCD是等腰三角形，BDDCcos 2，即300200cos 2.cos 2，230，460.在RtABC中，ABBCsin 4200300(m)，故选B.5.如图所示，为了测定河的宽度，在一岸边选定两点A、B，望对岸标记物C，测得CAB30，CBA75，AB120 m，则河的宽度为_答案60 m解析在ABC中，CAB30，CBA75，ACB75.ACBABC.ACAB120(m)如图，作CDAB，垂足为D，则CD即为河的宽度由正弦定理得，CD60(m)河的宽度为60 m.6地平面上一旗杆设为OP
13、，为测得它的高度h，在地平面上取一基线AB，AB200 m，在A处测得P点的仰角为OAP30，在B处测得P的仰角OBP45，又测得AOB60，求旗杆的高h.解如图OPh，OAP30，OBP45，AOB60，AB200 m.在AOP中，OPOA，AOP90，则OAh，同理，在BOP中，BOP90，且OBP45，OBOPh.在OAB中，由余弦定理得AB2OA2OB22OAOBcosAOB，即20023h2h22h2cos 60，解得h.答旗杆高为 m.7我炮兵阵地位于地面A处，两观察所分别位于地面点C和D处，已知CD6 km，ACD45，ADC75，目标出现于地面点B处时，测得BCD30，BDC1
14、5(如图)，求我炮兵阵地到目标的距离解在ACD中，CAD180ACDADC60，ACD45，根据正弦定理，有ADCD，同理：在BCD中，CBD180BCDBDC135，BCD30，根据正弦定理，有BDCD，在ABD中，ADBADCBDC90，根据勾股定理，有ABCDCD(km)，所以我炮兵阵地到目标的距离为 km.二、能力提升8某人在C点测得某塔在南偏西80，塔顶仰角为45，此人沿南偏东40方向前进10 m到D，测得塔顶A的仰角为30，则塔高为()A15 m B5 mC10 m D12 m答案C解析如图，设塔高为h，在RtAOC中，ACO45，则OCOAh.在RtAOD中，ADO30，则ODh
15、.在OCD中，OCD120，CD10，由余弦定理得OD2OC2CD22OCCDcosOCD，即(h)2h21022h10cos 120，h25h500，解得h10或h5(舍)9要测量底部不能到达的东方明珠电视塔的高度，在黄浦江西岸选择甲、乙两观测点，在甲、乙两点分别测得塔顶的仰角分别为45，30，在水平面上测得电视塔与甲地连线及甲、乙两地连线所成的角为120，甲、乙两地相距500 m，则电视塔在这次测量中的高度是()A100 m B400 m C200 m D500 m答案D解析由题意画出示意图，设高ABh，在RtABC中，由已知BCh，在RtABD中，由已知BDh，在BCD中，由余弦定理BD
16、2BC2CD22BCCDcosBCD得，3h2h25002h500，解之得h500(m)故选D.10如图所示，在高出地面30 m的小山顶上建造一座电视塔CD，今在距离B点60 m的地面上取一点A，若测得CAD45，求此电视塔的高度解设CDx m，BAC，则ABC中，tan .又DAB45，tanDABtan(45)又tan(45)3.3，解得x150 m.所以电视塔的高度为150 m.11某人在塔的正东方沿着南偏西60的方向前进40 m以后，望见塔在东北方向若沿途测得塔的最大仰角为30，求塔的高度解如图，在BCD中，CD40 m，BCD906030，DBC4590135.由正弦定理，得 ，BD
17、20 (m)在RtABE中，tanAEB，AB为定值，故要使AEB最大，需要BE最小，即BECD，这时AEB30.在BCD中，BDE1801353015，BEBDsinBDE20sin 1510(1)(m)在RtABE中，ABBEtanAEB10(1)tan 30(3)(m)所以塔的高度为(3)m.三、探究与拓展12如图，A、B、C、D都在同一个与水平面垂直的平面内，B、D为两岛上的两座灯塔的塔顶测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75，30，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60，AC0.1 km.试探究图中B、D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B、D的距离(计算结果精确到0.01 km，1.414，2.449)解在ACD中，DAC30，ADC60DAC30，所以CDAC0.1.又BCD180606060，故CB是CAD底边AD的中垂线，所以BDBA.在ABC中，所以AB(km)，即BD0.33(km)故B、D的距离约为0.33 km.
