1、课时作业(四十八)一、选择题1给出下列四个命题：若a与b是异面直线，b与c是异面直线，则a与c是异面直线若ab，b与c相交，则a与c相交若ab，ac则bc异面直线a、b在同一平面内的射影是相交的两条直线其中正确命题的个数是()A0个B1个C2个 D3个答案A2下列命题正确的是()A若a，b，则a与b是异面直线B若AB与CD是异面直线，则AC与BD也是异面直线C与异面直线a、b都垂直的直线有且只有一条D若a与b所成的角等于c与b所成的角，则ab答案B3右图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，BM与ED平行；CN与BE是异面直线；CN与BM成60角；DM与BN垂直以上四个命题中，正确命题的序号是
2、()A BC D答案C解析如图，把正方体的平面展开图还原到原来的正方体，显然BM与ED为异面直线，故命题不成立；而CN与BE平行，故命题不成立；又四个选项中仅有选项C不含，运用排除法，故应选C.4如果异面直线a与b所成的角为60，P为空间一定点，则过点P与a，b都成60角的直线有且仅有()A1条 B2条C3条 D4条答案C解析可过P点作aa，bb，则过点P与a，b都成60角的直线必与a，b也成60角，满足条件的直线与a，b共面的有1条，不共面的有2条，共3条，故选C.5若P是两条异面直线l、m外的任意一点，则()A过点P有且仅有一条直线与l、m都平行B过点P有且仅有一条直线与l、m都垂直C过点
3、P有且仅有一条直线与l、m都相交D过点P有且仅有一条直线与l、m都异面答案B解析对于选项A，若过点P有直线n与l，m都平行，则lm，这与l，m异面矛盾；对于选项B，过点P与l、m都垂直的直线，即过P且与l、m的公垂线段平行的那一条直线；对于选项C，过点P与l、m都相交的直线不止一条；对于选项D，过点P与l、m都异面的直线可能有无数条6(09全国)已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，E为AA1的中点，则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为()A. B.C. D.答案C解析如图，连结A1B，则A1BCD1故异面直线BE与CD1所成的角即为BE与A1B所成的角设ABa，则A1Ea，
4、A1Ba，BEa.A1BE中，由余弦定理得cosA1BE.7(2010厦门)正四面体PABC中，M为棱AB的中点，则PA与CM所成角的余弦值为()A. B.C. D.答案C解析如图，取PB的中点N，连结CN、MN，则CMN即为PA与CM所成的角(或补角)，设PA2，则CM，MN1，CN，cosCMN.二、填空题8如右图，正四面体DABC中，P面DBA，则在面DAB内过点P与直线BC成60的直线可作_条答案29在正方体ABCDA1B1C1D1中P为BD上一点，若B1P与CD所成的角为60，则_.答案1解析在平面ABCD中，作PQDC，交BC于Q，则B1PQ60.设正方体棱长为1，BPx，B1P，
5、PQx，B1Q在B1PQ中，B1Q2B1P2QP22B1PQPcosB1PQ即1x21x2x22x解得x1，1.10(08全国卷)等边三角形ABC与正方形ABDE有一公共边AB，二面角CABD的余弦值为，M、N分别是AC、BC的中点，则EM、AN所成角的余弦值等于_解析在线段AB、DE上分别取点G、H使AGAB，EHDE，取DE的中点F，连结MG、GH、MH、FN、AF，如图所示，设AB4，易知MGAB，GHAB，MGH是二面角CABD的平面角，即有cos MGH，MN綊EF，则四边形MNFE是平行四边形，故EM綊NF，ANF(或其补角)等于直线EM、AN所成的角，通过计算可得AN2，ME2N
6、F2EH2(MG2GH22MGGHcos MGH)12，即ME2，AF2422220，在ANF中，cos ANF，因此EM、AN所成角的余弦值为.三、解答题11如图，AB和CD是两条异面直线，BD是它们的公垂线，ABCD，M是BD的中点，N是AC的中点(1)求证：MNAC；(2)当ABCDa，BDb，ACc时，求MN的长解析(1)证明：连结AM、CM，BD是AB、CD的公垂线ABMCDM90，又ABCD，M是BD的中点，BMDM，RtABMRtCDMAMCM，由N是AC的中点知MNAC.(2)当ABCDa，BDb，ACc时，BMb，AN，AM|MN|.12如图所示，在四棱锥PABCD中，底面A
7、BCD是一直角梯形，BAD90，ADBC，ABBCa，AD2a，且PA底面ABCD，PD与底面成30角(1)若AEPD，E为垂足，求证：BEPD；(2)求异面直线AE与CD所成角的大小解析(1)PA平面ABCD，PAAB，再由ABAD，得AB平面PAD.ABPD.又AEPD，PD平面ABE，故BEPD.(2)如图所示，设G、H分别为ED、AD的中点，连结BH、HG、BG.DH綊CB，BHCD.G、H分别为ED、AD的中点，HGAE，则BHG或它的补角就是异面直线AE、CD所成的角而HGAEa.BHa，BG2BE2EG2AB2AE2EG2a2，在BHG中，由余弦定理可得cosBHG，BHGarc
8、cos.异面直线AE、CD所成角的大小为arccos.13(2011北京西城)如图所示，四棱锥SABCD中，平面SAC与底面ABCD垂直，侧棱SA、SB、SC与底面ABCD所成的角均为45，ADBC，且ABBC2AD.(1)求证：四边形ABCD是直角梯形；(2)求异面直线SB与CD所成角的大小；(3)求直线AC与平面SAB所成角的大小解析(1)作SOAC交AC于点O，连结OB，因为面SAC面ABCD，所以SO面ABCD，因为侧棱SA、SB、SC与底面ABCD所成的角均为45，所以SAOSBOSCO45，所以SAOSBOSCO，所以SASBSC，OAOBOC，所以AC是ABC外接圆的直径，所以A
9、BBC，又ADBC，ADBC，所以四边形ABCD是直角梯形(2)分别取BC中点M，SC中点N，连结AM，AN，MN，则MNSB，又ADBC，ADBCMC，所以，ADCM为平行四边形，所以AMDC，所以AMN是异面直线SB与CD所成角由(1)，SAO，SBO，SCO是全等的等腰直角三角形，ABBC，所以，SAC，BAC是全等的等腰直角三角形，设SOa，则MNSBa，AMa，因为AMAN，所以在等腰三角形AMN中，cosAMN.所以，异面直线SB与CD所成角为arccos.(3)取SB中点E，连结AE、CE、OE由(2)知AESB，CESB，所以，SB平面AEC，所以，平面SAB平面AEC，且交线就是AE，所以AC在平面SAB上面的射影是AE，所以CAE是AC与平面SAB所成的角在等腰直角三角形SOB中，E是SB的中点所以OESOAO，在RtAOE中，tanOAE，所以直线AC与平面SAB所成角的大小是arctan.
