1、专题六 函数与导数 第 3 讲 导数与函数的单调性、极值、最值问题1(2019全国卷)曲线 y2sin xcos x 在点(，1)处的切线方程为()Axy10 B2xy210C2xy210 Dxy10解析：设 yf(x)2sin xcos x，则 f(x)2cos xsin x，所以 f()2.所以曲线在点(，1)处的切线方程为 y(1)2(x)，即 2xy210.答案：C2(2017全国卷)若 x2 是函数 f(x)(x2ax1)ex1 的极值点，则 f(x)的极小值为()A1 B2e3C5e3D1解析：f(x)x2(a2)xa1ex1，则 f(2)42(a2)a1e30a1，则 f(x)(
2、x2x1)ex1，f(x)(x2x2)ex1，又 ex10 恒成立，令 f(x)0，得 x2 或 x1，当 x2 或 x1 时，f(x)0；当2x1 时，f(x)0.所以 x1 是函数 f(x)的极小值点则 f(x)的极小值为 f(1)1.答案：A3(2018全国卷)已知函数 f(x)aexln x1.(1)设 x2 是 f(x)的极值点，求 a，并求 f(x)的单调区间；(2)证明：当 a1e时，f(x)0.(1)解：f(x)的定义域为(0，)，f(x)aex1x.由题设知，f(2)0，所以 a 12e2.从而 f(x)12e2exln x1，f(x)12e2ex1x.当 0 x2 时，f(
3、x)0；当 x2 时，f(x)0.所以 f(x)在(0，2)上单调递减，在(2，)上单调递增(2)证明：当 a1e时，f(x)exe ln x1(x0)设 g(x)exe ln x1(x0)，则 g(x)exe 1x(x0)当 0 x1 时，g(x)0；当 x1 时，g(x)0.所以 x1 是 g(x)的最小值点故当 x0 时，g(x)g(1)0.因此，当 a1e时，f(x)0.4(2019全国卷)已知函数 f(x)2x3ax22.(1)讨论 f(x)的单调性；(2)当 0a0，则当 x(，0)a3，时，f(x)0，当 x0，a3 时，f(x)0，故 f(x)在(，0)，a3，上单调递增，在0
4、，a3上单调递减；当 a0，则 f(x)在(，)上单调递增；若 a0，当 xa3，0 时，f(x)0.故 f(x)在，a3，(0，)上单调递增，在a3，0上单调递减(2)当 0a3 时，由(1)知，f(x)在0，a3 上单调递减，在a3，1 单调递增，所以 f(x)在0，1上的最小值为 fa3 a3272，最大值为 f(0)2 或 f(1)4a.于是 ma3272，M4a，0a2，2，2a3.所以 Mm2aa327，0a2，a327，2a3.当 0a2 时，可知 y2aa327单调递减，所以 Mm 的取值范围是827，2.当 2a0 是 f(x)为增函数的充分不必要条件，如函数f(x)x3 在
5、(，)上单调递增，但 f(x)0.f(x)0 是 f(x)为增函数的必要不充分条件，如果函数在某个区间内恒有 f(x)0 时，则 f(x)为常数函数2利用导数研究函数单调性的方法若求单调区间(或证明单调性)，只要在函数定义域内解(或证明)不等式 f(x)0 或 f(x)0，则由 f(x)0，x0 得 xa.当 x(0，a)时，f(x)0.所以 f(x)在(0，a)单调递减，在(a，)上单调递增若 a0)，得 xa2.当 x0，a2 时，f(x)0.所以 f(x)在0，a2 上单调递减，在a2，上单调递增(2)当 a0 时，由(1)知，当 xa 时，f(x)取得最小值所以 f(x)minf(a)
6、a2ln a.当 a0 或 f(x)0，2x0，ln 20.所以当 f(x)2x 时，exf(x)在 f(x)的定义域上单调递增，故具有 M 性质，易知 B、C、D 不具有 M 性质答案：A角度 根据函数的单调性求参数的取值范围【例 2】已知 x1 是 f(x)2xbxln x 的一个极值点(1)求函数 f(x)的单调递减区间(2)设函数 g(x)f(x)3ax，若函数 g(x)在区间1，2内单调递增，求 a 的取值范围解：(1)因为 f(x)2xbxln x，定义域为(0，)所以 f(x)2 bx21x2x2xbx2.因为 x1 是 f(x)2xbxln x 的一个极值点，所以 f(1)0，
7、即 2b10.解得 b3，经检验，适合题意，所以 b3.所以 f(x)2 3x21x2x2x3x2，令 f(x)0，得 0 x0)，g(x)21x ax2(x0)因为函数 g(x)在1，2上单调递增，所以 g(x)0 在1，2上恒成立，即 21x ax20 在1，2上恒成立，所以 a2x2x 在1，2上恒成立，所以 a(2x2x)max，x1，2因为在1，2上，(2x2x)max3，所以 a3.所以 a 的取值范围是3，)思维升华1已知函数的单调性，求参数的取值范围，应用条件 f(x)0(或 f(x)0)，x(a，b)恒成立，解出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立的理论求解)，应注意参数的取
8、值是 f(x)不恒等于 0 的参数的范围2若函数 yf(x)在区间(a，b)上不单调，则转化为f(x)0 在(a，b)上有解变式训练(2017全国卷改编)已知函数 f(x)ex(exa)a2x，其中参数 a0.(1)讨论 f(x)的单调性；(2)当 a0 时，求函数 f(x)的最小值；(3)若 f(x)0，求 a 的取值范围解：(1)函数 f(x)的定义域为(，)，且 a0.f(x)2e2xaexa2(2exa)(exa)若 a0，则 f(x)e2x 在(，)上单调递增若 a0，则由 f(x)0 得 xlna2.当 x，lna2 时，f(x)0；当 xlna2，时，f(x)0.故 f(x)在，
9、lna2 上单调递减，在lna2，上单调递增(2)若 a0，则由(1)得，当 xlna2 时，f(x)取得最小值，最小值为 f(lna2)a234lna2.(3)当 a0 时，f(x)e2x0 恒成立当 a0 时，f(x)mina234lna2，若对 xR，f(x)0，只需 f(x)min0.由 a234lna2 0，得 a2e34.综上，a 的取值范围是2e34，0.热点 3 利用导数研究函数的极值和最值1若在 x0 附近左侧 f(x)0，右侧 f(x)0，则 f(x0)为函数 f(x)的极大值；若在 x0 附近左侧 f(x)0，则 f(x0)为函数 f(x)的极小值2设函数 yf(x)在a
10、，b上连续，在(a，b)内可导，则 f(x)在a，b上必有最大值和最小值且在极值点或端点处取得温馨提醒：若函数的导数存在，某点的导数等于零是函数在该点取得极值的必要而不充分条件【例 3】(2019北京卷)已知函数 f(x)14x3x2x.(1)求曲线 yf(x)的斜率为 1 的切线方程；(2)当 x2，4时，求证：x6f(x)x；(3)设 F(x)|f(x)(xa)|(aR)，记 F(x)在区间2，4上的最大值为 M(a)当 M(a)最小时，求 a 的值(1)解：由 f(x)14x3x2x 得 f(x)34x22x1.令 f(x)1，即34x22x11，得 x0 或 x83.又 f(0)0，f
11、 83 827，所以曲线 yf(x)的斜率为 1 的切线方程是 yx 与 y 827x83，即 yx 与 yx6427.(2)证明：令 g(x)f(x)x，x2，4由 g(x)14x3x2 得 g(x)34x22x.令 g(x)0 得 x0 或 x83.当 x 变化时，g(x)，g(x)的变化情况如下：x2(2，0)00，838383，44g(x)00g(x)6064270所以 g(x)的最小值为6，最大值为 0.故6g(x)0，即 x6f(x)x.(3)解：由(2)知，当 a3；当 a3 时，M(a)F(2)|g(2)a|6a3；当 a3 时，M(a)3.综上，当 M(a)最小时，a3.思维
12、升华1可导函数在极值点处的导数一定为零，但导数为零的点不一定是极值点，是极值点时也要注意是极大值点还是极小值点2求函数 f(x)在闭区间a，b的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值 f(a)，f(b)与 f(x)的各极值进行比较得到函数的最值变式训练 已知函数 f(x)ax1ln x(aR)(1)讨论函数 f(x)在定义域内的极值点的个数；(2)若函数 f(x)在 x1 处取得极值，x(0，)，f(x)bx2 恒成立，求实数 b 的最大值解：(1)f(x)的定义域为(0，)，f(x)a1xax1x.当 a0 时，f(x)0 在(0，)上恒成立，函数 f(x)在(0，)上单调递减所以
13、 f(x)在(0，)上没有极值点当 a0 时，由 f(x)0，得 0 x1a；由 f(x)0，得 x1a，所以 f(x)在0，1a 上单调递减，在1a，上单调递增，所以 f(x)在 x1a处有极小值综上，当 a0 时，f(x)在(0，)上没有极值点；当 a0 时，f(x)在(0，)上有一个极值点(2)因为函数 f(x)在 x1 处取得极值，所以 f(1)a10，则 a1，从而 f(x)x1ln x.因此 f(x)bx211xln xx b，令 g(x)11xln xx，则 g(x)ln x2x2，令 g(x)0，得 xe2，当 0 xe2 时，f(x)0；当 xe2 时，f(x)0.则 g(x)在(0，e2)上单调递减，在(e2，)上单调递增，所以 g(x)ming(e2)11e2，即 b11e2.故实数 b 的最大值是 11e2.
