1、七校联合体2014-2015学年高二上联考试卷理科数学命题人：桂城中学 审题人：中山一中 测试范围：必修1必修5、选修2-1本试卷共4页，20小题，满分150分考试时间120分钟一、选择题 本大题共10小题，每小题5分，共40分1已知集合，则（ ） （A） （B） （C） （D）2已知都是实数，那么“”是“”的（ ）（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件3下列函数中，满足“对,当时，都有”的是（ ）（A） （B） （C） （D）4已知，则（ ） （A） （B） （C） （D）5已知的顶点在椭圆上，顶点是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在边上，
2、则的周长是（ ） （A） （B）6 （C） （D）126给出以下四个命题： 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面 如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直其中真命题的个数是（ ） （A）4 （B）3 （C）2 （D）17设是有正数组成的等比数列，为其前项和，已知，则（ ）（A） （B） （C） （D）8直线与抛物线交于两点，过两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为，则梯形的面积为（ ） （A）48 （B
3、）56 （C）64 （D）729设平面向量、的和，如果向量、，满足，且顺时针旋转后与同向，其中，则（ ） （A） （B） （C） （D）10在整数集中，被5除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，给出如下四个结论： ； ； ； “整数属于同一类”的充要条件是“” 其中，正确结论的个数是（ ）（A）1 （B）2 （C）3 （D）4二、填空题 本大题共4小题， 每小题5分，满分30分11设，式中变量满足下列条件，则的最大值为 12在中，角所对的边分别为，若，则 13若直线始终平分圆：的周长，则的最小值为 14已知为双曲线（，且）的两个焦点，为双曲线右支上异于顶点的任意一点，为坐标原点下面四
4、个命题（）的内切圆的圆心必在直线上； 的内切圆的圆心必在直线上；的内切圆的圆心必在直线上； 的内切圆必通过点其中真命题的代号是（写出所有真命题的序号）三、解答题 本大题共4小题，共50分解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程第15题图15（本小题12分）已知函数，（其中，），其部分图像如图所示，、分别为该图像的最高点和最低点，点的坐标为（1）求的最小正周期及的值；（2）若点的坐标为，求的值16（本小题12分）某市2014年4月1日4月30日对空气污染指数的监测数据如下（主要污染物为可吸入颗粒物）：61，76，70，56，81，91，92，91，75，81，88，67，101，103，95，91
5、，77，86，81，83，82，82，64，79，86，85，75， 71， 49，45（1）在答题卷上完成频率分布表；（2）在答题卷上作出频率分布直方图；（3）根据频率分布直方图求出空气污染指数的中位数17（本小题14分）已知圆内有一点，为过点的弦（1）当的倾斜角为时，求的长；（2）求的中点的轨迹方程ABCDEA1B1C1第18题图18（本小题14分）如图，在直三棱柱中，分别为的中点 （1）证明：平面； （2）设，求二面角的大小19（本小题14分）设数列的前项的和，（1）求首项与通项；（2）设，证明： 20（本小题14分）已知、分别为椭圆:的上、下焦点，其中也是抛物线的焦点，点是与在第二象限
6、的交点，且（1）求椭圆的方程；xyOF1F2M第20题图（2）已知，直线（）与相交于点D，与椭圆相交于、两点求四边形面积的最大值七校联合体高二级联考试卷理科数学评分标准一、选择题 本大题共8小题，每小题5分，共40分题号12345678910答案DABDCBBADC二、填空题 本大题共6小题， 每小题5分，满分30分11 12 13 14三、解答题 本大题共4小题，共50分解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程15解析：（1）由题意得，2分因为在的图象上，所以，3分又因为，所以5分（2）设点的坐标为，6分由题意可知，得，所以，7分（注：也可以根据周期求出点坐标）连接，在中，8分由余弦定理得，1
7、0分解得，又，所以12分16解析：（1）频率分布表： （2）频率分布直方图：（3）由频率分布直方图可知，前4个长方形的面积和为，则，解得，所以空气污染指数的中位数为12分（注：第（1）问4分；第（2）问6分；第（3）问2分；满分12分）17解析：（1）由题意得，圆心，半径当时，直线的斜率， 2分直线的方程为：，即，圆心到直线的距离为：，4分由垂径定理得，6分（2）法1：设点的坐标为， 7分若、三点不共线时，则， 9分即，化简得， （*） 11分若、重合时，即，则也满足上述方程（*） 12分若、重合时，即，则也满足上述方程（*） 13分综上所述，点的轨迹方程为（或）14分法2：设点的坐标为， 7
8、分当且时，由题意有，则， 9分又，化简得， （*） 11分当或时，点或或或均满足方程13分所以点的轨迹方程为 14分法3：设点的坐标为， 7分由题意有，则， 9分， 10分，化简得， 13分所以点的轨迹方程为 14分18解析：方法1：（综合法）（1）设为中点，连结，则，且，1分又，且，且，即四边形为平行四边形，3分ABCDEA1B1C1OF底面，底面，4分，为中点，又，5分平面，故平面6分（2）连结，过点作，垂足为，连结7分由可知为正方形，则， 平面，又平面，又，平面，又平面， 9分，又，平面，又平面， 11分为二面角的平面角 12分不妨设，则，所以二面角的大小为 14分方法2：（坐标法）（1
9、）设为中点，由知，以为正交基底建立如图的空间直角坐标系，ABCDEA1B1C1Ozxy设，则，又，故平面（2）由不妨设，则，即，又，平面，故平面的法向量可取又，即，又，平面，故平面的法向量可取，所以二面角的大小为14分19解析：（1）由， 得，当时， 2分将和相减得， 整理得， 4分因而数列是首项为，公比为4的等比数列，即，所以， 6分（2）将代入得， 8分所以， 11分所以 14分20解析：（1）方法1：由知，设，因在抛物线上，故， 又，则， ， 由解得，. 4分椭圆的两个焦点，点椭圆上，由椭圆定义得，又，椭圆的方程为. 6分方法2：由知，设，因在抛物线上，故， xyOF1F2M第20题图ABEF又,则， 由解得，. 4分而点椭圆上，故有，即， 又，则， 由可解得，椭圆的方程为 6分（2）由题，直线的方程为，即， 7分设，其中将代入中，可得，即， 8分点到直线的距离为， 同理，可得点到直线的距离为， 10分又，所以四边形面积 12分从而，当且仅当，即时，等号成立此时四边形面积的最大值为 14分