1、广东省中山市2020-2021学年高一数学下学期期末考试统一考试试题（含解析）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知向量，则（ ）A.2B.3C.7D.82在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若c2acosB，则ABC的形状是（）A锐角三角形 B等腰三角形 C等腰或直角三角形 D直角三角形3某水平放置的OAB用斜二测画法得到如图所示的直观图OAB，若OBAB，则OAB中（）AOBA90BOBBACOBOADOBOA4上世纪末河南出土的以鹤的尺骨（翅骨）制成的“骨笛”（图1），充分展示了我国古代高超的音律艺术及先
2、进的数学水平，也印证了我国古代音律与历法的密切联系图2为骨笛测量春（秋）分”，“夏（冬）至”的示意图图3是某骨笛的部分测量数据（骨笛的弯曲忽略不计），夏至（或冬至）日光（当日正午太阳光线）与春秋分日光（当日正午太阳光线）的夹角等于黄赤交角由历法理论知，黄赤交角近1万年持续减小，其正切值及对应的年代如表：黄赤交角23412357241324282444正切值0.4390.4440.4500.4550.461年代公元元年公元前2000年公元前4000年公元前6000年公元前8000年根据以上信息，通过计算黄赤交角，可估计该骨笛的大致年代是（）A公元前2000年到公元元年B公元前4000年到公元前2
3、000年C公元前6000年到公元前4000年D早于公元前6000年5已知m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A若m，mn，n，则B若mn，n，则mC若mn，m，n，则D若m，n，m，n，则62020年4月21日，习近平总书记在学校考察调研时提出“文明其精神，野蛮其体魄”，“野蛮其体魄”就是强身健体青少年的体质状况不仅关乎个人成长和家庭幸福，也关乎国家未来和民族希望，为落实国家学生体质健康标准达标测试工作，全面提升学生的体质健康水平，某校在高二年级随机抽取部分男生，测试立定跳远项目，依据测试数据绘制了如图所示的频率分布直方图已知立定跳远200cm以上成绩为及格，25
4、5cm以上成绩为优秀，根据图中的样本数据估计该校高二年级男生立定跳远项目的及格率和优秀率分别是（）A72.5%，5%B78.75%，10%C72.5%，10%D78.75%，5%7气象意义上从春季进入夏季的标志为“连续5天的日平均温度均不低于22”现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据（记录数据都是正整数，单位：）：甲地：5个数据的中位数为24，极差不超过2；乙地：5个数据的中位数为27，总体均值为24；丙地：5个数据中有1个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.8其中肯定进入夏季的地区有（）ABCD8正多面体各个面都是全等的正多边形，其中，面数最少的是正四面体，面数最多的是正
5、二十面体，它们被称为柏拉图多面体（PlatonicSolids）某些病毒，如疱疹病毒就拥有正二十面体的外壳正二十面体是由20个等边三角形所组成的正多面体已知多面体满足：顶点数棱数+面数2，则正二十面体的顶点的个数为（）A30B20C12D10二、选择题：本大题共4小题，每小题5分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.对于任意非零向量，下列命题正确的是（ ）A.若，则B.若，则C.若，则 D.若，则10在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且（a+b）：（a+c）：（b+c）9：10：11，则下列结论正确的是（）AsinA
6、：sinB：sinC4：5：6BABC是钝角三角形CABC的最大内角是最小内角的2倍D若c6，则ABC外接圆半径为11为了解中学生课外阅读情况，现从某中学随机抽取200名学生，收集了他们一年内的课外阅读量（单位：本）等数据，以下是根据数据绘制的统计图表的一部分阅读量人数学生类别0，10）10，20）20，30）30，40）40，+）性别男73125304女82926328学段初中25364411高中下面推断合理的是（）A这200名学生阅读量的平均数可能是26本B这200名学生阅读量的75%分位数在区间30，40）内C这200名学生中的初中生阅读量的中位数一定在区间20，30）内D这200名学生
7、中的初中生阅读量的25%分位数可能在区间20，30）内12蜂巢是由工蜂分泌蜂蜡建成的从正面看，蜂巢口是由许多正六边形的中空柱状体连接而成，中空柱状体的底部是由三个全等的菱形面构成，菱形的一个角度是10928，这样的设计含有深刻的数学原理我国著名数学家华罗庚曾专门研究蜂巢的结构，著有谈谈与蜂房结构有关的数学问题，用数学的眼光去看蜂巢的结构，如图1在正六棱柱ABCDEFABCDE的三个顶点A，C，E处分别用平面BFM，平面BDO，平面DFN截掉三个相等的三棱锥MABF，OBCD，NDEF，平面BFM，平面BDO，平面DFN交于点P，就形成了蜂巢的结构如图2，设平面PBOD与正六边形底面所成的二面角
8、的大小为，则下列结论正确的有（）A异面直线DO与FP所成角的大小为10928BBFMNCB，M，N，D四点共面D三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.13.将函数的图象向右平移个单位长度，则平移后函数图象的解析式为_；平移后的图象中与轴最近的对称轴的方程是_.（本题第一空2分，第二空3分）14新冠肺炎疫情期间，为确保“停课不停学”，各校精心组织了线上教学活动开学后，某校采用分层抽样的方法从三个年级的学生中抽取一个容量为150的样本进行关于线上教学实施情况的问卷调查已知该校高一年级共有学生660人，高三年级共有
9、540人，抽取的样本中高二年级有50人，则该校高二学生总数是 15若，则cos+sin 16如图，在四边形ABCD中，ABCD1，点M，N分别是边AD，BC的中点，延长BA和CD交NM的延长线于不同的两点P，Q，则的值为 四、解答题：本大题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17某化肥厂甲、乙两个车间包装肥料，在自动包装传送带上每隔30分钟抽取一包产品，称其重量，分别记录抽查数据如下：甲：102，101，99，98，103，98，99乙：110，115，90，85，75，115，110（1）这种抽样方法是哪一种？（2）估计甲、乙两个车间产品的平均数与方差，并说明哪个车
10、间产品较稳定？18空间四边形PABC中，PA，PB、PC两两相互垂直，PBA45，PBC60，M为AB的中点（1）求BC与平面PAB所成的角；（2）求证：AB平面PMC19.已知，.（1）求的值；（2）求的值.20.已知中，所对的边分别为，且.（1）判断ABC的形状，并求sinA+sinB的取值范围；（2）如图，三角形ABC的顶点A、C分别在l1、l2上运动，AC2，BC1，若直线l1直线l2，且相交于点O，求O，B间距离的取值范围212021年广东省高考实行“3+1+2”模式“3+1+2”模式是指：“3”为全国统考科目语文、数学、外语，所有学生必考；“1”为首选科目，考生须在高中学业水平考试
11、的物理、历史科目中选择1科；“2”为再选科目，考生可在化学、生物、政治、地理4个科目中选择2科，共计6个考试科目并规定：化学、生物、政治、地理4个选考科目的考生原始成绩从高到低划分为A，B+，B，C+，C，D+，D，E八个等级参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为3%，7%，16%，24%，24%，16%，7%，3%选考科目成绩计入考生总成绩时，将A至E等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到91，100，81，90，71，80，61，70，51，60，41，50，31，40，21，30八个分数区间，得到考生的等级成绩假设小明转换后的等级成绩为x分，则，所以x63.4563
12、（四舍五入取整），小明最终成绩为63分某校2019级学生共1000人，以期末考试成绩为原始成绩转换了本校的等级成绩，为学生合理选科提供依据，其中化学成绩获得等级A的学生原始成绩统计如表：成绩93919088878685848382人数1142433327（1）求化学获得等级A的学生等级成绩的平均分（四舍五入取整数）；（2）从化学原始成绩不小于90分的学生中任取2名同学，求2名同学等级成绩不相等的概率22如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点G在棱D1C1上，且，点E、F、M分别是棱AA1、AB、BC的中点，P为线段B1D上一点，AB4（）若平面EFP交平面DCC1D1于直线l，求证：
13、lA1B；（）若直线B1D平面EFP（i）求三棱锥B1EFP的表面积；（ii）试作出平面EGM与正方体ABCDA1B1C1D1各个面的交线，并写出作图步骤，保留作图痕迹设平面EGM与棱A1D1交于点Q，求三棱锥QEFP的体积参考答案一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.1已知向量（2，1），（3，t），|1，则（）A2B3C7D8解：因为（1，t1）；|1，12+（t1）212t0；（3，1），23+117；故选：C2在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若c2acosB，则ABC的形状是（）A锐角三角形B等腰三角形C等腰或直角三角形D直角三角形解：由正弦定理可得 sin（A
14、+B）2sinAcosB，由两角和的正弦公式可得：sinAcosB+cosAsinB2sinAcosB，sin（AB）0，又AB，AB0，故ABC的形状为等腰三角形，故选：B3某水平放置的OAB用斜二测画法得到如图所示的直观图OAB，若OBAB，则OAB中（）AOBA90BOBBACOBOADOBOA解：因为BOA45，所以BOA90，则OBA90，故选项A错误；设OBABx，则OA，还原后，OB2x，BOA90，OA，所以AB，所以OBOA，故选项C错误，选项D正确故选：D4上世纪末河南出土的以鹤的尺骨（翅骨）制成的“骨笛”（图1），充分展示了我国古代高超的音律艺术及先进的数学水平，也印证了
15、我国古代音律与历法的密切联系图2为骨笛测量春（秋）分”，“夏（冬）至”的示意图图3是某骨笛的部分测量数据（骨笛的弯曲忽略不计），夏至（或冬至）日光（当日正午太阳光线）与春秋分日光（当日正午太阳光线）的夹角等于黄赤交角由历法理论知，黄赤交角近1万年持续减小，其正切值及对应的年代如表：黄赤交角23412357241324282444正切值0.4390.4440.4500.4550.461年代公元元年公元前2000年公元前4000年公元前6000年公元前8000年根据以上信息，通过计算黄赤交角，可估计该骨笛的大致年代是（）A公元前2000年到公元元年B公元前4000年到公元前2000年C公元前600
16、0年到公元前4000年D早于公元前6000年解：由题意，可设冬至日光与垂直线夹角为，春秋分日光与垂直线夹角为，则即为冬至日光与春秋分日光的夹角，即黄赤交角，将图3近似画出如下平面几何图形：则tan1.6，tan0.66，tan（）0.4570.4550.4570.461，估计该骨笛的大致年代早于公元前6000年故选：D5已知m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A若m，mn，n，则B若mn，n，则mC若mn，m，n，则D若m，n，m，n，则解：对于A：由于m，故直线m相当于平面的法向量，由于mn，所以n，由于n，则，故A正确；对于B：由于mn，n，则m或m，故B错误
17、；对于C：当mn，m，n，则可能，故C错误；对于D：m，n，当m和n为相交直线时，m，n，则，故D错误；故选：A62020年4月21日，习近平总书记在学校考察调研时提出“文明其精神，野蛮其体魄”，“野蛮其体魄”就是强身健体青少年的体质状况不仅关乎个人成长和家庭幸福，也关乎国家未来和民族希望，为落实国家学生体质健康标准达标测试工作，全面提升学生的体质健康水平，某校在高二年级随机抽取部分男生，测试立定跳远项目，依据测试数据绘制了如图所示的频率分布直方图已知立定跳远200cm以上成绩为及格，255cm以上成绩为优秀，根据图中的样本数据估计该校高二年级男生立定跳远项目的及格率和优秀率分别是（）A72.
18、5%，5%B78.75%，10%C72.5%，10%D78.75%，5%解：立定跳远200cm以上成绩为及格，255cm以上成绩为优秀，由频率分布直方图得立定跳远200cm以上的频率为：1（0.0075020+0.0125020）0.7875，由频率分布直方图得立定跳远255cm以上的频率为：0.00500200.1，根据图中的样本数据估计该校高二年级男生立定跳远项目的及格率和优秀率分别是78.75%和10%故选：B7气象意义上从春季进入夏季的标志为“连续5天的日平均温度均不低于22”现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据（记录数据都是正整数，单位：）：甲地：5个数据的中位数为24，
19、极差不超过2；乙地：5个数据的中位数为27，总体均值为24；丙地：5个数据中有1个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.8其中肯定进入夏季的地区有（）ABCD解：对于甲地，由于5个数据的中位数为24，若有低于22，假设取21，此时极差超过2，故假设不成立，甲地连续5天的日平均温度均不低于22，故甲地肯定进入夏季，故正确，对于乙地，5个数据的中位数为27，总体均值为24，当5个数据为19，20，27，27，27时，可得其连续5天的日平均气温有低于22，故乙地不一定进入夏季，故错误，对于丙地，5个数据中有1个数据是32，总体均值为26，若有低于22，假设取21，此时10.8，故假设不成立，丙
20、地连续5天的日平均温度均不低于22，丙地肯定进入夏季，故正确，综上所述，正确的为故选：B8正多面体各个面都是全等的正多边形，其中，面数最少的是正四面体，面数最多的是正二十面体，它们被称为柏拉图多面体（PlatonicSolids）某些病毒，如疱疹病毒就拥有正二十面体的外壳正二十面体是由20个等边三角形所组成的正多面体已知多面体满足：顶点数棱数+面数2，则正二十面体的顶点的个数为（）A30B20C12D10解：解法一、设正二十面体共有n个顶点，且每个顶点处都有5条棱，有20个面，根据“顶点数棱数+面数2”，列方程得nn+202，解得n12，即正二十面体的顶点个数为12解法二、由20个三角形，每个
21、三角形有3条边，每条边被用了两次，所以正二十边形共有棱数为203230（条），根据欧拉公式“顶点数棱数+面数2”，得正二十面体的顶点个数为2+302012故选：C二、选择题：本大题共4小题，每小题5分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9对于任意非零向量，下列命题正确的是（）A若，则B若，则C若，则D若|+|，则0解：对于A选项：因为为非零向量，则成立，故A正确；对于B选项：若，则 或（），故B错误；对于C选项：若，则，故C正确；对于D选项：若|+|，即有|+|2|+|+2，故有0，故D正确；故选：ACD10在ABC中，角A，B，C所
22、对的边分别为a，b，c，且（a+b）：（a+c）：（b+c）9：10：11，则下列结论正确的是（）AsinA：sinB：sinC4：5：6BABC是钝角三角形CABC的最大内角是最小内角的2倍D若c6，则ABC外接圆半径为解：（a+b）：（a+c）：（b+c）9：10：11，可设a+b9t，a+c10t，b+c11t，解得a4t，b5t，c6t，t0，可得sinA：sinB：sinCa：b：c4：5：6，故A正确；由c为最大边，可得cosC0，即C为锐角，故B错误；由cosA，由cos2A2cos2A121cosC，由2A，C（0，），可得2AC，故C正确；若c6，可得2R，ABC外接圆半径为
23、，故D正确故选：ACD11为了解中学生课外阅读情况，现从某中学随机抽取200名学生，收集了他们一年内的课外阅读量（单位：本）等数据，以下是根据数据绘制的统计图表的一部分阅读量人数学生类别0，10）10，20）20，30）30，40）40，+）性别男73125304女82926328学段初中25364411高中下面推断合理的是（）A这200名学生阅读量的平均数可能是26本B这200名学生阅读量的75%分位数在区间30，40）内C这200名学生中的初中生阅读量的中位数一定在区间20，30）内D这200名学生中的初中生阅读量的25%分位数可能在区间20，30）内解：由图表知，男生共7+31+25+3
24、0+497人，女生共103人，这200名学生阅读量的平均数为20.5+25.523.075，故A错，20075%150，这200名学生阅读量的75%分位数是从小到大排序后的第150与第151个数的平均值，由表格知第150与第151个数都在区间30，40）内，故B对，阅读量在区间0，10）内共有15人，若初中生阅读量在区间0，10）内共有0人，则其中位数在区间20，30）内，若初中生阅读量在区间0，10）内共有15人，则其中位数在区间20，30）内，故这200名学生中的初中生阅读量的中位数一定在区间20，30）内，故C对，当初中生阅读量在区间0，10）内共有0人时，（25+36+44+11）25
25、%29，故这200名学生中的初中生阅读量的25%分位数是从小到大排序后的第29与第30个数的平均值，在区间20，30）内，故D对，故选：BCD12蜂巢是由工蜂分泌蜂蜡建成的从正面看，蜂巢口是由许多正六边形的中空柱状体连接而成，中空柱状体的底部是由三个全等的菱形面构成，菱形的一个角度是10928，这样的设计含有深刻的数学原理我国著名数学家华罗庚曾专门研究蜂巢的结构，著有谈谈与蜂房结构有关的数学问题，用数学的眼光去看蜂巢的结构，如图1在正六棱柱ABCDEFABCDE的三个顶点A，C，E处分别用平面BFM，平面BDO，平面DFN截掉三个相等的三棱锥MABF，OBCD，NDEF，平面BFM，平面BDO
26、，平面DFN交于点P，就形成了蜂巢的结构如图2，设平面PBOD与正六边形底面所成的二面角的大小为，则下列结论正确的有（）A异面直线DO与FP所成角的大小为10928BBFMNCB，M，N，D四点共面Dcostan5444解：A选项，异面直线所成角的范围为（0，90，故A不正确B选项，由BDF与MON都是边长为的等边三角形，BFMN，因此B不正确；C选项，因为BDNM，且BDNM，所以四边形BMND是平行四边形，因此B，M，N，D四点共面，正确；D：利用第二个图：取BF的中点P，连接PA，PM，则MPA，不妨取AB2，在等腰三角形ABF中，BAF120，则PB，PA1在这直角三角形PMB中，PM
27、costan5444，正确故选：CD三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.13将函数的图象向右平移个单位长度，则平移后函数图象的解析式为 y3sin（2x）；平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是 x解：将函数的图象向右平移个单位长度，则平移后函数图象的解析式为y3sin（2x+ ）3sin（2x）令2xk+，求得x+，kZ令k1，可得平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程为x，故答案为：y3sin（2x）；x14新冠肺炎疫情期间，为确保“停课不停学”，各校精心组织了线上教学活动开学后，某校采用分层抽样的方
28、法从三个年级的学生中抽取一个容量为150的样本进行关于线上教学实施情况的问卷调查已知该校高一年级共有学生660人，高三年级共有540人，抽取的样本中高二年级有50人，则该校高二学生总数是 600解：高一、高三年级共有660+5401200人，设高二年级有x人，则，解得x600；故答案为：60015若，则cos+sin解：由公式cos2cos2sin2，及等式，代入，则cos+sin故答案应填16如图，在四边形ABCD中，ABCD1，点M，N分别是边AD，BC的中点，延长BA和CD交NM的延长线于不同的两点P，Q，则的值为0解：设ABC，BCa，BCD，则A（cos，sin），B（0，0），C（
29、a，0），D（acos，sin），M（，），N（，0），（，），（cos，sin），（cos，sin），（coscos，sin+sin），（cos2cos2）+（sin2sin2）（cos2+sin2）+（cos2+sin2）0，又，0，故答案为：0四、解答题：本大题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17某化肥厂甲、乙两个车间包装肥料，在自动包装传送带上每隔30分钟抽取一包产品，称其重量，分别记录抽查数据如下：甲：102，101，99，98，103，98，99乙：110，115，90，85，75，115，110（1）这种抽样方法是哪一种？（2）估计甲、乙两个车间产品
30、的平均数与方差，并说明哪个车间产品较稳定？解：（1）由题意知这个抽样是在自动包装传送带上每隔30分钟抽取一包产品，是一个具有相同间隔的抽样，并且总体的个数比较多，这是一个系统抽样；（2）100，100；，s2甲s2乙甲车间产品较稳定18空间四边形PABC中，PA，PB、PC两两相互垂直，PBA45，PBC60，M为AB的中点（1）求BC与平面PAB所成的角；（2）求证：AB平面PMC解：（1）PCPA，PCPB，PC平面PAB，BC在平面PBC上的射影是BPCBP是CB与平面PAB所成的角，PBC60，BC与平面PBA的角为60证明：（2）PAPB，PBA45，PAPB，PCPA，PCPB，P
31、APB，PCPC，PACPBC，ABAC，M为AB的中点PMAB，CMAB，PMCMM，AB平面PMC19已知（0，），（，），cos，sin（+）（1）求tan的值；（2）求sin的值解：（1），且，解得，（2），又，故，sinsin（+）sin（+）coscos（+）sin20已知ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，且2+（1）判断ABC的形状，并求sinA+sinB的取值范围；（2）如图，三角形ABC的顶点A、C分别在l1、l2上运动，AC2，BC1，若直线l1直线l2，且相交于点O，求O，B间距离的取值范围解：（1），c2cbcosA+cacosB+bacosC，c2a2+b2
32、，为直角三角形，sinA+sinB，sinA+sinB（1，；（2）简解：不妨设，B（x，y），则x2cos+sin，ycos，212021年广东省高考实行“3+1+2”模式“3+1+2”模式是指：“3”为全国统考科目语文、数学、外语，所有学生必考；“1”为首选科目，考生须在高中学业水平考试的物理、历史科目中选择1科；“2”为再选科目，考生可在化学、生物、政治、地理4个科目中选择2科，共计6个考试科目并规定：化学、生物、政治、地理4个选考科目的考生原始成绩从高到低划分为A，B+，B，C+，C，D+，D，E八个等级参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为3%，7%，16%，24%，24%，
33、16%，7%，3%选考科目成绩计入考生总成绩时，将A至E等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到91，100，81，90，71，80，61，70，51，60，41，50，31，40，21，30八个分数区间，得到考生的等级成绩假设小明转换后的等级成绩为x分，则，所以x63.4563（四舍五入取整），小明最终成绩为63分某校2019级学生共1000人，以期末考试成绩为原始成绩转换了本校的等级成绩，为学生合理选科提供依据，其中化学成绩获得等级A的学生原始成绩统计如表：成绩93919088878685848382人数1142433327（1）求化学获得等级A的学生等级成绩的平均分（四舍五入
34、取整数）；（2）从化学原始成绩不小于90分的学生中任取2名同学，求2名同学等级成绩不相等的概率解：（1）设化学成绩获得等级A的学生的原始成绩为x分，其等级成绩为y分，由转换公式可得，解得y，故原始成绩的平均分为85+86，则等级成绩的平均分为；（2）化学成绩不小于90分的学生共6名，其中1名原始成绩为93分的学生的等级成绩为100分，1名原始成绩为91分，由转换公式得到其等级成绩为98分，4名原始成绩为90分，由转换公式得到其等级成绩也为98分，任取2名同学的所有结果为种，等级分数不相等的结果有种，故2名同学等级成绩不相等的概率为22如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点G在棱D1C
35、1上，且D1GD1C1，点E、F、M分别是棱AA1、AB、BC的中点，P为线段B1D上一点，AB4（）若平面EFP交平面DCC1D1于直线l，求证：lA1B；（）若直线B1D平面EFP（i）求三棱锥B1EFP的表面积；（ii）试作出平面EGM与正方体ABCDA1B1C1D1各个面的交线，并写出作图步骤，保留作图痕迹设平面EGM与棱A1D1交于点Q，求三棱锥QEFP的体积解：（1）在正方体ABCDA1B1C1D1中，因为平面ABB1A1平面 DCC1D1，平面EFP平面 ABB1A1EF，所以EFl，因为点E、F 分别是棱 AA1、AB 的中点，所以 EFA1B，所以lA1B（2）（i）因为直线
36、 B1D平面 EFP，EP平面 EFP，所以 B1DEP，又因为DAEB1A1E，所以DEB1E，所以DPB1P，因为，所以三棱锥B1EFP的表面积为（ii）作图步骤如下：连接GE，过点G作GHDC于点H，连接HA并延长交GE的延长线于点I，连接IM并延长交AB于点J交DC的延长线于点K，再连接GK交CC1于点S，连接MS并延长交B1C1的延长线于点R，连接RG并延长交A1D1于点Q，再连接EQ，GS，EJ，则图中EQ，QG，GS，SM，MJ，JE即为平面EGM与正方体各个面的交线设 BJCKx，由题知2AJHC+CK3+x，所以，所以，解得，因为，MC2，所以，如上图，设N为线段A1D1的中点，可证点N在平面PEF内，且三角形PNE与三角形PEF面积相等，所以，三棱锥QEFP的体积三棱锥QENP的体积三棱锥PENQ的体积，所以三棱锥QEFP 的体积为
