1、第2讲 基本初等函数、函数与方程 高考总复习大二轮 数 学(新高考)考情考向高考导航1掌握二次函数、分段函数、幂函数、指数函数、对数函数的图象性质2以基本初等函数为依托，考查函数与方程的关系、函数零点存在性定理3能利用函数解决简单的实际问题真题体验1(2018全国卷)已知函数 f(x)log2(x2a)若 f(3)1，则 a_.解析：f(x)log2(x2a)且 f(3)1，f(3)log2(9a)1，9a2，a7.答案：72(全国卷)已知函数 f(x)x22xa(ex1ex1)有唯一零点，则 a()A12 B.13C.12D1解析：C x22xa(ex1ex1)，设 g(x)ex1ex1，g
2、(x)ex1ex1ex1 1ex1e2x11ex1，当 g(x)0 时，x1，当 x1 时，g(x)0 函数单调递减，当 x1 时，g(x)0，函数单调递增，当 x1 时，函数取得最小值 g(1)2，设 h(x)x22x，当 x1 时，函数取得最小值1，若a0，函数 h(x)，和 ag(x)没有交点，当a0 时，ag(1)h(1)时，此时函数 h(x)和 ag(x)有一个交点，即a21a12，故选 C.3(2019全国卷)已知 alog20.2，b20.2，c0.20.3，则()AabcBacbCcabDbca解析：B alog20.2log210，b20.2201，0c0.20.30.201
3、，bca.选 B.4(2018全国卷)已知函数 f(x)ex，x0，ln x，x0，g(x)f(x)xa.若 g(x)存在 2 个零点，则 a 的取值范围是()A1,0)B0，)C1，)D1，)解析：C 令 g(x)f(x)xa0，则 f(x)xa，要使 g(x)存在 2 个零点，则需 yf(x)与 yxa 有两个交点，画出函数 f(x)和 yxa 的图象如图所示，则需a1，a1.主干整合1指数式与对数式的七个运算公式(1)amanamn；(2)(am)namn；(3)loga(MN)logaMlogaN；(4)logaMNlogaMlogaN；(5)logaMnnlogaM；(6)aloga
4、NN；(7)logaNlogbNlogba(注：a，b0 且 a，b1，M0，N0)2指数函数与对数函数的图象和性质指数函数 yax(a0，a1)与对数函数 ylogax(a0，a1)的图象和性质，分 0a1，a1 两种情况，当 a1 时，两函数在定义域内都为增函数，当 0a1 时，两函数在定义域内都为减函数3函数的零点问题(1)函数 F(x)f(x)g(x)的零点就是方程 f(x)g(x)的根，即函数yf(x)的图象与函数 yg(x)的图象交点的横坐标(2)确定函数零点的常用方法：直接解方程法；利用零点存在性定理；数形结合，利用两个函数图象的交点求解4应用函数模型解决实际问题的一般程序读题文
5、字语言建模数学语言求解数学应用反馈检验作答.热点一 基本初等函数的图象与性质例 1(1)(2019济南三模)若函数 ya|x|(a0，且 a1)的值域为y|y1，则函数 yloga|x|的图象大致是()解析 B 由于 ya|x|的值域为y|y1，a1，则 ylogax 在(0，)上是增函数，又函数 yloga|x|的图象关于 y 轴对称因此 yloga|x|的图象应大致为选项 B.(2)(2019郑州三模)已知 a(a1)0，若函数 f(x)log2(ax1)在(3，2)上为减函数，且函数 g(x)4x，x12，log|a|x，x12在 R 上有最大值，则 a 的取值范围为()A.22，12
6、B.1，12C.22，12D.22，0 0，12解析 A f(x)log2(ax1)在(3，2)上为减函数，a0，2a10，a12，a(a1)0，|a|12，1(1，)当 x12时，g(x)4x(0,2，又 g(x)4x，x12，log|a|x，x12在 R 上有最大值，则当 x12时，log|a|x2，且|a|12，1，log|a|122，|a|212，则|a|22，又 a12，22 a12.(3)(2019天津卷)已知 alog52，blog0.50.2，c0.50.2，则 a，b，c 的大小关系为()AacbBabcCbcaDcab解析 A 利用指数函数、对数函数的单调性时要根据底数与1
7、 的大小区别对待alog52log5 512，blog0.50.2log0.50.252，0510.50.20.50，故12c1，所以 acb.故选 A.基本初等函数的图象与性质的应用技巧(1)对数函数与指数函数的单调性都取决于其底数的取值，当底数 a 的值不确定时，要注意分 a1 和 0a1 两种情况讨论：当 a1 时，两函数在定义域内都为增函数；当 0a1 时，两函数在定义域内都为减函数(2)由指数函数、对数函数与其他函数复合而成的函数，其性质的研究往往通过换元法转化为两个基本初等函数的有关性质，然后根据复合函数的性质与相关函数的性质之间的关系进行判断(1)(2020银川模拟)若函数 yl
8、ogax(a0，且 a1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是()解析：B 函数 ylogax 过点(3,1)，1loga3，解得 a3，由于 y3x 不可能过点(1,3)，故选项 A 错误；由于 yx3 过定点(1,1)，故选项 B 正确；由于 y(x)3x3 不可能过点(1,1)，故选项 C 错误；由于 ylog3(x)不可能过点(3，1)，故选项 D 错误故选 B.热点二 函数的零点与方程的根确定函数零点的个数或其存在区间例 21(1)(2019南昌调研)函数 f(x)2x|log0.5x|1 的零点个数为()A1 B2C3 D4解析 B(1)函数 f(x)2x|log0.5x|1 的
9、零点个数即为函数 y|log0.5x|与 y12x图象的交点个数在同一坐标系中作出函数 y|log0.5x|与 y12x的图象，易知有 2 个交点(2)(2020兰州模拟)方程 ln(x1)2x0(x0)的根存在的大致区间是()A(0,1)B(1,2)C(2，e)D(3,4)解析 B 设 f(x)ln(x1)2x，易 f(1)ln(11)2ln 220，而 f(2)ln 310，所以函数 f(x)的零点所在区间为(1,2)所以 B 选项正确判断函数零点个数的方法(1)直接求零点：令 f(x)0，则方程解的个数即为零点的个数(2)利用零点存在性定理：利用该定理还必须结合函数的图象和性质(如单调性
10、)才能确定函数有多少个零点(3)数形结合法：对于给定的函数不能直接求解或画出图形，常会通过分解转化为两个能画出的函数图象交点问题根据零点情况求参数范围 例 2 2 (1)(2020 四 川 凉 山 诊 断)已 知 函 数 f(x)2xa，x0，3xa，x0(aR)，若函数 f(x)在 R 上有两个零点，则 a 的取值范围是()A(0,1 B1，)C(0,1)(1,2)D(，1)解析 A 函数f(x)2xa，x0，3xa，x0(aR)在 R上有两个零点，且 xa3是函数 f(x)的一个零点，方程 2xa0 在(，0上有一个解，再根据当 x(，0时，02x201，可得 0a1.故选 A.(2)(2
11、019山东济南三模)已知偶函数 f(x)满足 f(x1)1fx，且当 x1,0时，f(x)x2，若在区间1,3内，函数 g(x)f(x)loga(x2)有 3 个零点，则实数 a 的取值范围是_解析 偶函数 f(x)满足 f(x1)1fx，且当 x1,0时，f(x)x2，f(x2)f(x11)1fx1f(x)，函数 f(x)的周期为 2，在区间1,3内函数 g(x)f(x)loga(x2)有 3 个零点等价于函数 f(x)的图象与 yloga(x2)的图象在区间1,3内有 3 个交点当 0a1 时，函数图象无交点，数形结合可得 a1 且loga31，loga51，解得 3a5.答案(3,5)利
12、用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解(2)分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解(3)转化为两熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解(1)(2019武昌二模)已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且当 x(0，)时，f(x)2 018xlog2 018x，则函数 f(x)的零点个数为_解析：在同一直角坐标系中作出函数 y2 018x 和 ylog2 018x的图象如图所示，可知函数 f(x)2 018xlog2 018x 在 x(0，)上存在一个零点，又 f(x)是定义在 R 上的奇函数，f(x)在 x(，0)上只有一个零点，又
13、f(0)0，函数 f(x)的零点个数是 3.答案：3(2)(2020张家界模拟)已知函数 f(x)2x，x2，x322，x2，若关于 x 的方程 f(x)k0 有唯一一个实数根，则实数 k 的取值范围是_解析：画出函数 f(x)2x，x2，x322x，x2的图象如图所示，结合图象可以看出当 0k1 或 k2 时符合题设答案：0,1)(2，)热点三 函数的实际应用数学建模素养数学建模函数建模在实际问题中的妙用解函数的模型的实际应用题，首先应考虑该题考查的是何种函数，然后根据题意列出函数关系式(注意定义域)，并进行相关求解，最后结合实际意义作答读题文字语言建模数学语言求解数学应用反馈检验作答例 3
14、(1)(2020凉山诊断)某电脑公司在甲、乙两地各有一个分公司，甲分公司现有某型号电脑 6 台，乙分公司现有同一型号的电脑12 台现 A 地某单位向该公司购买该型号的电脑 10 台，B 地某单位向该公司购买该型号的电脑 8 台已知从甲地运往 A、B 两地每台电脑的运费分别是 40 元和 30 元从乙地运往 A、B 两地每台电脑的运费分别是 80 元和 50 元若总运费不超过 1 000 元，则调运方案的种数为()A1 B2C3 D4解析 C 设总运费为 y 元，甲地调运 x 台电脑至 B 地，则剩下(6x)台电脑调运至 A 地；乙地应调运(8x)台电脑至 B 地，调运12(8x)(x4)台电脑
15、(0 x6，xN)至 A 地则总运费 y30 x 40(6 x)50(8 x)80(x 4)20 x 960，y 20 x 960(0 x6，xN)若 y1 000，则 20 x9601 000，得 x2.又0 x6，xN.0 x2，xN.x0,1,2，即有 3 种调运方案(2)(2020湖南名校联考)某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量 P(毫克/升)与时间 t(小时)的关系为 PP0ekt.如果在前 5 小时消除了 10%的污染物，那么污染物减少 19%需要花费的时间为_小时解析 前 5 小时污染物消除了 10%，此时污染物剩下 90%，即t5 时，P0.9P0，则(
16、ek)50.9，ek5 0.90.915，PP0ektP00.915t.当污染物减少 19%时，污染物剩下 81%，此时 P0.81P0，代入得 0.810.915t，解得 t10，即需要花费 10 小时答案 10解决函数实际应用题的两个关键点(1)认真读题，缜密审题，准确理解题意，明确问题的实际背景，然后进行科学的抽象概括，将实际问题归纳为相应的数学问题(2)要合理选取参数变量，设定变量之后，就要寻找它们之间的内在联系，选用恰当的代数式表示问题中的关系，建立相应的函数模型，最终求解数学模型使实际问题获解(2019北京卷)在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述两颗星的星等与亮度满足 m2m152lgE1E2，其中星等为 mk 的星的亮度为 Ek(k1,2)已知太阳的星等是26.7，天狼星的星等是1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为()A1010.1B10.1Clg10.1 D1010.1解析：A 考查考生的数学应用意识、信息处理能力、阅读理解能力以及指数对数运算两颗星的星等与亮度满足 m2m152lgE1E2，令 m21.45，m126.7，lgE1E225(m2m1)25(1.4526.7)10.1，E1E21010.1，故选 A.
