1、结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程的根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数结合具体函数的图象，能用二分法求近似解 1_20_.3_()_()_10yf xyf xf xyf xyf xyf xabyf xabcabcf x对于函数，我们把使叫做函数的零点方程有实根函数的图象函数如果函数在区间，上的图象是连续不断的一条曲线，并且，那么，函数在区间，内有，即存在，使得，这个 也就是零点方程函数的的根 10_.2abf af byf xf x对于在区间，上连续不断且的函数，通过不断地把函数的零点所在区间，使区间的两个端点逐步逼近，进而得到零点近似值的方法叫做二分法 0020()()0(
2、)0()()0()ef xabf af beabcf cf ccf af cbcxacf cf bacxcbeabe给定精确度，用二分法求函数的零点近似值的步骤如下：第一步，确定区间，验证，给定精确度；第二步，求区间，的中点，；第三步，计算；若，则 就是函数的零点；若，则令此时零点，；若，则令此时零点，第四步，判断是否达到精确度：即若，则得到零点近似()ab值或；否则重复第二、三、四步 000f xxxf af bf c的实数；与 轴有交点；有零点；零点；一分为二；零点【要点指南】；二分法1.(2012龙岩模拟)函数 f(x)x4x的零点为()A0B2C(2,0)、(2,0)D0,2，2【解析
3、】令 f(x)0，即 x4x0 x240 且 x0，所以 x2.易错点：将函数的零点与点坐标混淆.2.(2011新课标)在下列区间中，函数 f(x)ex4x3的零点所在的区间为()A(14，0)B(0，14)C(14，12)D(12，34)【解析】显然 f(x)为 R 上增函数，又 f(14)e1441434 e20，所以在(14，12)内有且仅有一个零点 3.函数 f(x)3ax12a，在区间(1,1)上存在一个零点，则 a 的取值范围是()A1a15Ca15或 a1Da1【解析】令 f(1)f(1)15或 a1，故选 C.4.如图所示，函数图象与 x 轴均有公共点，但不能用二分法求公共点横
4、坐标的是()【解析】由二分法定义可知选 B.5.用二分法求方程 x32x50 在区间2,3内的实根时，取区间中点 x02.5，那么下一个有根区间是(2,2.5).【解析】令 f(x)x32x5.又 f(2)2322510，f(3)160，则下一个有根区间是(2,2.5)一 函数零点的判断与求解【例 1】若函数 f(x)的零点与 g(x)4x2x2 的零点之差的绝对值不超过14，则 f(x)可以是()Af(x)4x1Bf(x)(x1)2Cf(x)ex1Df(x)ln(x12)【解析】易知 f(x)4x1 的零点为 x14；f(x)(x1)2 的零点为 x1，f(x)ex1 的零点为 x0；f(x
5、)ln(x12)的零点为 x32；作出 y14x 与 y222x 的图象，易知零点只有一个 x0，且 g(0)10，g(14)21220，所以 g(x)的零点 x0(14，12)又函数 f(x)的零点与 g(x)4x2x2 的零点之差的绝对值不超过14，只有 f(x)4x1 的零点适合，故选 A.【点评】(1)当方程的根可能存在的区间已知时，用零点存在定理判断即可；当根可能存在的区间未知时，要构造函数，观察图象研究一个函数的零点，还是两个函数图象的交点，前提是函数能否易于作出图象再如求 x|lgx|2 的实根的个数，可考察函数 y|lgx|，y2x 的交点的个数(2)两函数图象交点个数问题，常
6、转化为一个函数的零点个数问题，进而由零点存在定理判断，必要时要考察函数的单调性实数 a，b，c 是图象连续不断的函数 yf(x)定义域中的三个数，且 abc，又 f(a)f(b)0，f(b)f(c)0，则函数 yf(x)在区间(a，c)上的零点的个数为()A2B不小于 2 的偶数C不小于 2 的自然数D不小于 2 的奇数.素材1【解析】由 f(a)f(b)0 知，f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点；由 f(b)f(c)0 知，f(c)在区间(b，c)内至少有一个零点，所以在(a，c)上至少有 2 个零点，故选 C.二 函数零点的性质的应用【例 2】已知 aR，函数 f(x)x22ax1，
7、如果函数 yf(x)在区间1,1上有零点，求 a 的取值范围【解析】0a1，此时当 a1 时，x11,1；当 a1 时，x11,1，合乎题意f(x)在区间1,1上只有一个零点且不是 f(x)0 的重根，此时有 f(1)f(1)1 或 a0f10f1012a2 0、0、0，即 b24ab8a0 恒成立，故 b16a232a0，解得 0a2，所以，实数 a 的取值范围为(0,2)三 二分法【例 3】用二分法求函数 f(x)x3x1 在区间1,1.5内的一个零点(精确度为 0.1)【解析】由于 f(1)11110，所以 f(x)在区间1,1.5内存在零点，取区间1,1.5作为计算的初始区间用二分法逐
8、次计算列表如下：端(中)点坐标中点函数值符号零点所在区间|anbn|1,1.50.51.25f(1.25)01.25,1.3750.1251.3125f(1.3125)01.3125,1.3750.0625 因为|1.3751.3125|0.06250，f(1.40625)0.0540，且|1.406251.4375|0.031250.1，所以由二分法可知其根在区间(1.40625,1.4375)上，故选 C.备选例题(2012杭州西湖中学)定义在 R 上的奇函数 f(x)，当 x0时，f(x)log12x1 x0，11|x3|x1，则关于 x 的方程 f(x)a(1a1)的所有解之和 S 1
9、2a1 1a012a0a1.(用含 a 的式子表示)【解析】作出函数 f(x)的图象如图当1a0 时，ya 与 yf(x)有五个交点，即 f(x)a 依次有五个根 x1、x2、x3、x4、x5 且 x1x26，log12(x31)a，x4x56，所以 x1x2x3x4x5x3(12)a1；当 0aa012a11a0.210(0)2axbxca 二次方程 的根分布问题，既可以运用公式法先求出方程的根，再列出等价条件组，也可以引入二次函数，由函数的图象特征列出等价的条件组，应因题而异，优化解题的思路函数与方程这一节内容渗透了丰富的数学思想方法，解题时需具有敏锐的观察力和较强的等价转化问题的能力，把复杂的问题化归为二次方程或二次函数问题，再运用等价转化思想、函数与方程思想、分离参数方法、分类讨论思想等解决问题3二分法求方程近似解的过程中，解法的程序框图蕴涵着算法思想、符号化、模型化的思想这些思想是现代数学的重要思想，是信息技术与数学内容有机的整合在学习中注意体会并加以运用，有利于我们数学能力的培养、综合素质的提高