1、指导一 数学思想融会贯通第1讲 函数与方程思想、数形结合思想 高考总复习大二轮 数 学(新高考)下篇 考前冲刺指导一函数与方程思想函数思想方程思想通过建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题得到解决的思想构建方程或方程组，通过解方程或方程组或运用方程的性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决的思想函数思想与方程思想密切相关 方程 f(x)0 的解就是函数 yf(x)的图象与 x 轴的交点的横坐标；函数 yf(x)也可以看作二元方程 f(x)y0，通过方程进行研究，方程 f(x)a 有解，当且仅当 a 属于函数 f(x)的值域函数思想重在对问题进行动态的研
2、究，方程思想则是在动中求静，研究运动中的等量关系 函数与方程思想在函数、不等式中的应用例 1(2019烟台三模)已知 f(x)log2x，x2,16，对于函数 f(x)值域内的任意实数 m，使 x2mx42m4x 恒成立的实数 x 的取值范围为()A(，2B2，)C(，22，)D(，2)(2，)解析 D 因为 x2,16，所以 f(x)log2x1,4，即 m1,4不等式 x2mx42m4x 恒成立，即为 m(x2)(x2)20 恒成立设 g(m)(x2)m(x2)2，则此函数在区间1,4上恒大于 0，所以g10，g40，即x2x220，4x2x220，解得 x2 或 x2.函数与方程思想在不
3、等式中的应用函数与不等式的相互转化，把不等式转化为函数，借助函数的图象和性质可解决相关的问题常涉及不等式恒成立问题、比较大小问题一般利用函数思想构造新函数，建立函数关系求解活学活用 1(2019贵阳三模)设 0a1，e 为自然对数的底数，则 a，ae，ea1 的大小关系为()Aea1aae Baeaea1Caeea1aDaea1ae解析：B 设 f(x)exx1，x0，则 f(x)ex1，f(x)在(0，)上是增函数，且 f(0)0，f(x)0，ex1x，即 ea1a.又 yax(0a1)在 R 上是减函数，得 aae，从而 ea1aae.函数与方程思想在数列中的应用例 2(2020兰州模拟)
4、设an是首项为 a1，公差为1 的等差数列，Sn 为其前 n 项和，若 S1，S2，S4 成等比数列，则 a1 的值_解析 an为等差数列，则 S44a16d4a16，S22a11，S1a1.又 S22S1S4 知，(2a11)2a1(4a16)，a112.答案 121应用方程的思想求等差(或等比)数列中的通项时，根据题中的条件，列出关于首项和公差(或公比)的方程组，通过解方程组求出数列的首项和公差(或公比)，再根据等差(或等比)数列的通项公式写出 an.2根据题目条件构造函数关系，把不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题是常用的解题思路活学活用 2已知数列an满足 a133，an 1an2n
5、，则ann 的最小值为_解析：ananan1an1an2a2a1a12(n1)2(n2)2332(12n1)33(n1)n33，故ann n33n 1.注意到对勾函数的单调性，易得 n5 或 n6 时，ann 最小，而a66 212，a55 535，故最小值为212.答案：212二数形结合思想以形助数(数题形解)以数辅形(形题数解)借助形的生动性和直观性来阐述数形之间的联系，即以形作为手段，数作为目的借助于数的精确性和规范性及严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的 利用数形结合思想研究函数的零点例 1 已知函数 f(x)xx13a，x2exax，2x0恰有 3 个零点，则实数 a
6、 的取值范围为()A.23，13B.23，1e2C.1e，1e2D.1e，13解析 D 函数 f(x)xx13a，x2exax，2x0恰有 3 个零点，则 3a xx1在 x2 时有且只有一个实数根，且 exax在(2,0)上有两个不相等的实数根由 3a xx1在 x2 时有且只有一个实数根，得23a1，即23a13；exax在(2,0)上有两个不相等的实数根，可转化为 axex 在(2,0)上有两个不相等的实数根，令 g(x)xex，则 g(x)ex(x1)，当 x(2，1)时，g(x)0，当 x(1,0)时，g(x)0，所以函数 g(x)在(2，1)上单调递减，在(1,0)上单调递增，当2
7、x0 时，函数 g(x)的大致图象如图所示，所以当 g(1)ag(2)，即1ea2e2时，axex 在(2,0)上有两个不相等的实数根综上，当1ea13时，函数 f(x)恰有 3 个零点，故选 D.利用数形结合探究方程解的问题应注意两点：(1)讨论方程的解(或函数的零点)一般可构造两个函数，使问题转化为讨论两曲线的交点问题，但用此法讨论方程的解一定要注意图象的准确性、全面性，否则会得到错解(2)正确作出两个函数的图象是解决此类问题的关键，数形结合应以快和准为原则，不要刻意去用数形结合活学活用 1已知函数 f(x)12x2x，x0，log5x，x0，函数 g(x)是周期为 2 的偶函数且当 x0
8、,1时，g(x)2x1，则函数 yf(x)g(x)的零点个数是()A5 B6C7 D8解析：B 在同一坐标系中作出 yf(x)和 yg(x)的图象如图所示，由图象可知当 x0 时，有 4 个零点，当 x0 时，有 2 个零点，所以一共有 6 个零点 应用数形结合求解不等式、参数问题例 2 设 f(x)，g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数，当 x0 时，f(x)g(x)f(x)g(x)0，且 g(3)0，则不等式 f(x)g(x)0 的解集是_解析 设 F(x)f(x)g(x)，由于 f(x)，g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数，得 F(x)f(x)g(x)f(x)g(x)F
9、(x)，即 F(x)在 R上为奇函数又当 x0 时，F(x)f(x)g(x)f(x)g(x)0，所以 x0 时，F(x)为增函数因为奇函数在对称区间上的单调性相同，所以 x0 时，F(x)也是增函数因为 F(3)f(3)g(3)0F(3)所以，由图象可知 F(x)0 的解集是(，3)(0,3)答案(，3)(0,3)求参数范围或解不等式问题经常联系函数的图象，根据不等式中量的特点，选择适当的两个(或多个)函数，利用两个函数图象的上、下位置关系转化为数量关系来解决问题，往往可以避免烦琐的运算，获得简捷的解答活学活用 2当 x(1,2)时，(x1)2logax 恒成立，则实数 a 的取值范围是_解析
10、：由题意可知 a1，在同一坐标系内作出 y(x1)2，x(1,2)及 ylogax 的图象，若 ylogax 过点(2,1)，得 loga21，所以 a2.根据题意，函数 ylogax，x(1,2)的图象恒在 y(x1)2，x(1,2)的上方，所以 1a2.答案：(1,2 利用数形结合求最值问题例 3(1)(2019泉州三模)记实数 x1，x2，xn 中最小数为minx1，x2，xn，则定义在区间0，)上的函数 f(x)minx21，x3,13x的最大值为()A5 B6C8 D10解析 C 在同一坐标系中作出三个函数 yx21，yx3，y13x 的图象如图：由图可知，在实数集 R 上，minx
11、21，x3,13x为 yx3上 A 点下方的射线，拋物线 AB 之间的部分，线段 BC，与直线 y13x 点 C 下方的部分的组合图显然，在区间0，)上，在 C点时，yminx21，x3,13x取得最大值解方程组yx3，y13x得点 C(5,8)所以 f(x)max8.(2)已知圆 C：(x3)2(y4)21 和两点 A(m,0)，B(m,0)(m0)若圆 C 上存在点 P，使得APB90，则 m 的最大值为()A7 B6C5 D4解析 B 根据题意，画出示意图，如图所示，则圆心 C 的坐标为(3,4)，半径 r1，且|AB|2m.因为APB90，连接 OP，易知|OP|12|AB|m.要求
12、m 的最大值，即求圆 C 上的点 P 到原点 O 的最大距离因为|OC|32425，所以|OP|max|OC|r6，即 m 的最大值为 6.运用数形结合思想求解最值问题(1)对于几何图形中的动态问题，应分析各个变量的变化过程，找出其中的相互关系求解(2)应用几何意义法解决问题需要熟悉常见的几何结构的代数形式，主要有：比值可考虑直线的斜率；二元一次式可考虑直线的截距；根式分式可考虑点到直线的距离；根式可考虑两点间的距离活学活用 3(2019南昌三模)设函数 f(x)|xa|，g(x)x1，对于任意的 xR，不等式 f(x)g(x)恒成立，则实数 a 的取值范围是_解析：如图作出函数 f(x)|xa|与 g(x)x1 的图象，观察图象可知：当且仅当a1，即 a1 时，不等式 f(x)g(x)恒成立，因此 a 的取值范围是1，)答案：1，)
