1、专题八 选修4系列 8.1 坐标系与参数方程(选修44)-3-试题统计 题型 命题规律 复习策略(2013 全国,理 23)(2013 全国,理 23)(2014 全国,理 23)(2014 全国,理 23)(2015 全国,理 23)(2015 全国,理 23)(2016 全国,理 23)(2016 全国,理 23)(2016 全国,理 23)(2017 全国,理 22)(2017 全国,理 22)(2017 全国,理 22)解答题 从近五年的高考试题来看,该部分的试题是综合性的,题目中既有极坐标的问题,又有参数方程的问题.考查的重点有:极坐标与直角坐标、参数方程与普通方程的互化;在备考中,
2、一要熟记参数方程与普通方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化公式,熟练掌握直线与圆的参数方程与极坐标方程,熟记常用抛物线、椭圆的参数方程.-4-试题统计 题型 命题规律 复习策略 已知直线或曲线的参数方程或极坐标方程,求点的坐标、两点间的距离、距离的范围或最值、求动点的轨迹方程等.二要抓住考查的主要题目类型进行训练,重点是极坐标与直角坐标、参数方程与普通方程的互化;参数方程及其应用;极坐标方程与参数方程的综合应用.-5-命题热点一 命题热点二 命题热点三 求直线或曲线的极坐标方程和参数方程【思考】如何求直线、曲线的极坐标方程和参数方程?例1在直角坐标系xOy中,直线C1:x=-2,圆C2:(x-
3、1)2+(y-2)2=1,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求C1,C2的极坐标方程;(2)若直线C3的极坐标方程为=(R),设C2与C3的交点为M,N,求C2MN的面积.解析 解析 关闭解：(1)因为 x=cos,y=sin,所以 C1 的极坐标方程为 cos=-2,C2 的极坐标方程为 2-2cos-4sin+4=0.(2)将=4代入 2-2cos-4sin+4=0,得 2-3 2+4=0,解得 1=2 2,2=2.故 1-2=2,即|MN|=2.因为 C2 的半径为 1,所以C2MN 的面积为12.-6-命题热点一 命题热点二 命题热点三 题后反思1.对于几个特殊位
4、置的直线与圆的极坐标方程要熟记,在求直线与圆的极坐标方程时,可直接应用记忆的结论;熟记常用的直线的参数方程与抛物线、椭圆的参数方程,如果已知它们的普通方程,在求参数方程时,可以直接应用记忆的结论.2.求解与极坐标方程有关的问题时,可以转化为熟悉的直角坐标方程求解.若最终结果要求用极坐标方程表示,则需将直角坐标方程转化为极坐标方程.3.求一般的直线和曲线的极坐标方程时,先建立极坐标系,再设直线或曲线上任一点的极坐标为(,),根据已知条件建立关于,的等式,化简后即为所求的极坐标方程.-7-命题热点一 命题热点二 命题热点三 对点训练1将圆x2+y2=1上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的2倍
5、,得曲线C.(1)写出C的参数方程;(2)设直线l:2x+y-2=0与C的交点为P1,P2,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程.解：(1)设(x1,y1)为圆上的点,在已知变换下变为曲线C上的点(x,y),依题意,得 =1,=21.由12+12=1,得 x2+2 2=1,即曲线 C 的方程为 x2+24=1.故 C 的参数方程为 =cos,=2sin(t 为参数).-8-命题热点一 命题热点二 命题热点三(2)由 2+24=1,2+-2=0,解得 =1,=0 或 =0,=2.不妨设 P1(1,0),P2(0,2),则线段 P1P2
6、 的中点坐标为 12,1,所求直线斜率为 k=12,于是所求直线方程为 y-1=12 -12,化为极坐标方程并整理,得 2cos-4sin=-3,即=34sin-2cos.-9-命题热点一 命题热点二 命题热点三 极坐标方程与直角坐标方程、参数方程与普通方程的互化【思考】如何进行直线和曲线的极坐标方程与直角坐标方程、参数方程与普通方程间的互化?例2(2017全国,理22)在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为cos=4.(1)M为曲线C1上的动点,点P在线段OM上,且满足|OM|OP|=16,求点P的轨迹C2的直角坐标方程;(2)设点A的极
7、坐标为,点B在曲线C2上,求OAB面积的最大值.2,3 -10-命题热点一 命题热点二 命题热点三 解:(1)设 P 的极坐标为(,)(0),M 的极坐标为(1,)(10).由题设知|OP|=,|OM|=1=4cos.由|OM|OP|=16 得 C2 的极坐标方程=4cos(0).因此 C2 的直角坐标方程为(x-2)2+y2=4(x0).(2)设点 B 的极坐标为(B,)(B0).由题设知|OA|=2,B=4cos,于是OAB 面积S=12|OA|BsinAOB=4cos sin -3 =2 sin 2-3-32 2+3.当=-12时,S 取得最大值 2+3.所以OAB 面积的最大值为 2+
8、3.-11-命题热点一 命题热点二 命题热点三 题后反思1.将参数方程化为普通方程的过程就是消去参数的过程,常用的消参方法有代入消参、加减消参和三角恒等式消参等,往往需要对参数方程进行变形,为消去参数创造条件.2.若极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合,极轴与x轴正半轴重合,两坐标系的长度单位相同,则极坐标方程与直角坐标方程可以互化.设M是平面内的任意一点,它的直角坐标、极坐标分别为(x,y)和(,),则 =cos,=sin,2=2+2,tan=,0.-12-命题热点一 命题热点二 命题热点三 对点训练 2 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1的参数方程为 =3cos,=sin(为参数).以坐
9、标原点为极点,以 x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线 C2的极坐标方程为 sin +4=2 2.(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程;(2)设点P在C1上,点Q在C2上,求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标.解析 解析 关闭解：(1)C1 的普通方程为23+y2=1.C2 的直角坐标方程为 x+y-4=0.(2)由题意,可设点 P 的直角坐标为(3cos,sin).因为 C2 是直线,所以|PQ|的最小值即为 P 到 C2 的距离 d()的最小值,d()=|3cos+sin-4|2=2 sin +3-2.当且仅当=2k+6(kZ)时,d()取得最小值,最小值为 2,此时 P 的直
10、角坐标为 32,12.-13-命题热点一 命题热点二 命题热点三 参数方程与极坐标方程的应用【思考】求解参数方程与极坐标方程应用问题的一般思路是什么?例 3(2017 全国,理 22)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为 =3cos,=sin(为参数),直线 l 的参数方程为 =+4,=1-(t 为参数).(1)若 a=-1,求 C 与 l 的交点坐标;(2)若 C 上的点到 l 距离的最大值为 17,求 a.-14-命题热点一 命题热点二 命题热点三 解:(1)曲线 C 的普通方程为29+y2=1.当 a=-1 时,直线 l 的普通方程为 x+4y-3=0.由 +4-3=0,29
11、+2=1,解得 =3,=0 或 =-2125,=2425.从而 C 与 l 的交点坐标为(3,0),-2125,2425.(2)直线 l 的普通方程为 x+4y-a-4=0,故 C 上的点(3cos,sin)到l 的距离为 d=|3cos+4sin-4|17.当 a-4 时,d 的最大值为+9 17.由题设得+9 17=17,所以 a=8;当 a-4 时,d 的最大值为-+1 17.由题设得-+1 17=17,所以 a=-16.综上,a=8 或 a=-16.-15-命题热点一 命题热点二 命题热点三 题后反思对于极坐标和参数方程的问题,既可以通过极坐标和参数方程来解决,也可以通过直角坐标解决,
12、但大多数情况下,把极坐标问题转化为直角坐标问题,把参数方程转化为普通方程更有利于在一个熟悉的环境下解决问题.这样可以减少由于对极坐标和参数方程理解不到位造成的错误.-16-命题热点一 命题热点二 命题热点三 对点训练 3(2017 全国,理 22)在直角坐标系 xOy 中,直线 l1 的参数方程为 =2+,=(t 为参数),直线 l2 的参数方程为 =-2+,=(m 为参数).设 l1 与 l2 的交点为 P,当 k 变化时,P 的轨迹为曲线 C.(1)写出 C 的普通方程;(2)以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,设l3:(cos+sin)-2=0,M 为 l3 与 C 的交点
13、,求 M 的极径.-17-命题热点一 命题热点二 命题热点三 解:(1)消去参数 t 得 l1 的普通方程 l1:y=k(x-2);消去参数 m 得 l2的普通方程 l2:y=1(x+2).设 P(x,y),由题设得 =(-2),=1(+2).消去 k 得 x2-y2=4(y0).所以 C 的普通方程为 x2-y2=4(y0).(2)C 的极坐标方程为 2(cos2-sin2)=4(0b0)的参数方程为 =cos,=sin(为参数);(4)抛物线 y2=2px(p0)的参数方程为 =22,=2(t 为参数).-20-规律总结 拓展演练 3.在与直线、圆、椭圆有关的题目中,参数方程的使用会使问题
14、的解决事半功倍,尤其是求取值范围和最值问题,可将参数方程代入相关曲线的普通方程中,根据参数的取值条件求解.4.在平面解析几何中,有些点的轨迹问题,用直角坐标方法求它的方程有时会遇到困难,如果适当地采用极坐标法来处理,求它的极坐标方程会使问题变得简单些.求轨迹的极坐标方程所用的方法与在直角坐标系里所用的方法基本上相同.-21-规律总结 拓展演练 1.已知圆 C 的极坐标方程为 2+2 2sin-4-4=0,求圆 C 的半径.答案 答案 关闭以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点 O,以极轴为 x轴的正半轴,建立直角坐标系 xOy.圆 C 的极坐标方程为 2+2 2 22 sin-22 cos-4
15、=0,化简,得2+2sin-2cos-4=0.则圆 C 的直角坐标方程为 x2+y2-2x+2y-4=0,即(x-1)2+(y+1)2=6,所以圆 C 的半径为 6.-22-规律总结 拓展演练 2.在平面直角坐标系 xOy 中,已知直线 l 的参数方程为 =1+12,=32(t 为参数),椭圆 C 的参数方程为 =cos,=2sin(为参数).设直线 l 与椭圆 C 相交于 A,B 两点,求线段 AB 的长.答案 答案 关闭椭圆 C 的普通方程为 x2+24=1.将直线 l 的参数方程 =1+12,=32 代入 x2+24=1,得 1+12 2+32 24=1,即 7t2+16t=0,解得 t
16、1=0,t2=-167.所以 AB=|t1-t2|=167.-23-规律总结 拓展演练 3.设直线 l 的参数方程为 =32+sin 56,=-cos 6(t 为参数),若以直角坐标系 xOy 的 O 点为极点,Ox 轴为极轴,选择相同的长度单位建立极坐标系,得曲线 C 的极坐标方程为=6cossin2.(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程,并指出曲线是什么曲线;(2)若直线l与曲线C交于A,B两点,求|AB|.答案 答案 关闭(1)由=6cos sin2,得 sin2=6cos,2sin2=6cos,y2=6x.曲线 C 表示顶点在原点,焦点在 x 轴上的抛物线.(2)将 =32+sin56,=-cos6化为 =32+12,=-32,代入 y2=6x 得 t2-4t-12=0(*),|AB|=|t1-t2|=(2+1)2-412=42-4 (-12)=8.或由(*)式解得 t1=6,t2=-2,|AB|=|t1-t2|=8.
