1、3.1双曲线及其标准方程学习目标1.了解双曲线的定义，几何图形和标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方程.3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题.知识点一双曲线的定义我们把平面内到两定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的集合叫作双曲线.这两个定点叫作双曲线的焦点，两焦点间的距离叫作双曲线的焦距.知识点二双曲线的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程1(a0，b0)1(a0，b0)焦点F1(c,0)，F2(c,0)F1(0，c)，F2(0，c)焦距|F1F2|2ca、b、c的关系c2a2b2思考(1)双曲线定义中，将“小于|F1F2|”改为“等于
2、|F1F2|”或“大于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？(2)确定双曲线的标准方程需要知道哪些量？答案(1)当距离之差等于|F1F2|时，动点的轨迹就是两条射线，端点分别是F1、F2，当距离之差大于|F1F2|时，动点的轨迹不存在.(2)a，b的值及焦点所在的位置.题型一求双曲线的标准方程例1根据下列条件，求双曲线的标准方程.(1)经过点P(3，)，Q(，5)；(2)c，经过点(5,2)，焦点在x轴上.解(1)方法一若焦点在x轴上，设双曲线的方程为1(a0，b0)，由于点P(3，)和Q(，5)在双曲线上，解得 (舍去).若焦点在y轴上，设双曲线的方程为1(a0，b0)，将P、
3、Q两点坐标代入可得解得双曲线的标准方程为1.综上，双曲线的标准方程为1.方法二设双曲线方程为1(mn0，b0).则有解得所求双曲线的标准方程为y21.方法二焦点在x轴上，c，设所求双曲线方程为1(其中06).双曲线经过点(5,2)，1，5或30(舍去).所求双曲线的标准方程是y21.反思与感悟求双曲线的标准方程与求椭圆的标准方程的方法相似，可以先根据其焦点位置设出标准方程，然后用待定系数法求出a，b的值.若焦点位置不确定，可按焦点在x轴和y轴上两种情况讨论求解，此方法思路清晰，但过程复杂，注意到双曲线过两定点，可设其方程为mx2ny21(mn0，b0)，将点(4，2)和(2，2)代入方程得解得
4、a28，b24，所以双曲线的标准方程为1.题型二双曲线定义的应用例2若F1，F2是双曲线1的两个焦点.(1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离；(2)如图，若P是双曲线左支上的点，且|PF1|PF2|32，试求F1PF2的面积.解双曲线的标准方程为1，故a3，b4，c5.(1)由双曲线的定义得|MF1|MF2|2a6，又双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，假设点M到另一个焦点的距离等于x，则|16x|6，解得x10或x22.故点M到另一个焦点的距离为10或22.(2)将|PF2|PF1|2a6两边平方得|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|36
5、，|PF1|2|PF2|2362|PF1|PF2|36232100.在F1PF2中，由余弦定理得cosF1PF20，且F1PF2(0，180)，F1PF290，SF1PF2|PF1|PF2|3216.反思与感悟(1)求双曲线上一点到某一焦点的距离时，若已知该点的横、纵坐标，则根据两点间距离公式可求结果；若已知该点到另一焦点的距离，则根据|PF1|PF2|2a求解，注意对所求结果进行必要的验证(负数应该舍去，且所求距离应该不小于ca).(2)在解决双曲线中与焦点三角形有关的问题时，首先要注意定义中的条件|PF1|PF2|2a的应用；其次是要利用余弦定理、勾股定理或三角形面积公式等知识进行运算，在
6、运算中要注意整体思想和一些变形技巧的应用.跟踪训练2设双曲线x21的左、焦点分别为F1，F2，若点P在双曲线上，且F1PF2为锐角三角形，则|PF1|PF2|的取值范围是_.答案(2，8)解析如图，由已知可得a1，b，c2，从而|F1F2|4，由对称性不妨设P在右支上，设|PF2|m，则|PF1|m2am2，由于PF1F2为锐角三角形，结合实际意义需满足解得1m3，又|PF1|PF2|2m2，22m28.题型三与双曲线有关的轨迹问题例3如图，在ABC中，已知|AB|4，且三个内角A，B，C满足2sin Asin C2sin B，建立适当的坐标系，求顶点C的轨迹方程.解以AB边所在的直线为x轴，
7、AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系如图所示，则A(2，0)，B(2，0).由正弦定理得sin A，sin B，sin C(R为ABC的外接圆半径).2sin Asin C2sin B，2|BC|AB|2|AC|，从而有|AC|BC|AB|2).反思与感悟(1)求解与双曲线有关的点的轨迹问题，常见的方法有两种：列出等量关系，化简得到方程；寻找几何关系，由双曲线的定义，得出对应的方程.(2)求解双曲线的轨迹问题时要特别注意：双曲线的焦点所在的坐标轴；检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支.跟踪训练3如图所示，已知定圆F1：(x5)2y21，定圆F2：(x5)2y242，动圆M与定圆F1
8、，F2都外切，求动圆圆心M的轨迹方程.解圆F1：(x5)2y21，圆心F1(5,0)，半径r11；圆F2：(x5)2y242，圆心F2(5,0)，半径r24.设动圆M的半径为R，则有|MF1|R1，|MF2|R4，|MF2|MF1|310|F1F2|.点M的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线的左支，且a，c5，于是b2c2a2.动圆圆心M的轨迹方程为1(x).数形结合思想的应用例4已知F1、F2是双曲线1的左、右焦点，A是双曲线右支上的动点.(1)若点M(5,1)，求|AM|AF2|的最小值；(2)若点M(5，n)，求|AM|AF2|的最小值.分析画出草图，结合焦点三角形进行考虑.解(1)草图如
9、图所示.由双曲线的定义，知|AM|AF2|AM|AF1|2a.由于点M在双曲线右支的右边，故由图知当点A在线段MF1上时，|AM|AF1|最小，即|AM|AF2|最小.故所求的最小值为|MF1|2a8.(2)类似(1)可知，当点M在双曲线右支的右边，即|n|时，|AM|AF2|AM|AF1|2a|MF1|2a8.当M在双曲线右支的外边或其上，即|n|时，|AM|AF2|MF2|n|.故当|n|时，|AM|AF2|的最小值为8；当|n|时，|AM|AF2|的最小值为|n|.解后反思解决这类综合性较强的双曲线问题时，应利用图形的形象直观的特点画图分析，并注意运用双曲线的定义，对所求解的问题进行恰当转化，使问题顺利地得到解决.