1、了解指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等函数模型的意义，并能建立简单的数学模型，利用这些知识解决应用问题8函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，不同的变化规律需要用不同的函数模型来描述那么，面临一个实际问题，应当如何选择恰当的函数模型来刻画它呢？事实上，要顺利地建立函数模型，首先要深刻理解基本函数的图象和性质，熟练掌握基本函数和常用函数的特点，并对一些重要的函数模型必须要有清晰的认识一般而言，有以下 种函数模型：2(0)(0)(0)(001)xf xkxb kbkkf xb kbkxf xaxbxcabcaf xkabkabkaa一次函数模型：、为常数，；反比例函数模型：、为常数，；二次
2、函数模型：、为常数，二次函数模型是高中阶段应用最为广泛的模型，在高考的应用题考查中最为常见的；指数型函数模型：、为常数，且；log(001)(00)“”(0)“”“”anf xmxnmnamaaf xaxbabnanf xxkk对数型函数模型：、为常数，且；幂函数型模型：、为常数，；勾 函数模型：为常数，这种函数模型应用十分广泛，因其图象是一个勾号，故我们把它称之为 勾 函数模型；分段函数模型：这个模型实则是以上两种或多种模型的综合，因此应用也十分广泛1.f(x)x2，g(x)2x，h(x)log2x，当 x(4，)时，对这三个函数的增长速度进行比较，下列选项正确的是(B)Af(x)g(x)h
3、(x)Bg(x)f(x)h(x)Cg(x)h(x)f(x)Df(x)h(x)g(x)2.在某种新型材料的研制中，实验人员获得了如下一组数据：x1.99345.16.12y1.54.047.51218.01现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是()Ay2x2By12(x21)Cylog2xDy(12)x 【解析】将各组数据代入验证，选 B.3.2003 年 6 月 30 日到银行存款 a 元，若年利率为 x 且按复利计算到 2011 年 6 月 30 可取_元()Aa8axBa(1x)7Ca(1x)8Da(1x)9【解析】有款利息按复利计算，存的银行款到每年的
4、6 月 30日构成以 a 为首项，以(1x)为公比的等比数列，到 2011 年6 月 30 日刚好 8 年整的可取出 a(1x)8，故选 C.4.如图所示，液体从一圆锥形漏斗漏入一圆柱形桶中，开始时，漏斗盛满液体，经过 3 分钟漏完已知圆柱中液面上升的速度是一个常量，H 是圆锥形漏斗中液面下落的高度，则 H 与下落时间 t(分)的函数关系表示的图象只可能是()【解析】采用“取中判定法”，由于所给的圆锥形漏斗上口大于下口，当时间取12t 时，漏斗中液面下落的高度不会达到漏斗高度的12，对比四个选项的图象可知选 B.5.(教材改编)某种商品降价 20%后，欲通过三次提价恢复原价，则平均应提价 3
5、102 1.【解析】设每次应提价 x(0 x1)，令原价为 a 元，则 80%a(1x)3a(1x)3108 x3 102 1.一 已知函数模型问题【例 1】(2012厦门云中)某公司对营销人员有如下规定：(年销售额 x 在 8 万元以下，没有奖金；()年销售额 x(万元)，x8,64时，奖金为 y 万元，且 ylogax，y3,6，且年销售额越大，奖金越多；()年销售额超过 64 万元，按年销售额的 10%发奖金(1)求奖金 y 关于 x 的函数解析式；(2)某营销人员争取年奖金 y4,10(万元)，年销售额x 在什么范围内【分析】奖金 y 随销售额 x 的不同取值而适用不同函数模型，故为分
6、段函数，找准各段内对应解析式，分段研究，分段求值【解析】(1)依题意 ylogax 在 x8,64上为增函数，所以有loga83loga646 a2，所以 y0 0 x64(2)易知 x8.当 8x64 时，要使 y4,10，则 4log2x1016x1024，所以 16x64.当 x64 时，要使 y4,10，则 110 x4,1040 x100，所以 64x100.综上可得，当年销售额 x 在16,100(万元)内时，y4,10(万元)【点评】已知函数模型问题应根据题中条件找准对应量，列出函数解析式；再转化为给定定义域上的“给值求值、给定范围求范围或最值”问题，对自变量的分类很重要！某地区
7、的一种特色水果上市时间能持续 5 个月，预测上市初期和后期会因供不应求使价格呈连续上涨态势，而中期又将出现供大于求使价格连续下跌，现有三种价格模拟函数：f(x)pqx，f(x)logqxp，f(x)(x1)(xq)2p(以上三式中 p，q 均为常数，且 q2).素材1(1)为准确研究其价格走势，应选哪种价格模拟函数，为什么？(2)若 f(1)4，f(3)6，求出所选函数 f(x)的解析式(注：函数的定义域是1,6，其中 x1 表示 4 月 1 日，x2 表示 5月 1 日，以此类推)；(3)为保证果农的收益，打算在价格下跌期间积极拓宽外销，请你预计该水果在哪几个月内价格下跌【解析】(1)因为
8、f(x)pqx 是单调函数，f(x)logqxp 也是单调函数，而 f(x)(x1)(xq)2p 中 f(x)3x2(4q2)xq22q.令 f(x)0 得 xq，xq23.因为 q2，所以 qq23，f(x)有两个零点(或由 0也可说明)，可以出现两个递增区间和一个递减区间，所以应该选 f(x)(x1)(xq)2p 为其价格模拟函数(2)由 f(1)4，f(3)6 得p423q2p6，解得p4q4(其中 q2 舍去)所以 f(x)(x1)(x4)24x39x224x12(1x6)(3)f(x)3x218x24.令 f(x)0，即 3x218x240，解得 2x0.1(2)据测定，当空气中每立
9、方米的含药量降低到 0.25 毫克以下时，学生方可进教室，那从药物释放开始，至少需要经过 0.6 小时后，学生才能回到教室【解析】(1)当 0t0.1 时，函数图象是线段 y10t(0t0.1)；当 t0.1 时，函数图象是指数函数 y(116)ta；当 t0.1 时，由 1(116)0.1a，得 a0.1.所以 y10t 0t0.1 116t0.1t0.1(2)由 y(116)t0.10.25，得 2t0.21，则 t0.6，所以至少需要经过 0.6 小时后，学生才能回到教室三 选择拟合函数问题【例 3】(2011杭州学军中学高三第二次月考)某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得
10、 10 万元1000 万元的投资收益，现准备制定一个对科研课题组的奖励方案，资金 y(单位：万元)随投资收益 x(单位：万元)的增加而增加，且奖金不超过 9 万元，同时奖金不超过投资收益的 20%.(1)若建立函数模型制定奖励方案，试用数学语言表述公司对奖励函数模型的基本要求；(2)现有两个奖励函数模型：y x1502；y4lgx3，试分析这两个函数模型是否符合公司要求？【解析】(1)设奖励函数模型为 yf(x)，则公司对函数模型的基本要求是：当 x10,1000时，f(x)是增函数；f(x)9 恒成立；f(x)x5恒成立(2)对于函数模型 f(x)x1502；当 x10,1000时，f(x)
11、是增函数，则 f(x)maxf(1000)1000150 2203 215.从而 f(x)x5不恒成立故该函数模型不符合公司要求 对于函数模型 f(x)4lgx3：当 x10,1000时，f(x)是增函数，则 f(x)maxf(1000)4lg100039.所以 f(x)9 恒成立设 g(x)4lgx3x5，则 g(x)4lgex 15.当 x10 时，g(x)4lgex 154lge10 152lge15lge2150，所以 g(x)在10,1000上是减函数，从而 g(x)g(10)10，所以 4lgx3x50，即 4lgx315x，所以 f(x)0)单位量的水，可以清洗一次，也可以把水平
12、均分成 2 份后清洗两次，试问用哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药量比较少？说明理由【分析】题目中的假定是对 f(x)的性质的描述，而确定用哪种方案时，只需比较两种方案的清洗效果【解析】(1)f(0)1，表示没有用水清洗时，蔬菜上残留的农药量保持不变(2)函数 f(x)应满足的条件和具有的性质是：f(0)1，f(1)12，在0，)上是减函数，且 0f(x)1.(3)设仅清洗一次，蔬菜上残留的农药量为 f1，清洗两次后，蔬菜上残留的农药量为 f2，则f111a2，f211a2211a2211a222.因为 f1f211a211a22211a2164a22a2a2 2a2 21a24a22，所以，当
13、0a2 2时，f12 2时，f1f2，即清洗两次蔬菜上残留的农药量较少【点评】阅读题目、理解题意是解决应用题的前提本题的关键是对 f(x)的假定的理解选择数学模型和方法解决实际应用问题是核心步骤，因此解应用题时要根据题目中的数量关系，选择适当的数学模型和方法加以解决 123()4理解题意，找出数量关系是解应用题的前提，因此解题时应认真阅读题目，深刻理解题意建立数学模型，确定解决方法是解应用题的关键，因此解题时要认真梳理题目中的数量关系，选择适当的方法加以解决函数的应用问题通常是以下几种类型：可行性问题、最优解问题 即最大值或最小值问题，如费用最小，效益最大等问题、决策问题解题时要灵活运用函数的性质和数学方法应用题中的函数由于它具有实际意义，因此函数中的变量除要求使函数本身有意义外，还要符合其实际意义
