1、专题五 解析几何 第 2 讲 椭圆、双曲线、抛物线1(2019全国卷)若抛物线 y22px(p0)的焦点是椭圆x23py2p1 的一个焦点，则 p()A2 B3 C4 D8解析：抛物线 y22px(p0)的焦点坐标为p2，0，椭圆x23py2p1 的焦点坐标为(2p，0)由题意得p2 2p，解得 p0(舍去)或 p8.答案：D2(2019全国卷)双曲线 C：x24 y221 的右焦点为F，点 P 在 C 的一条渐近线上，O 为坐标原点，若|PO|PF|，则PFO 的面积为()A.3 24B.3 22C2 2D3 2解析：双曲线x24 y221 的右焦点坐标为(6，0)，一条渐近线的方程为 y
2、22 x，不妨设点 P 在第一象限，由于|PO|PF|则点 P 的横坐标为 62，纵坐标为 22 62 32，因此PFO 的底边长为 6，高为 32，所以它的面积为12 6 32 3 24.答案：A3(2018全国卷)已知 F1，F2 是椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点，A 是 C 的左顶点，点 P 在过 A且斜率为 36 的直线上，PF1F2 为等腰三角形，F1F2P120，则 C 的离心率为()A.23 B.12 C.13 D.14解析：由题意可知椭圆的焦点在x轴上，如图所示，设|F1F2|2c.因为PF1F2 为等腰三角形，且F1F2P120，所以|PF2|F1F2|2
3、c.因为|OF2|c，过 P 作 PE 垂直 x 轴，则PF2E60，所以 F2Ec，PE 3c，即点 P(2c，3c)因为点 P 在过点 A 且斜率为 36 的直线上，所以3c2ca 36，解得ca14，所以 e14.答案：D4(2019全国卷)已知曲线 C：yx22，D 为直线 y12上的动点，过 D 作 C 的两条切线，切点分别为 A，B.(1)证明：直线 AB 过定点；(2)若以 E0，52 为圆心的圆与直线 AB 相切，且切点为线段 AB 的中点，求四边形 ADBE 的面积(1)证明：设 Dt，12，A(x1，y1)，则 x212y1.因为 yx，所以切线 DA 的斜率为 x1，故y
4、112x1tx1.整理得 2tx12y110.设 B(x2，y2)，同理可得 2tx22y210.故直线 AB 的方程为 2tx2y10.所以直线 AB 过定点0，12.(2)解：由(1)得直线 AB 的方程为 ytx12.由ytx12，yx22，可得 x22tx10.于是 x1x22t，x1x21，y1y2t(x1x2)12t21，|AB|1t2|x1x2|1t2（x1x2）24x1x22(t21)设 d1，d2 分别为点 D，E 到直线 AB 的距离，则 d1 t21，d22t21.因此，四边形 ADBE 的面积S12|AB|(d1d2)(t23)t21.设 M 为线段 AB 的中点，则
5、Mt，t212.因为EM AB，而EM(t，t22)，AB 与向量(1，t)平行，所以 t(t22)t0，解得 t0 或 t1.当 t0 时，S3；当 t1 时，S4 2.因此，四边形 ADBE 的面积为 3 或 4 2.1圆锥曲线的方程与几何性质是高考的重点，多以选择题、填空题或解答题的第一问的形式命题2直线与圆锥曲线的位置关系是命题的热点，尤其是有关弦长计算及存在性问题，运算量大，能力要求高，突出方程思想、转化化归与分类讨论思想方法的考查热点 1 圆锥曲线的定义与标准方程(自主演练)1圆锥曲线的定义(1)椭圆：|MF1|MF2|2a(2a|F1F2|)(2)双曲线：|MF1|MF2|2a(
6、2a|F1F2|)(3)抛物线：|MF|d(d 为点 M 到准线的距离)温馨提醒：应用圆锥曲线定义解题时，易忽视定义中隐含条件导致错误2圆锥曲线的标准方程(1)椭圆：x2a2y2b21(ab0)(焦点在 x 轴上)或y2a2x2b21(ab0)(焦点在 y 轴上)(2)双曲线：x2a2y2b21(a0，b0)(焦点在 x 轴上)或y2a2x2b21(a0，b0)(焦点在 y 轴上)(3)抛物线：y22px，y22px，x22py，x22py(p0)1(2019河南非凡联盟联考)已知双曲线 C：x2a2y291(a0)的左、右焦点分别为 F1、F2，一条渐近线与直线4x3y0 垂直，点 M 在
7、C 上，且|MF2|6，则|MF1|()A2 或 14 B2 C14 D2 或 10解析：由题意知3a34，故 a4，则 c5.由|MF2|6ac9，知点 M 在 C 的右支上由双曲线的定义知|MF1|MF2|2a8，所以|MF1|14.答案：C2(2019湖北“荆、荆、襄、宜”四地七校考试联盟联考)已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点分别为 F1，F2，离心率为12，过 F2 的直线与椭圆 C 交于 A，B 两点若F1AB 的周长为 8，则椭圆方程为()A.x24 y231 B.x216y2121C.x22 y21 D.x24 y221解析：由椭圆定义，F1AB 的周长为
8、4a，所以 4a8，a2.由于 eca12，得 c1，则 b23.故椭圆方程为x24 y231.答案：A3(2019广州一模)已知 F 为抛物线 C：y26x 的焦点，过点 F 的直线与 C 相交于 A、B 两点，且|AF|3|BF|，则|AB|()A6 B8 C10 D12解析：曲线 C：y26x 的焦点 F32，0，准线方程 x32.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为|AF|3|BF|，所以 x1323x232，则 x13x23.因为|y1|3|y2|，所以 x19x2.由，得 x192，x212，故|AB|x1x238.答案：B4(2018天津卷)已知双曲线x2a2y2b21(
9、a0，b0)的离心率为 2，过右焦点且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A，B 两点设 A，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为 d1 和 d2，且 d1d26，则双曲线的方程为()A.x24 y2121 B.x212y241C.x23 y291 D.x29 y231解析：由 d1d26，得双曲线的右焦点到渐近线的距离为 3，所以 b3.因为双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的离心率为 2，所以ca2，所以a2b2a24，所以a29a2 4，解得 a23，所以双曲线的方程为x23 y291.答案：C思维升华1题目求解的关键在于准确把握圆锥曲线的定义和标准方程，另外焦点在不同坐标轴上，曲线
10、方程有不同的表示形式2求解圆锥曲线的标准方程的方法是“先定型，后计算”所谓“定型”，就是指确定类型，所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的 a2，b2，p 的值，最后代入写出椭圆、双曲线、抛物线的标准方程热点 2 圆锥曲线的几何性质1椭圆、双曲线中 a，b，c 之间的关系(1)在椭圆中：a2b2c2；离心率为 eca1b2a2.(2)在双曲线中：c2a2b2；离心率为 e ca1b2a2.2双曲线的渐近线(1)双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的渐近线方程 ybax.(2)双曲线y2a2x2b21(a0，b0)的渐近线方程 yabx.3抛物线的焦点坐标与准线方程(1)抛物线 y22
11、px(p0)的焦点 Fp2，0，准线方程 xp2.(2)抛物线 x22py(p0)的焦点 F0，p2，准线方程 yp2.【例 1】(1)(一题多解)(2018全国卷)已知双曲线C：x2a2y2b21(a0，b0)的离心率为 2，则点(4，0)到C 的渐近线的距离为()A.2 B2 C.3 22 D2 2(2)(2019衡水中学检测)设 F1，F2 分别是椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点，点 P 在椭圆 C 上，且|PF1|3|PF2|，若线段 PF1 的中点恰在 y 轴上，则椭圆的离心率为()A.33B.36C.22 D.12解析：(1)法 1：由 eca 2，得 c 2a.
12、又 b2c2a2，得 ba，所以双曲线 C 的渐近线方程为 yx.点(4，0)到 C 的渐近线的距离为4112 2.法 2：离心率 e 2的双曲线是等轴双曲线，其渐近线方程是 yx，所以点(4，0)到 C 的渐近线的距离为4112 2.(2)由|PF1|PF2|2a，且|PF1|3|PF2|，所以|PF1|3a2，|PF2|a2.因为线段 PF1 的中点在 y 轴上，且 O 为 F1F2 的中点，所以 PF2y 轴，得PF2F190，所以a22(2c)23a22，则 a 2c.因此离心率 eca 22.答案：(1)D(2)C思维升华1确定椭圆和双曲线的离心率的值及范围，其关键就是确立一个关于
13、a，b，c 的方程(组)或不等式(组)，再根据 a，b，c 的关系消掉 b 得到 a，c 的关系式建立关于 a，b，c 的方程(组)或不等式(组)，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等2求双曲线渐近线方程关键在于求ba或ab的值，也可将双曲线等号右边的“1”变为“0”，然后因式分解得到变式训练(1)已知椭圆 C：y2a2x2161(a4)的离心率是 33，则椭圆 C 的焦距是()A2 2B2 6 C4 2 D4 6(2)(2019全国卷)已知双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F1 的直线与 C 的两条渐近线分别交于 A，B 两点若F1
14、A AB，F1B F2B 0，则 C 的离心率为_解析：(1)由 eca 33，得 a 3c.所以 c2a2b23c216，所以 c28.因此焦距 2c4 2.(2)由F1A AB，得 A 为 F1B 的中点又因为 O 为 F1F2 的中点，所以 OABF2.又F1B F2B 0，所以F1BF290.所以 OF2OB，所以OBF2OF2B.又因为F1OABOF2，F1OAOF2B.所以BOF2OF2BOBF2，所以OBF2 为等边三角形如图所示，不妨设 B 为c2，32 c.因为点 B 在直线 ybax 上，所以ba 3，所以离心率 eca2.答案：(1)C(2)2热点 3 直线与圆锥曲线的位
15、置关系(多维探究)1判定直线与圆锥曲线的位置关系主要有代数法与几何法2弦长问题(1)直线与圆锥曲线相交的弦长设而不求，利用根与系数的关系，进行整体代入即当斜率为 k，直线与圆锥曲线交于 A(x1，y1)，B(x2，y2)时，|AB|1k2|x1x2|1k2（x1x2）24x1x2.(2)过抛物线焦点的弦长抛物线 y22px(p0)过焦点 F 的弦 AB，若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x2p24，y1y2p2，弦长|AB|x1x2p.角度 直线与圆锥曲线的位置关系【例 2】(2019全国卷)已知 F1，F2 是椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的两个焦点，P 为 C 上的点
16、，O 为坐标原点(1)若POF2 为等边三角形，求 C 的离心率；(2)如果存在点 P，使得 PF1PF2，且F1PF2 的面积等于 16，求 b 的值和 a 的取值范围解：(1)连接 PF1，由于POF2 为等边三角形，所以在F1PF2 中，易知F1PF290，|PF2|c，|PF1|3c.于是 2a|PF1|PF2|(31)c.故曲线 C 的离心率 eca231 31.(2)由题意可知，满足条件的点 P(x，y)存在当且仅当12|y|2c16，yxc yxc1，x2a2y2b21，即 c|y|16，x2y2c2，x2a2y2b21.由及 a2b2c2 得 y2b4c2.又由知 y2162c
17、2，故 b4.由及 a2b2c2 得 x2a2c2(c2b2)，所以 c2b2，从而 a2b2c22b232，故 a4 2.当 b4，a4 2时，存在满足条件的点 P.所以 b4，a 的取值范围为4 2，)思维升华1(1)本题充分利用三角形的性质与椭圆的定义寻找a 与 c 的关系，从而求得离心率(2)第(2)问设出点 P 的坐标，根据直线垂直、面积为定值，列出关于 a，b，c的关系式，进而求得 b 的值和 a 的取值范围2判断直线与圆锥曲线的交点个数时，可直接求解相应方程组得到交点坐标，也可利用消元后的一元二次方程的判别式来确定，需注意利用判别式的前提是二次项系数不为 0.并且解题时注意应用根
18、与系数的关系及设而不求、整体代换的技巧变式训练 在直角坐标系 xOy 中，直线 l：yt(t0)交 y 轴于点 M，交抛物线 C：y22px(p0)于点 P，M 关于点 P 的对称点为 N，连接 ON 并延长交 C 于点 H.(1)求|OH|ON|；(2)除 H 以外，直线 MH 与 C 是否有其他公共点？说明理由解：(1)如图，由已知得 M(0，t)，Pt22p，t，又 N 为 M 关于点 P 的对称点，故 Nt2p，t，故直线 ON 的方程为 yptx，将其代入 y22px 整理得 px22t2x0，解得 x10，x22t2p，因此 H2t2p，2t.所以 N 为 OH 的中点，即|OH|
19、ON|2.(2)直线 MH 与 C 除 H 以外没有其他公共点，理由如下：直线 MH 的方程为 ytp2tx，即 x2tp(yt)代入 y22px 得 y24ty4t20，解得 y1y22t，即直线 MH 与 C 只有一个公共点，所以除 H 以外，直线 MH 与 C 没有其他公共点角度 有关弦的中点、弦长问题【例 3】(2019全国卷)已知抛物线 C：y23x 的焦点为 F，斜率为32的直线 l 与 C 的交点为 A，B，与 x轴的交点为 P.(1)若|AF|BF|4，求 l 的方程；(2)若AP3PB，求|AB|.解：设直线 l：y32xt，A(x1，y1)，B(x2，y2)(1)由题设得
20、F34，0，故|AF|BF|x1x232.又|AF|BF|4，所以 x1x252.由y32xt，y23x，可得 9x212(t1)x4t20，则 x1x212（t1）9.从而12（t1）952，得 t78.所以 l 的方程为 y32x78.(2)由AP3PB可得 y13y2.由y32xt，y23x可得 y22y2t0，所以 y1y22.由，联立，得 y13，且 y21.代入曲线 C 的方程得 x13，x213.故|AB|（x1x2）2（y1y2）24 133.思维升华1在涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系与弦长公式|AB|1k2|x2x1|，设而不求计算弦长；涉及过焦点的弦的问题，可考
21、虑用圆锥曲线的定义求解，以简化运算2对于弦的中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解，在使用根与系数的关系时，要注意使用条件0，在用“点差法”时，要检验直线与圆锥曲线是否相交变式训练(2019广东惠州三调)已知椭圆 E的一个顶点为 A(0，1)，焦点在 x 轴上，椭圆的右焦点到直线 xy2 20 的距离是 3.(1)求椭圆 E 的方程；(2)设过点 A 的直线 l 与该椭圆交于另一点 B，当弦AB 的长度最大时，求直线 l 的方程解：(1)由题意，知 b1.因为右焦点(c，0)(c0)到直线 xy2 20 的距离d|c2 2|23，所以 c 2，所以 a b2c2 3，因为椭圆 E 的焦点在 x 轴上，所以椭圆 E 的方程为x23 y21.(2)当直线 l 的斜率不存在时，|AB|2.当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 ykx1(k0)，联立得ykx1，x23 y21，消去 y 得(13k2)x26kx0，因为 xA0，所以 xB6k13k2，则|AB|1k2 6|k|13k2，|AB|236k2（1k2）（13k2）2，令 t13k2，t(1，)，则|AB|2421t21t1，所以，当1t14，即 k21，亦即 k1 时，|AB|2 取得最大值92.即|AB|的最大值为3 22.综上，|AB|的最大值为3 22，此时直线 l 的方程为 yx1 或 yx1.
