1、上海市宝山区顾村中学2014-2015学年高二上学期期中数学试卷一、填空题（每题3分，共30分）1（3分）2和6的等差中项是2（3分）计算：=3（3分）2+3=4（3分）已知数列an前n项和Sn=2n2+n，则数列an 通项公式为5（3分）已知a1=2，an+1=2an+3，则a3=6（3分）不等式0的解集为7（3分）已知=（2，0），|=3，的夹角为60，则|2|=8（3分）已知向量=（x，2），=（3，5），与的夹角为钝角，则x的取值范围为9（3分）已知数列an为等比数列，且前n项和Sn=5n+t（t为实数），则t=10（3分）观察如图数表，根据数表中的变化规律，2013位于数表中的第行，
2、第列二、选择题（每题4分，共16分）11（4分）数列3，7，13，21，31，的一个通项公式是（）Aan=4n1Ban=n2+n+1Can=2+2nn2Dan=n（n21）12（4分）向量=（3，4），=（8，6），则，关系为（）A垂直B同向平行C反向平行D共线13（4分）已知数列an满足an=1+，则ak+1ak共有（）项A1BkC2kD2k+114（4分）在等比数列an中，a11，且前n项和Sn满足Sn=，那么a1的取值范围是（）A（1，+）B（1，4）C（1，2）D（1，）三、解答题（满分54分）15（8分）解关于x、y的二元一次方程组，并对解的情况进行讨论16（8分）已知数列an为等差
3、数列，满足：a3a7=16，a4+a6=0，求数列an的通项公式17（8分）已知=（m2）+2，=+（m+1）（其中、分别为x、y轴正方向的单位向量）（1）若m=2，求、的夹角；（2）若（+）（），求实数m的值18（10分）已知数列an中，an0（nN*），它的前n项和Sn如果an是一个首项为a，公比为q（q0）的等比数列，且Gn=a12+a22+a32+an2（nN*），求19（10分）已知|=|=1，与的夹角为120，与的夹角为30，|=5且=m+n，求实数m、n的值20（10分）已知数列的前n项和Sn（1）计算S1、S2、S3、S4；（2）猜想Sn的表达式，并用数学归纳法证明；（3）对于
4、任意的正整数n都有Snm，求实数m的取值范围上海市宝山区顾村中学2014-2015学年高二上学期期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（每题3分，共30分）1（3分）2和6的等差中项是4考点：等差数列 专题：等差数列与等比数列分析：直接利用等差中项公式求解即可解答：解：依据等差中项定义，易知，即2和6的等差中项是4故答案为：4点评：本题考查等差数列的应用，等差中项的求法，基础题2（3分）计算：=2考点：数列的极限 专题：点列、递归数列与数学归纳法分析：直接利用分式的法则与分母同除n2，然后利用数列极限的运算法则求解即可解答：解：=2故答案为：2点评：本题考查数列的极限的求法，基本知识的考查3
5、（3分）2+3=考点：矩阵变换的性质 专题：矩阵和变换分析：直接利用矩阵的运算法则求解即可解答：解：依据矩阵的线性运算法则，可得2+3=+=故答案为：点评：本题考查矩阵的运算法则的应用，基本知识的考查4（3分）已知数列an前n项和Sn=2n2+n，则数列an 通项公式为an=4n1考点：等差数列的通项公式 专题：计算题分析：根据数列an的前n项和Sn，表示出数列an的前n1项和Sn1，两式相减即可求出此数列的通项公式，然后把n=1代入也满足，故此数列为等差数列，求出的an即为通项公式解答：解：当n2时，有an=SnSn1=2n2+n2（n1）2（n1）=4n1；，而a1=S1=3适合上式，所以
6、：an=4n1故答案为：an=4n1点评：本题考查数列通项公式的求法，解题时要注意递推公式 的灵活运用5（3分）已知a1=2，an+1=2an+3，则a3=17考点：数列递推式 专题：等差数列与等比数列分析：直接代入递推关系式求出结果解答：解：已知a1=2，an+1=2an+3则：a2=2a1+3=7，a3=2a2+3=17故答案为：17点评：本题考查的知识要点：利用递推关系式求数列的各项的值6（3分）不等式0的解集为（，3）（，+）考点：二阶行列式的定义；其他不等式的解法 专题：计算题分析：利用行列式的性质与一元二次不等式的解法即可得出解答：解：=（2x3）（x+1）36=2x2x210，解
7、之得或x3不等式的解集为（，3）故答案为：（，3）点评：本题考查了行列式的性质与一元二次不等式的解法，属于基础题7（3分）已知=（2，0），|=3，的夹角为60，则|2|=考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 专题：平面向量及应用分析：利用向量的数量积运算和性质即可得出解答：解：=（2，0），又|=3，的夹角为60，=3|2|=故答案为：点评：本题考查了向量的数量积运算和性质，属于基础题8（3分）已知向量=（x，2），=（3，5），与的夹角为钝角，则x的取值范围为（，）（，+）考点：数量积表示两个向量的夹角 专题：平面向量及应用分析：由题意可得0，且 与不共线，可得 ，由此求得x的范围解答
8、：解：向量=（x，2），=（3，5），与的夹角为钝角，0，且 与不共线，所以有 ，解之x（，）（，+），故答案为：（，）（，+）点评：本题主要考查用两个向量的数量积表示两个向量的夹角，两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算，属于基础题9（3分）已知数列an为等比数列，且前n项和Sn=5n+t（t为实数），则t=1考点：等比数列的前n项和 专题：等差数列与等比数列分析：当n2时，易得an=45n1，当n=1时，a1=5+t，由题意当n=1时，an=45n1也应成立，代入可得t的方程，解方程可得解答：解：当n2时，an=SnSn1=（5n+t）（5n1+t）=45n1，当n=1时，a1=S1=
9、5+t，数列an为等比数列，当n=1时，an=45n1也应成立，4511=5+t，解得t=1故答案为：1点评：本题考查等比数列的前n项和公式，涉及分类讨论的思想，属基础题10（3分）观察如图数表，根据数表中的变化规律，2013位于数表中的第45行，第77列考点：等差数列的通项公式；数列的函数特性 专题：等差数列与等比数列分析：由数表中的变化规律，知第n行有2n1个连续自然数，1+3+5+（2451）=2025，1+3+5+（2441）=1936，由此能求出结果解答：解：由数表中的变化规律，知第n行有2n1个连续自然数，1+3+5+（2451）=2025，1+3+5+（2441）=1936，20
10、131936=77，2013位于数表中的第45行，第77列故答案为：45，77点评：本题考查数列的应用，解题时要认真审题，是基础题二、选择题（每题4分，共16分）11（4分）数列3，7，13，21，31，的一个通项公式是（）Aan=4n1Ban=n2+n+1Can=2+2nn2Dan=n（n21）考点：数列的概念及简单表示法 专题：等差数列与等比数列分析：由于a2a1=73=4，a3a2=137=6，a4a3=8，a5a4=10，利用an=a1+（a2a1）+（a3a2）+（anan1）即可得出解答：解：a2a1=73=4，a3a2=137=6，a4a3=8，a5a4=10，an=a1+（a2
11、a1）+（a3a2）+（anan1）=3+4+6+2n=1+=n2+n+1，n=1时也成立故选：B点评：本题考查了“累加求和”与等差数列的前n项和公式，属于基础题12（4分）向量=（3，4），=（8，6），则，关系为（）A垂直B同向平行C反向平行D共线考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系 专题：平面向量及应用分析：利用向量的数量积求解即可，也可以直接判断选项推出结果解答：解：因为向量=（3，4），=（8，6），则=2424=0，所以A正确快速排除B，C，D，语义重复，选择A故选：A点评：本题考查斜率的数量积的应用，向量平行条件的应用，基本知识的考查13（4分）已知数列an满足an=1+，则a
12、k+1ak共有（）项A1BkC2kD2k+1考点：数学归纳法 专题：点列、递归数列与数学归纳法分析：写出ak+1与ak即可推出结果解答：解：由于ak=1+，ak+1=1+，从而可得ak+1ak=+，所以ak+1ak共有2k+1项故选：D点评：本题是数学归纳法证明的一部分，基本知识的考查14（4分）在等比数列an中，a11，且前n项和Sn满足Sn=，那么a1的取值范围是（）A（1，+）B（1，4）C（1，2）D（1，）考点：极限及其运算 专题：计算题；压轴题分析：在等比数列an中，Sn=，由题意可知，=，再由a11，|q|1能够推导出a1的取值范围解答：解：由题意知Sn=，a12=1q，a11，
13、|q|1，1a122，故选D点评：本题考查数列的极限及其应用，解题时要注意掌握极限的逆运算三、解答题（满分54分）15（8分）解关于x、y的二元一次方程组，并对解的情况进行讨论考点：线性方程组解的存在性，唯一性 专题：计算题分析：先根据方程组中x，y的系数及常数项计算计算出D，Dx，Dy，下面对m的值进行分类讨论：（1）当m1，m1时，（2）当m=1时，（3）当m=1时，分别求解方程组的解即可解答：解：，（各（1分）共3分）（1）当m1，m1时，D0，方程组有唯一解，解为（2分），其中解1分）（2）当m=1时，D=0，Dx0，方程组无解；（2分）（3）当m=1时，D=Dx=Dy=0，方程组有无
14、穷多组解，此时方程组化为，令x=t（tR），原方程组的解为（tR）（2分），没写出解扣1分）点评：本小题主要考查二元一次方程组的矩阵形式、线性方程组解的存在性，唯一性、二元方程的解法等基础知识，考查运算求解能力与转化思想属于中档题16（8分）已知数列an为等差数列，满足：a3a7=16，a4+a6=0，求数列an的通项公式考点：等差数列的性质 专题：等差数列与等比数列分析：利用等差数列的性质结合已知求解a3和a7的值，进一步求得公差，代入等差数列的通项公式得答案解答：解：数列an为等差数列，且满足a4+a6=0，根据等差数列的性质，得a3+a7=0，又a3a7=16，或，当时，=，此时数列的通
15、项公式为an=2n+10；当时，=，此时数列的通项公式为an=2n10点评：本题考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的性质，是基础的计算题17（8分）已知=（m2）+2，=+（m+1）（其中、分别为x、y轴正方向的单位向量）（1）若m=2，求、的夹角；（2）若（+）（），求实数m的值考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系；数量积表示两个向量的夹角 专题：平面向量及应用分析：（1）当m=2时可得=（0，2），=（1，3），由夹角公式和反三角函数可得；（2）由题意易得+=（m1，m+3），=（m3，1m），由垂直可得（+）（）=0，解m的方程可得解答：解：（1）当m=2时，=（0，2），=（1
16、，3），设、的夹角为，cos=，=arccos；（2）=（m2，2），=（1，m+1），+=（m1，m+3），=（m3，1m），由（+）（）可得（+）（）=0，代入数据可得（m1）（m3）+（m+3）（1m）=0，解得m=1点评：本题考查平面向量的数量积和垂直关系，涉及向量的夹角和反三角函数，属基础题18（10分）已知数列an中，an0（nN*），它的前n项和Sn如果an是一个首项为a，公比为q（q0）的等比数列，且Gn=a12+a22+a32+an2（nN*），求考点：数列的极限；数列的求和 专题：等差数列与等比数列分析：数列亦为等比数列，且首项为，公比为q2，分类讨论，根据等比数列的求和公
17、式求得 的值，再利用数列极限的运算法则求得 的值解答：解：易知数列亦为等比数列，且首项为，公比为q2（1）当q=1时，Sn =na1=na，Gn=a12+a22+a32+an2 =na2，=（2）当q1时，=；当0q1时，=；当q1时，=0综上可得，当q=1时，=；当0q1时，=；当q1时，=0点评：本题主要考查等比数列的求和公式的应用，数列极限的运算法则的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题19（10分）已知|=|=1，与的夹角为120，与的夹角为30，|=5且=m+n，求实数m、n的值考点：向量在几何中的应用 专题：平面向量及应用分析：以O为原点建立直角坐标系，求出、向量，利用=m+
18、n列出方程组，即可求出m，n的值解答：解：如图所示建立直角坐标系，则=（1，0），=，=，由于=m+n，所以有：，解之故答案为：m=5，n5点评：本题考查向量在几何中的应用，正确建立坐标系能够使解答运算简便20（10分）已知数列的前n项和Sn（1）计算S1、S2、S3、S4；（2）猜想Sn的表达式，并用数学归纳法证明；（3）对于任意的正整数n都有Snm，求实数m的取值范围考点：数学归纳法；数列的求和 专题：计算题；点列、递归数列与数学归纳法分析：（1）利用条件，代入计算，可得S1、S2、S3、S4；（2）猜想Sn的表达式，运用数学归纳法证明步骤进行证明；（3）Sn=（1），随着n增大，Sn增加，但Sn，即可求实数m的取值范围解答：解：（1）S1=，S2=，S3=，S4=；（2）由（1）可以猜想Sn=当n=1时，显然成立；假设n=k，Sk=，当n=k+1时，Sk+1=Sk+ak+1=+=，说明n=k+1时，猜想也成立；综合，猜想Sn=成立（3）Sn=（1），随着n增大，Sn增加，但Sn，由于Snm对任意的正整数n成立，所以m即可点评：本题考查数列的通项与求和，考查数学归纳法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题
