1、第14练函数的极值与最值题型分析高考展望本部分内容为导数在研究函数中的一个重要应用，在高考中也是重点考查的内容，多在解答题中的某一问中考查，要求熟练掌握函数极值与极值点的概念及判断方法，极值和最值的关系体验高考1(2016四川改编)已知a为函数f(x)x312x的极小值点，则a等于_答案2解析f(x)x312x，f(x)3x212，令f(x)0，则x12，x22.当x(，2)，(2，)时，f(x)0，则f(x)单调递增；当x(2,2)时，f(x)0时，(x2)exx20；(2)证明：当a0,1)时，函数g(x)(x0)有最小值设g(x)的最小值为h(a)，求函数h(a)的值域(1)解f(x)的
2、定义域为(，2)(2，)f(x)0，当且仅当x0时，f(x)0，所以f(x)在(，2)，(2，)上单调递增所以当x(0，)时，f(x)f(0)1.所以(x2)ex(x2)，即(x2)exx20.(2)证明g(x)(f(x)a)由(1)知，f(x)a单调递增，对任意a0,1)，f(0)aa10，f(2)aa0.因此，存在唯一xa( 0,2，使得f(xa)a0，即g(xa)0.当0xxa时，f(x)a0，g(x)xa时，f(x)a0，g(x)0，g(x)单调递增因此g(x)在xxa处取得最小值，最小值为g(xa).于是h(a).由0，得y单调递增所以，由xa(0,2，得h(a).因为单调递增，对任
3、意，存在唯一的xa(0,2，af(xa)0,1)，使得h(a).所以h(a)的值域是.综上，当a0,1)时，g(x)有最小值h(a)，h(a)的值域是.3(2015安徽)设函数f(x)x2axb.(1)讨论函数f(sin x)在内的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值；(2)记f0(x)x2a0xb0，求函数|f(sin x)f0(sin x)|在上的最大值D；(3)在(2)中，取a0b00，求zb满足D1时的最大值解(1)f(sin x)sin2xasin xbsin x(sin xa)b，x.f(sin x)(2sin xa)cos x，x.因为x0，22sin x2.a2，bR时，函数
4、f(sin x)单调递增，无极值a2，bR时，函数f(sin x)单调递减，无极值对于2a2，在内存在唯一的x0，使得2sin x0a.xx0时，函数f(sin x)单调递减；x0x时，函数f(sin x)单调递增所以当2a2，bR时，函数f(sin x)在x0处有极小值f(sin x0)fb.(2)当x时，|f(sin x)f0(sin x)|(a0a)sin xbb0|aa0|bb0|.当(a0a)(bb0)0时，取x，等号成立当(a0a)(bb0)0时，取x，等号成立由此可知，|f(sin x)f0(sin x)|在上的最大值为D|aa0|bb0|.(3)D1即为|a|b|1，此时0a2
5、1，1b1，从而zb1.取a0，b1，则|a|b|1，并且zb1.由此可知，zb满足条件D1时的最大值为1.高考必会题型题型一利用导数求函数的极值例1(2015重庆)设函数f(x)(aR)(1)若f(x)在x0处取得极值，确定a的值，并求此时曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程；(2)若f(x)在3，)上为减函数，求a的取值范围解(1)对f(x)求导得f(x)，因为f(x)在x0处取得极值，所以f(0)0，即a0.当a0时，f(x)，f(x)，故f(1)，f(1)，从而f(x)在点(1，f(1)处的切线方程为y(x1)，化简得3xey0.(2)由(1)知f(x).令g(x)3x2(6a
6、)xa，由g(x)0解得x1，x2.当xx1时，g(x)0，即f(x)0，故f(x)为减函数；当x1xx2时，g(x)0，即f(x)0，故f(x)为增函数；当xx2时，g(x)0，即f(x)0，故f(x)为减函数由f(x)在3，)上为减函数，知x23，解得a，故a的取值范围为.点评(1)导函数的零点并不一定就是函数的极值点，所以在求出导函数的零点后一定要注意分析这个零点是不是函数的极值点(2)若函数yf(x)在区间(a，b)内有极值，那么yf(x)在(a，b)内一定不是单调函数，即在某区间上的单调函数没有极值变式训练1已知函数f(x)ln x，其中aR，且曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切
7、线垂直于直线yx.(1)求a的值；(2)求函数f(x)的极值解(1)对f(x)求导得f(x)，由f(x)在点(1，f(1)处的切线垂直于直线yx，知f(1)a2，解得a.(2)由(1)知f(x)ln x，则f(x).令f(x)0，解得x1或x5.因为x1不在f(x)的定义域(0，)内，故舍去当x(0,5)时，f(x)0，故f(x)在(5，)上为增函数由此知函数f(x)在x5时取得极小值f(5)ln 5，f(x)无极大值题型二利用导数求函数最值例2已知函数f(x)x3ax2bxc，曲线yf(x)在x1处的切线为l：3xy10，当x时，yf(x)有极值(1)求a，b，c的值；(2)求yf(x)在3
8、,1上的最大值和最小值解(1)由f(x)x3ax2bxc，得f(x)3x22axb.当x1时，切线l的斜率为3，可得2ab0. 当x时，yf(x)有极值，则f0，可得4a3b40.由，解得a2，b4.由于切点的横坐标为x1，所以f(1)3114.所以1abc4，所以c5.综上，a2，b4，c5.(2)由(1)可得f(x)x32x24x5，所以f(x)3x24x4.令f(x)0，解得x12，x2.当x变化时，f(x)，f(x)的取值及变化情况如下表所示：x3(3，2)2(2，)(，1)1f(x)00f(x)8134所以yf(x)在3,1上的最大值为13，最小值为.点评(1)求解函数的最值时，要先
9、求函数yf(x)在a，b内所有使f(x)0的点，再计算函数yf(x)在区间内所有使f(x)0的点和区间端点处的函数值，最后比较即得(2)可以利用列表法研究函数在一个区间上的变化情况变式训练2(2016胶州一中模拟)设f(x)ax3bxc(a0)为奇函数，其图象在点(1，f(1)处的切线与直线x6y70垂直，导函数f(x)的最小值为12.(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数f(x)的单调增区间，并求函数f(x)在1,3上的最大值和最小值解(1)因为f(x)为奇函数，所以f(x)f(x)，即ax3bxcax3bxc，所以c0，又f(x)3ax2b的最小值为12，所以b12.由题设知f(1)3
10、ab6.所以a2，故f(x)2x312x.(2)f(x)6x2126(x)(x)当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，)(，)(，)f(x)00f(x)极大值极小值所以函数f(x)的单调递增区间为(，)和(，)因为f(1)10，f(3)18，f()8，f()8，所以当x时，f(x)min8；当x3时，f(x)max18.高考题型精练1已知函数f(x)x3ax2bxa2在x1处有极值10，则f(2)等于_答案18解析函数f(x)x3ax2bxa2在x1处有极值10，f(x)3x22axb，f(1)10，且f(1)0，即解得或而当时，函数在x1处无极值，故舍去f(x)x34x211
11、x16，f(2)18.2函数f(x)3x2ln x2x的极值点的个数是_答案0解析函数定义域为(0，)，且f(x)6x2，由于x0，令g(x)6x22x1，在g(x)中200，所以g(x)0恒成立，故f(x)0恒成立，即f(x)在定义域上单调递增，无极值点3设aR，若函数yexax，xR有大于零的极值点，则a的取值范围是_答案(，1)解析yexax，yexa.函数yexax有大于零的极值点，方程yexa0有大于零的解x0时，ex1，aex1.4已知aln x对任意的x，2恒成立，那么实数a的最大值为_答案0解析设f(x)ln x，则f(x).当x，1)时，f(x)0，所以函数f(x)在(1,2
12、上单调递增，所以f(x)minf(1)0，所以a0，即a的最大值为0.5已知函数f(x)x32bx2cx1有两个极值点x1，x2，且x12，1，x21,2，则f(1)的取值范围是_答案3,12解析方法一由于f(x)3x24bxc，据题意，方程3x24bxc0有两个根x1，x2，且x12，1，x21,2令g(x)3x24bxc，结合二次函数图象可得，只需此即为关于点(b，c)的线性约束条件，作出其对应平面区域，f(1)2bc，问题转化为在上述线性约束条件下确定目标函数f(1)2bc的最值问题，由线性规划易知3f(1)12.方法二方程3x24bxc0有两个根x1，x2，且x12，1，x21,2的条
13、件也可以通过二分法处理，即只需g(2)g(1)0，g(2)g(1)0即可，利用同样的方法也可解答6设函数f(x)ln xax2bx，若x1是f(x)的极大值点，则a的取值范围为_答案(1，)解析f(x)的定义域为(0，)，f(x)axb，由f(1)0，得b1a.所以f(x)axa1.若a0，当0x1时，f(x)0，f(x)单调递增；当x1时，f(x)0，f(x)单调递减，所以x1是f(x)的极大值点；若a0，由f(x)0，得x1或x，因为x1是f(x)的极大值点，所以1，解得1a0.综合得，a的取值范围是a1.7函数f(x)x33axb(a0)的极大值为6，极小值为2，则f(x)的单调递减区间
14、是_答案(1,1)解析令f(x)3x23a0，得x，则f(x)，f(x)随x的变化情况如下表：x(，)(，)(，)f(x)00f(x)极大值极小值从而解得所以f(x)的单调递减区间是(1,1)8函数f(x)x33axa在(0,1)内有最小值，则a的取值范围是_答案(0,1)解析f(x)3x23a，令f(x)0，可得ax2.又x(0,1)，0a0)的极大值是正数，极小值是负数，则a的取值范围是_答案(，)解析f(x)3x23a23(xa)(xa)，由f(x)0得xa，当axa时，f(x)a或x0，函数单调递增f(a)a33a3a0且f(a)a33a3a.a的取值范围是(，)11已知aR，函数f(
15、x)ln x1.(1)当a1时，求曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程；(2)求f(x)在区间(0，e上的最小值解(1)当a1时，f(x)ln x1，x(0，)，所以f(x)，x(0，)因此f(2)，即曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线斜率为.又f(2)ln 2，所以曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为y(x2)，即x4y4ln 240.(2)因为f(x)ln x1，所以f(x)，x(0，)令f(x)0，得xa.若a0，则f(x)0，f(x)在区间(0，e上单调递增，此时函数f(x)无最小值若0ae，当x(0，a)时，f(x)0，函数f(x)在区间(0，a)上单调递减，
16、当x(a，e时，f(x)0，函数f(x)在区间(a，e上单调递增，所以当xa时，函数f(x)取得最小值ln a.若ae，则当x(0，e时，f(x)0，函数f(x)在区间(0，e上单调递减，所以当xe时，函数f(x)取得最小值.综上可知，当a0时，函数f(x)在区间(0，e上无最小值；当0ae时，函数f(x)在区间(0，e上的最小值为ln a；当ae时，函数f(x)在区间(0，e上的最小值为.12已知函数f(x)(1)求f(x)在区间(，1)上的极小值和极大值点；(2)求f(x)在区间1，e(e为自然对数的底数)上的最大值解(1)当x1时，f(x)3x22xx(3x2)，令f(x)0，解得x0或x.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，0)0(0，)(，1)f(x)00f(x)极小值极大值所以在区间(，1)上，函数f(x)的极小值点为x0，极大值点为x.(2)当1x1时，由(1)知，函数f(x)在1,0)和(，1)上单调递减，在(0，)上单调递增因为f(1)2，f()，f(0)0，所以f(x)在1，1)上的最大值为2.当1xe时，f(x)aln x，当a0时，f(x)0；当a0时，f(x)在1，e上单调递增，所以f(x)在1，e上的最大值为f(e)a.所以当a2时，f(x)在1，e上的最大值为a；当a2时，f(x)在1，e上的最大值为2.
