1、第2讲 分类讨论思想、转化与化归思想 高考总复习大二轮 数 学(新高考)一分类讨论思想分类讨论的思想是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略，对问题实行分类与整合，分类标准等于增加一个已知条件，实现了有效增设，将大问题(或综合性问题)分解为小问题(或基础性问题)，优化解题思路，降低问题难度由概念、性质、运算引起的分类讨论 例1 (1)(2020 山 师 附 中 模 拟)已 知 函 数f(x)log23x，x2，2x21，x2，若 f(2a)1，则 f(a)等于()A2 B1C1 D2解析 A 当 2a2，即 a0 时，22a21
2、1，解得 a1，则 f(a)f(1)log23(1)2；当 2a2 即 a0 时，log23(2a)1，解得 a12，舍去所以 f(a)2.故选 A.(2)(2020阜阳模拟)等比数列an中，a1a4a72，a3a6a918，则an的前 9 项和 S9_.解析 由题意得 q2a3a6a9a1a4a79，q3，当 q3 时，a2a5a83(a1a4a7)6，S9261826；当 q3 时，a2a5a83(a1a4a7)6，S9261814，所以 S914 或 26.答案 14 或 26数学概念运算公式中常见的分类(1)由二次函数、指数函数、对数函数的定义，直线的倾斜角、向量的夹角的范围等引起分类
3、讨论；(2)由除法运算中除数不为零，不等式两边同乘以(或除以)同一个数(或式)时的不等号等引起分类讨论；(3)由数学公式、定理、性质成立的条件等引起分类讨论活学活用 1已知函数 f(x)axb(a0，a1)的定义域和值域都是1,0，则 ab_.解析：当 a1 时，函数 f(x)axb 在1,0上为增函数，由题意得a1b1，a0b0无解当 0a1 时，函数 f(x)axb 在1,0上为减函数，由题意得a1b0，a0b1，解得a12，b2，所以 ab32.答案：32由图形位置或形状引起的分类讨论例 2(2019泉州三模)若双曲线 x23m y2m11 的渐近线方程为 y12x，则 m 的值为()A
4、1 B.13C.113D1 或13解析 B 根据题意可分以下两种情况讨论：当焦点在 x 轴上时，则有3m0，m10，解得 m1，此时渐近线方程为 y 1m3m x，由题意 1m3m12，解得 m13.当焦点在 y 轴上时，则有3m0，m10，解得 m3，此时渐近线方程为 y m1m3 x，由题意 m1m312，解得：m13；与 m3 矛盾(舍去)结合以上可知 m13.故选 B.图形位置或形状的变化中常见的分类圆锥曲线形状不确定时，常按椭圆、双曲线来分类讨论，求圆锥曲线的方程时，常按焦点的位置不同来分类讨论；相关计算中，涉及图形问题时，也常按图形的位置不同、大小差异等来分类讨论活学活用 2设AB
5、C 的内角 A，B，C 所对边的长分别是 a，b，c，且 b3，c1，ABC 的面积为 2，则 a 的值为_解析：由三角形面积公式，得1231sin A 2，故 sin A2 23.因为 sin2Acos2A1，所以 cos A 1sin2A 18913.当 cos A13时，由余弦定理，得a2b2c22bccos A3212213138，所以 a2 2.当 cos A13时，由余弦定理，得a2b2c22bccos A321221313 12，所以 a2 3.综上所述，a2 2或 2 3.答案：2 2或 2 3 由变量或参数引起的分类讨论例 3(2019潍坊三模节选)设函数 f(x)x3axb
6、，xR，其中 a，bR.求 f(x)的单调区间解析 由 f(x)x3axb，可得 f(x)3x2a.下面分两种情况：当 a0 时，f(x)3x2a0 恒成立所以 f(x)的单调递增区间为(，)当 a0 时，令 f(x)0，解得 x 3a3 或 x 3a3.当 x 变化时，f(x)，f(x)的变化情况如表：x，3a3 3a3 3a3，3a33a33a3，f(x)00f(x)极大值 极小值 所以 f(x)的单调递减区间为 3a3，3a3，单调递增区间为，3a3，3a3，.几种常见的由参数变化引起的分类与整合1含有参数的不等式的求解2含有参数的方程的求解3对于解析式系数含参数的函数，求最值或单调性问
7、题4二元二次方程表示曲线类型的判定等5直线与圆锥曲线位置关系的分类活学活用 3函数 f(x)ax24x3 在 x0,2上有最大值 f(2)，则实数 a 的取值范围是_解析：当 a0 时，f(x)4x3 在 x0,2上为单调递增函数，最大值为 f(2)，满足题意当 a0 时，函数 f(x)ax24x3ax2a234a，其对称轴为 x2a.当 a0 时，f(x)ax24x3 在 x0,2上为单调递增函数，最大值为 f(2)，满足题意当 a0 时，只有当2a2，即1a0 时，f(x)ax24x3在 x0,2上为单调递增函数，最大值为 f(2)，满足题意综上，当 a1 时，函数 f(x)ax24x3
8、在 x0,2上有最大值 f(2)答案：1，)二转化与化归思想转化与化归思想，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而解决问题的一种方法一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题 特殊与一般的转化例 1(2019长沙三模)(1)过拋物线 yax2(a0)的焦点 F，作一直线交拋物线于 P，Q 两点若线段 PF 与 FQ 的长度分别为 p，q，则1p1q等于()A2aB.12aC4aD.4a解析 C 拋物线 yax2(a0)的标准方程为x21ay(a0)，焦点 F0，14a.过焦点
9、F 作直线垂直于 y 轴，则|PF|QF|12a，1p1q4a.(2)(2017浙江)已知向量 a，b 满足|a|1，|b|2，则|ab|ab|的最小值是_，最大值是_解析 由题意，不妨设 b(2,0)，a(cos，sin)，则 ab(2cos，sin)，ab(cos 2，sin)令 y|ab|ab|2cos 2sin2 cos 22sin2 54cos 54cos，令 y 54cos 54cos，则 y2102 2516cos216,20由此可得(|ab|ab|)max 202 5，(|ab|ab|)min 164，即|ab|ab|的最小值是 4，最大值是 2 5.答案 4 2 5(1)一般
10、问题特殊化，使问题处理变得直接、简单特殊问题一般化，可以使我们从宏观整体的高度把握问题的一般规律，从而达到成批处理问题的效果(2)对于某些选择题、填空题，如果结论唯一或题目提供的信息暗示答案是一个定值时，可以把题中变化的量用特殊值代替，即可得到答案活学活用 1在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 a，b，c成等差数列，则 cos Acos C1cos Acos C_.解析：显然ABC 为等边三角形时符合题设条件，所以 cos Acos C1cos Acos C cos 60cos 601cos 60cos 60 111445.答案：45 正与反的转化例 2(2019吉林
11、三模)若对于任意 t1,2，函数 g(x)x3m22 x22x 在区间(t,3)上总不为单调函数，则实数 m 的取值范围是_解析 g(x)3x2(m4)x2，若 g(x)在区间(t,3)上总为单调函数，则g(x)0 在(t,3)上恒成立，或g(x)0 在(t,3)上恒成立(正反转化)由得 3x2(m4)x20，即 m42x3x，当 x(t,3)时恒成立，m42t3t 恒成立，则 m41，即 m5；由得 3x2(m4)x20，即 m42x3x，当 x(t,3)时恒成立，则 m4239，即 m373.函数 g(x)在区间(t,3)上总不为单调函数的 m 的取值范围为373，5答案 373，5(1)
12、本题是正与反的转化，由于不为单调函数有多种情况，先求出其反面，体现“正难则反”的原则(2)题目若出现多种成立的情形，则不成立的情形相对很少，从反面考虑较简单，因此，间接法多用于含有“至多”“至少”及否定性命题情形的问题中活学活用 2由命题“存在 x0R，使 e|x01|m0”是假命题，得 m 的取值范围是(，a)，则实数 a 的取值是()A(，1)B(，2)C1 D2解析：C 命题“存在 x0R，使 e|x01|m0”是假命题，可知它的否定形式“任意 xR，使 e|x1|m0”是真命题，可得 m的取值范围是(，1)，而(，a)与(，1)为同一区间，故 a1.主与次的相互转化例 3(2019西安
13、三模)已知函数 f(x)x33ax1，g(x)f(x)ax5，其中 f(x)是 f(x)的导函数对满足1a1 的一切 a 的值，都有 g(x)0，则实数 x 的取值范围为_解析 由题意，知 g(x)3x2ax3a5，对(a)(3x)a3x25，1a1.对1a1，恒有 g(x)0，即(a)0，10，10，即3x2x20，3x2x80，解得23x1.故当 x23，1 时，对满足1a1 的一切 a 的值，都有 g(x)0.答案 23，1(1)本题是把关于x的函数转化为在1,1内关于a的一次函数小于 0 恒成立的问题(2)在处理多变元的数学问题时，我们可以选取其中的常数(或参数)，将其看作是“主元”，而把其它变元看作是常量，从而达到减少变元简化运算的目的活学活用 3对于满足 0p4 的所有实数 p，使不等式 x2px4xp3 成立的 x 的取值范围是_解析：设 f(p)(x1)px24x3，则当 x1 时，f(p)0.所以 x1.f(p)在0p4上 恒 为 正，等 价 于f00，f40，即x3x10，x210，解得 x3 或 x1.答案：(，1)(3，)
