1、学业水平考试模拟测试卷(一)(时间：90分钟满分：100分)一、选择题(本大题共15小题，每小题4分，满分60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1复数z12i，是z的共轭复数，则复平面内复数z1对应的点所在象限为()A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限解析：因为z12i，所以zi|z|2i5i，则复平面内复数zi对应的点为(5，1)，所在象限为第四象限故选D.答案：D2数轴上到A(1)，B(2)两点距离之和等于1的点的集合为()A0，3 B0，1，2，3 C1，2 Dx|1x2解析：如图所示，因为|AB|1，所以到A(1)，B(2)两点距离之和等于1的点的集合为线段AB
2、.所以点的集合为x|1x2，故选D.答案：D 3函数f(x)的单调增区间是()A(，1) B(1，) C(，1)，(1，)D(，1)，(1，)解析：f(x)1；所以f(x)的图象是由y的图象沿x轴向右平移1个单位，然后沿y轴向下平移一个单位得到；而y的单调增区间为(，0)，(0，)；所以f(x)的单调增区间是(，1)，(1，)故选C.答案：C 4如果圆C：(xa)2(y3)25的一条切线的方程为y2x，那么a的值为()A4或1 B1或4 C1或4 D1或4解析：由题意，圆心到直线的距离d，所以a1或4，故选B.答案：B 5下列函数中在区间(0，)上单调递增的是()Aysin x Byx2 Cy
3、log3x Dy解析：ysin x为周期是2的周期函数，在(0，)上不单调，故排除A；yx2在(0，)上单调递减，故排除B；y在(0，)上单调递减，故排除D；ylog3x在(0，)上单调递增，故选C.答案：C 6设向量a(x1，1)，b(3，x1)，则a与b一定不是()A平行向量 B垂直向量 C相等向量 D相反向量解析：由向量a(x1，1)，b(3，x1)，假设ab，则无解，所以ab，故选C.答案：C 7若a、b是任意实数，且ab，则下列不等式成立的是()Aa2b2 B.1 Clg(ab)0 D.解析：由题意a、b是任意实数，且ab，由于0ab时，有a2b2成立，故A不对；由于当a0时，1无意
4、义，故B不对；由于0ab1是存在的，故lg(ab)0不一定成立，所以C不对；由于函数y是一个减函数，当ab时一定有成立，故D正确综上，D选项是正确选项故选D.答案：D8已知sin，则sin 2x的值为()A B. C. D.解析：因为sin(sin xcos x)，所以sin xcos x，两边平方得，(sin xcos x)2sin2x2sin xcos xcos2x1sin 2x，则sin 2x.故选B.答案：B9若实数x，y满足则的取值范围是()A(0，2) B(0，2) C(2，) D.解析：不等式组当取得点(2，3)时，取得最小值为，所以答案为，故选D.答案：D10等差数列an中，a
5、1，a2a54，an33，则n等于()A48 B49 C50 D51解析：因为a2a52a15d4，又a1，所以d，所以ana1(n1)d(n1)33，所以n50.故选C.答案：C 11已知a0，b0，ab2，则y的最小值是()A. B4 C. D5解析：依题意得(ab)，当且仅当时，即a，b时取等号，即的最小值是，选C.答案：C12若点A在点C的北偏东30，点B在点C的南偏东60，且ACBC，则点A在点B的()A北偏东15 B北偏西15 C北偏东10 D北偏西10解析：如图答案：B 13同时抛掷三枚均匀的硬币，出现均为正面的概率是()A. B. C. D.解析：同时抛掷三枚均匀的硬币，基本事
6、件有(正，正，正)，(正，正，反)，(反，反，反)共8个，而出现均为正面的事件为(正，正，正)故其概率为.答案：A 14已知a，b，cR，命题“若abc3，则a2b2c23”的否命题是()A若abc3，则a2b2c23 B若abc3，则a2b2c23C若abc3，则a2b2c23 D若abc3，则a2b2c23解析：abc3的否定是abc3，a2b2c23的否定是a2b2c23.答案：A 15设实数x，y满足不等式组若x，y为整数，则3x4y的最小值是()A14 B16 C17 D19解析：线性区域边界上的整点为(3，1)，因此最符合条件的整点可能为(4，1)或(3，2)，对于点(4，1)，3
7、x4y344116；对于点(3，2)，3x4y334217，因此3x4y的最小值为16.答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，满分16分)16课题组进行城市空气质量调查，按地域把24个城市分成甲、乙、丙三组，对应的城市数分别为4，12，8，若用分层抽样抽取6个城市，则丙组中应抽取的城市数为_解析：由已知得抽样比为，所以丙组中应抽取的城市数为82.答案：217某中学为了解学生数学课程的学习情况，在3 000名学生中随机抽取200名，并统计这200名学生的某次数学考试成绩，得到了样本的频率分布直方图(如图)根据频率分布直方图推测，这3 000名学生在该次数学考试中成绩小于60分的学生数是
8、_解析：根据样本的频率分布直方图，成绩小于60分的学生的频率为(0.0020.0060.012)100.20，所以可推测3 000名学生中成绩小于60分的人数为600名答案：60018若椭圆1的焦点在x轴上，过点作圆x2y21的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是_解析：由题可设斜率存在的切线的方程为yh(x1)(h为切线的斜率)即2kx2y2k10，由1，解得h，所以圆x2y21的一条切线方程为3x4y50，求得切点A，易知另一切点B(1，0)，则直线AB的方程为y2x2.令y0得右焦点为(1，0)，令x0得上顶点为(0，2)故c1，b2.所以a2b2c
9、25，故所求椭圆方程为1.答案：119已知向量m(cos xsin x，cos x)，n(cos xsin x，2sin x)，其中0.设函数f(x)mn，且函数f(x)的最小正周期为，则的值为_解析：因为m(cos xsin x，cos x)，n(cos xsin x，2sin x)，所以f(x)mncos2xsin2x2cos xsin xcos 2xsin 2x2sin.所以f(x)2sin.因为函数f(x)的最小正周期为，所以T，所以1.答案：1三、解答题(本大题共2小题每小题12分，满分24分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤)20(12分)ABC的内角A、B、C的对边分别为a，
10、b，c，asin Acsin Casin Cbsin B.(1)求B；(2)若A75，b2，求a、c.解：(1)由正弦定理得a2c2acb2.由余弦定理得b2a2c22accos B.故cos B，又0B180，因此B45.(2)sin Asin(3045)sin 30cos 45cos 30sin 45.故ab1，cb2.21.(12分)如图所示，已知PA矩形ABCD所在平面，M，N分别是AB，PC的中点(1)求证：MNCD；(2)若PDA45，求证：MN平面PCD.证明：(1)如图，连接AC，AN，BN，因为PA平面ABCD，所以PAAC，在RtPAC中，N为PC中点，所以ANPC.因为PA平面ABCD，所以PABC，又BCAB，PAABA，所以BC平面PAB，所以BCPB，从而在RtPBC中，BN为斜边PC上的中线，所以BNPC.所以ANBN，所以ABN为等腰三角形，又M为底边的中点，所以MNAB，又因为ABCD，所以MNCD.(2)连结PM、MC，因为PDA45，PAAD，所以APAD.因为四边形ABCD为矩形，所以ADBC，所以PABC.又因为M为AB中点，所以AMBM.而PAMCBM90，所以PMCM.又N为PC的中点，所以MNPC.由(1)知，MNCD，PCCDC，所以MN平面PCD.第 10 页
