1、3.2函数模型及其应用3.2.1几类不同增长的函数模型学习目标1.掌握常见增长函数的定义、图象、性质、并体会增长快慢；理解直线上升，对数增长，指数爆炸的含义(重点).2.会分析具体的实际问题，并进行数学建模解决实际问题(重点)预习教材P95P101，完成下面问题：知识点三种函数模型的性质yax(a1)ylogax(a1)yxn(n0)在(0，)上的增减性增函数增函数增函数图象的变化趋势随x增大逐渐近似与y轴平行随x增大逐渐近似与x轴平行随n值而不同增长速度yax(a1)：随着x的增大，y增长速度越来越快，会远远大于yxn(n0)的增长速度，ylogax(a1)的增长速度越来越慢存在一个x0，当
2、xx0时，有axxnlogax【预习评价】(正确的打“”，错误的打“”)(1)当x每增加一个单位时，y增加或减少的量为定值，则y是x的一次函数()(2)函数yx衰减的速度越来越慢()(3)不存在一个实数m，使得当xm时，1.1xx100.()提示(1)因为一次函数的图象是直线，所以当x增加一个单位时，y增加或减少的量为定值(2)由函数yx的图象可知其衰减的速度越来越慢(3)根据指数函数和幂函数增长速度的比较可知存在一个实数m，使得当xm时，1.1xx100.题型一几类函数模型的增长差异【例1】(1)下列函数中，增长速度最快的是()Ay2 017xByx2 017Cylog2 017xDy2 0
3、17x(2)四个自变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表：x151015202530y1226101226401626901y22321 02432 7681.051063.361071.07109y32102030405060y424.3225.3225.9076.3226.6446.907则关于x呈指数型函数变化的变量是_解析(1)比较幂函数、指数函数与对数函数可知，指数函数增长速度最快，故选A(2)以爆炸式增长的变量呈指数函数变化从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，且都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，画出它们的图象(图略
4、)，可知变量y2关于x呈指数型函数变化答案(1)A(2)y2规律方法常见的函数模型及增长特点(1)线性函数模型：线性函数模型ykxb(k0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变(2)指数函数模型：能用指数型函数f(x)abxc(a，b，c为常数，a0，b1)表达的函数模型，其增长特点是随着自变量x的增大，函数值增长的速度越来越快，常称之为“指数爆炸”(3)对数函数模型：能用对数型函数f(x)mlogaxn(m，n，a为常数，m0，x0，a1)表达的函数模型，其增长的特点是开始阶段增长得较快，但随着x的逐渐增大，其函数值变化得越来越慢，常称之为“蜗牛式增长”(4)幂函数模型：能用幂型函数f(x)
5、axb(a，b，为常数，a0，1)表达的函数模型，其增长情况由a和的取值确定【训练1】下列函数中随x的增大而增长速度最快的是()AyexBy100 ln xCyx100Dy1002x解析指数函数yax，在a1时呈爆炸式增长，并且a值越大，增长速度越快，应选A答案A典例迁移题型二指数函数、对数函数与幂函数模型的比较【例2】函数f(x)2x和g(x)x3的图象如图所示设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1g(1)，f(2)g(2)，f(9)g(10)，所以1x12,9x210，所以x16x2，从图象上可以看出，当x1xx2时，f(x)g(x)，所以f(6)x2时，f(x)g
6、(x)，所以f(2 011)g(2 011)又因为g(2 011)g(6)，所以f(2 011)g(2 011)g(6)f(6)【迁移1】(变换条件)在例2中，若将“函数f(x)2x”改为“f(x)3x”，又如何求解第(1)题呢？解由图象的变化趋势以及指数函数和幂函数的增长速度可知：C1对应的函数为g(x)x3，C2对应的函数为f(x)3x.【迁移2】(变换所求)本例条件不变，例2(2)题中结论改为：试结合图象，判断f(8)，g(8)，f(2 015)，g(2 015)的大小解因为f(1)g(1)，f(2)g(2)，f(9)g(10)，所以1x12,9x210，所以x18x2，从图象上可以看出
7、，当x1xx2时，f(x)g(x)，所以f(8)x2时，f(x)g(x)，所以f(2 015)g(2 015)，又因为g(2 015)g(8)，所以f(2 015)g(2 015)g(8)f(8)规律方法由图象判断指数函数、对数函数和幂函数的方法根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时，通常是观察函数图象上升得快慢，即随着自变量的增长，图象最“陡”的函数是指数函数，图象趋于平缓的函数是对数函数题型三函数模型的选择问题【例3】某化工厂开发研制了一种新产品，在前三个月的月生产量依次为100t,120t,130t.为了预测今后各个月的生产量，需要以这三个月的月产量为依据，用一个函数来模拟月产
8、量y(t)与月序数x之间的关系对此模拟函数可选用二次函数yf(x)ax2bxc(a，b，c均为待定系数，xN*)或函数yg(x)pqxr(p，q，r均为待定系数，xN*)，现在已知该厂这种新产品在第四个月的月产量为137t，则选用这两个函数中的哪一个作为模拟函数较好？解根据题意可列方程组解得所以yf(x)5x235x70.同理yg(x)800.5x140.再将x4分别代入与式得f(4)54235470130(t)，g(4)800.54140135(t)与f(4)相比，g(4)在数值上更为接近第四个月的实际月产量，所以式作为模拟函数比式更好，故选用函数yg(x)pqxr作为模拟函数较好规律方法建
9、立函数模型应遵循的三个原则(1)简化原则：建立函数模型，原型一定要简化，抓主要因素，主要变量，尽量建立较低阶、较简便的模型(2)可推演原则：建立模型，一定要有意义，既能作理论分析，又能计算、推理，且能得出正确结论(3)反映性原则：建立模型，应与原型具有“相似性”，所得模型的解应具有说明问题的功能，能回到具体问题中解决问题【训练2】某债券市场发行三种债券，A种面值为100元，一年到期本息和为103元；B种面值为50元，半年到期本息和为51.4元；C种面值为100元，但买入价为97元，一年到期本息和为100元作为购买者，分析这三种债券的收益，如果只能购买一种债券，你认为应购买哪种？解A种债券的收益
10、是每100元一年到期收益3元；B种债券的半年利率为，所以100元一年到期的本息和为1002105.68(元)，收益为5.68元；C种债券的利率为，100元一年到期的本息和为100103.09(元)，收益为3.09元通过以上分析，应购买B种债券课堂达标1如表是函数值y随自变量x变化的一组数据，由此判断它最可能的函数模型为()x45678910y15171921232527A一次函数模型B二次函数模型C指数函数模型D对数函数模型解析随着自变量每增加1函数值增加2，函数值的增量是均匀的，故为线性函数即一次函数模型故选A答案A2当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应是()Ay3xBylog3xC
11、yx3Dy3x解析几种函数模型中，指数函数增长最快，故选D答案D3某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数yf(x)的图象大致是()解析设该林区的森林原有蓄积量为a，由题意，axa(10.104)y，故ylog1.104x(x1)，yf(x)的图象大致为D中图象答案D4当2x4时，2x，x2，log2x的大小关系是()A2xx2log2xBx22xlog2xC2xlog2xx2Dx2log2x2x解析法一在同一平面直角坐标系中分别画出函数ylog2x，yx2，y2x在区间(2,4)上从上往下依次是yx2，y2x，ylog2x的图象，所以x22xl
12、og2x.法二比较三个函数值的大小，作为选择题，可以采用特殊值代入法可取x3，经检验易知选B答案B5有甲乙两种商品，经销这两种商品所能获得的利润分别是p万元和q万元，它们与投入资金m(万元)的关系式为pm，q.今有3万元资金投入这两种商品若设甲商品投资x万元，投资两种商品所获得的总利润为y万元(1)写出y关于x的函数表达式；(2)如何分配资金可使获得的总利润最大？并求最大利润的值解(1)由题意知，对甲种商品投资x万元，获总利润为y万元，则对乙种商品的投资为(3x)万元，所以yx(0x3)(2)令t(0t)，则x3t2，所以y(3t2)t2，所以当t时，ymax1.05(万元)由t可求得x0.75(万元)，3x2.25(万元)，所以为了获得最大利润，对甲乙两种商品的资金投入应分别为0.75万元和2.25万元，此时获得最大利润为1.05万元课堂小结三种函数模型的选取(1)当增长速度变化很快时，常常选用指数函数模型(2)当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会增长到很大时，常常选用对数函数模型(3)幂函数模型yxn(n0)，则可以描述增长幅度不同的变化：n值较小(n1)时，增长较慢；n值较大(n1)时，增长较快
