1、7.3 随机变量及其分布-2-试题统计 题型 命题规律 复习策略(2013 全国,理 19)(2013 全国,理 19)(2014 全国,理 18)(2015 全国,理 4)(2016 全国,理 19)(2016 全国,理 18)(2017 全国,理 19)(2017 全国,理 13)(2017 全国,理 18)选择题填空题解答题 离散型随机变量分布列的计算涉及排列、组合和概率的知识,综合性强,是高考考查的重点;两点分布、超几何分布和二项分布等重要的概率模型,应用性强,更是高考命题的重中之重;高考常把随机变量的分布列、均值和方差结合在一起重点考查考生分析、解决实际问题的能力.抓住考查的主要题目
2、类型进行训练,重点是条件概率与相互独立事件的概率;离散型随机变量及其分布列;二项分布与正态分布;离散型随机变量的分布列、均值与方差.-3-命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 条件概率与相互独立事件的概率【思考】如何求事件的条件概率?判断相互独立事件的常用方法有哪些?例1某公司为了解用户对其产品的满意度,从A,B两地区分别随机调查了20个用户,得到用户对产品的满意度评分如下:A地区:62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89 B地区:73 83 62 51 91 46 53 73 64 82 93 48 65
3、 81 74 56 54 76 65 79-4-命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四(1)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图,并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值,给出结论即可);-5-命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四(2)根据用户满意度评分,将用户的满意度从低到高分为三个等级:记事件C:“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”.假设两地区用户的满意度评价结果相互独立.根据所给数据,以事件发生的频率作为相应事件发生的概率,求C的概率.满意度评分 低于 70 分 70 分到 89 分 不低于 90 分 满意度等级 不
4、满意 满意 非常满意 -6-命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 解：(1)两地区用户满意度评分的茎叶图如下:通过茎叶图可以看出,A地区用户满意度评分的平均值高于B地区用户满意度评分的平均值;A地区用户满意度评分比较集中,B地区用户满意度评分比较分散.-7-命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四(2)记CA1表示事件:“A地区用户的满意度等级为满意或非常满意”;CA2表示事件:“A地区用户的满意度等级为非常满意”;CB1表示事件:“B地区用户的满意度等级为不满意”;CB2表示事件:“B地区用户的满意度等级为满意”,则CA1与CB1独立,CA2与CB2独立,CB1与CB2互斥,
5、C=CB1CA1CB2CA2.P(C)=P(CB1CA1CB2CA2)=P(CB1CA1)+P(CB2CA2)=P(CB1)P(CA1)+P(CB2)P(CA2).由所给数据得 CA1,CA2,CB1,CB2 发生的频率分别为1620,420,1020,820,故 P(CA1)=1620,P(CA2)=420,P(CB1)=1020,P(CB2)=820,P(C)=1020 1620+820 420=0.48.-8-命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 题后反思1.条件概率的两种求解方法:2.判断相互独立事件的三种常用方法:(1)利用定义,事件A,B相互独立P(AB)=P(A)P(B
6、).(3)具体背景下,有放回地摸球,每次摸球的结果是相互独立的.当产品数量很大时,不放回抽样也可近似看作独立重复试验.(1)定义法,先求 P(A)和 P(AB),再由 P(B|A)=()()求 P(B|A).(2)基本事件法,借助古典概型概率公式,先求事件 A 包含的基本事件数 n(A),再求事件 AB 所包含的基本事件数 n(AB),得P(B|A)=()().(2)利用性质,A 与 B 相互独立,则 A 与,与 B,与也都相互独立.-9-命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 对点训练1(1)从1,2,3,4,5中任取两个不同的数,事件A为“取到的两个数之和为偶数”,事件B为“取到的
7、两个数均为偶数”,则P(B|A)=()A.18B.14C.25D.12 答案 解析 解析 关闭P(A)=C32+C22C52=410,P(AB)=C22C52=110.由条件概率计算公式,得P(B|A)=()()=110410=14.答案 解析 关闭B-10-命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四(2)甲、乙两个实习生每人加工一个零件,加工的零件为一等品的概率分别为,加工的两个零件是否为一等品相互独立,则这两个零件中恰有一个一等品的概率为 .23和34 答案 解析 解析 关闭设事件 A:甲实习生加工的零件为一等品;事件 B:乙实习生加工的零件为一等品,则 P(A)=23,P(B)=34
8、,所以这两个零件中恰有一个一等品的概率为 P(A)+P(B)=P(A)P()+P()P(B)=23 1-34+1-23 34=512.答案 解析 关闭512 -11-命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 离散型随机变量及其分布列【思考】如何求离散型随机变量及其分布列?例2(2017全国,理18)某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:)有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;如果最高气温位于区间20,25),需求量为300瓶;如果最高气温
9、低于20,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:最高气温 10,15)15,20)20,25)25,30)30,35)35,40)天数 2 16 36 25 7 4 -12-命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.(1)求六月份这种酸奶一天的需求量X(单位:瓶)的分布列;(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位:元),当六月份这种酸奶一天的进货量n(单位:瓶)为多少时,Y的数学期望达到最大值?解:(1)由题意知,X 所有可能取值为 200,300,500,由表格
10、数据知 P(X=200)=2+1690=0.2,P(X=300)=3690=0.4,P(X=500)=25+7+490=0.4.因此 X 的分布列为 X 200 300 500 P 0.2 0.4 0.4 -13-命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四(2)由题意知,这种酸奶一天的需求量至多为500,至少为200,因此只需考虑200n500.当300n500时,若最高气温不低于25,则Y=6n-4n=2n;若最高气温位于区间20,25),则Y=6300+2(n-300)-4n=1 200-2n;若最高气温低于20,则Y=6200+2(n-200)-4n=800-2n.因此E(Y)=2n
11、0.4+(1 200-2n)0.4+(800-2n)0.2=640-0.4n.-14-命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 当200n300时,若最高气温不低于20,则Y=6n-4n=2n;若最高气温低于20,则Y=6200+2(n-200)-4n=800-2n.因此E(Y)=2n(0.4+0.4)+(800-2n)0.2=160+1.2n.所以n=300时,Y的数学期望达到最大值,最大值为520元.-15-命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 题后反思求离散型随机变量的分布列,首先要根据具体情况确定X的取值情况,然后利用排列、组合与概率知识求出X取各个值的概率.-16-命
12、题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 对点训练2(2017天津,理16)从甲地到乙地要经过3个十字路口,设各路口信号灯工作相互独立,且在各路口遇到红灯的概率分别为(1)记X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数,求随机变量X的分布列和数学期望;(2)若有2辆车独立地从甲地到乙地,求这2辆车共遇到1个红灯的概率.12,13,14.-17-命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 解:(1)随机变量 X 的所有可能取值为 0,1,2,3.P(X=0)=1-12 1-13 1-14=14,P(X=1)=12 1-13 1-14+1-12 13 1-14+1-12 1-13 14=1124
13、,P(X=2)=1-12 13 14+12 1-13 14+12 13 1-14=14,P(X=3)=12 13 14=124.所以,随机变量 X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 14 1124 14 124 随机变量 X 的数学期望 E(X)=014+11124+214+3124=1312.-18-命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四(2)设Y表示第一辆车遇到红灯的个数,Z表示第二辆车遇到红灯的个数,则所求事件的概率为 P(Y+Z=1)=P(Y=0,Z=1)+P(Y=1,Z=0)=P(Y=0)P(Z=1)+P(Y=1)P(Z=0)=14 1124+1124 14=1148.所以
14、,这 2 辆车共遇到 1 个红灯的概率为1148.-19-命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 二项分布与正态分布【思考】应用独立重复试验概率公式应满足怎样的条件?例3乒乓球单打比赛在甲、乙两名运动员间进行,比赛采用7局4胜制(即先胜4局者获胜,比赛结束),假设两人在每一局比赛中获胜的可能性相同.(1)求甲以4比1获胜的概率;(2)求乙获胜且比赛局数多于5局的概率;(3)求比赛局数的分布列.解：(1)由已知,得甲、乙两名运动员在每一局比赛中获胜的概率都是12.记“甲以 4 比 1 获胜”为事件 A,则 P(A)=C43 12 3 12 4-312=18.-20-命题热点一 命题热点二
15、 命题热点三 命题热点四(2)记“乙获胜且比赛局数多于 5 局”为事件 B.乙以 4 比 2 获胜的概率为 P1=C53 12 3 12 5-312=532,乙以 4 比 3 获胜的概率为 P2=C63 12 3 12 6-312=532,所以 P(B)=P1+P2=516.-21-命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四(3)设比赛的局数为 X,则 X 的可能取值为 4,5,6,7.P(X=4)=2C44 12 4=18;P(X=5)=2C43 12 3 12 4-312=14;P(X=6)=2C53 12 3 12 5-312=516;P(X=7)=2C63 12 3 12 6-31
16、2=516.比赛局数的分布列为 X 4 5 6 7 P 18 14 516 516 -22-命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 题后反思利用独立重复试验概率公式可以简化求概率的过程,但需要注意检验该概率模型是否满足公式P(X=k)=pk(1-p)n-k的三个条件:(1)在一次试验中某事件A发生的概率是一个常数p;(2)n次试验不仅是在完全相同的情况下进行的重复试验,而且各次试验的结果是相互独立的;(3)该公式表示n次试验中事件A恰好发生了k次的概率.C-23-命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 对点训练3(2017全国,理19改编)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程
17、,检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件,并测量其尺寸(单位:cm).根据长期生产经验,可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(,2).(1)假设生产状态正常,记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(-3,+3)之外的零件数,求P(X1)及X的数学期望;(2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在(-3,+3)之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查.-24-命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四()试说明上述监控生产过程方法的合理性;()下面是检验员在一天内抽取的 16 个零件的尺寸:9.95 10.12 9.9
18、6 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95 经计算得=116=116xi=9.97,s=116 i=116(-)2=116(=1162-162)0.212,其中xi为抽取的第i个零件的尺寸,i=1,2,16.-25-命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 用样本平均数作为 的估计值,用样本标准差 s 作为 的估计值,利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查?剔除(-3,+3)之外的数据,用剩下的数据估计 和(精确到 0.01).附:若随机变量 Z 服从正态分布 N(,2),则P(
19、-3Z+3)0.997 3.0.997 3160.957 7,0.0080.09.-26-命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 解:(1)抽取的一个零件的尺寸在(-3,+3)之内的概率为0.9973,从而零件的尺寸在(-3,+3)之外的概率为0.002 7,故XB(16,0.002 7).因此P(X1)=1-P(X=0)=1-0.997 3160.042 3.X的数学期望为E(X)=160.002 7=0.043 2.(2)()如果生产状态正常,一个零件尺寸在(-3,+3)之外的概率只有0.002 7,一天内抽取的16个零件中,出现尺寸在(-3,+3)之外的零件的概率只有0.042
20、3,发生的概率很小.因此一旦发生这种情况,就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查,可见上述监控生产过程的方法是合理的.-27-命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四()由=9.97,s0.212,得 的估计值为=9.97,的估计值为=0.212,由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在(-3,+3)之外,因此需对当天的生产过程进行检查.剔除(-3,+3)之外的数据 9.22,剩下数据的平均数为115(169.97-9.22)=10.02,因此 的估计值为 10.02.=1162=160.2122+169.9721 591.134,剔除(-3,
21、+3)之外的数据 9.22,剩下数据的样本方差为115(1 591.134-9.222-1510.022)0.008,因此 的估计值为 0.008 0.09.-28-命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 离散型随机变量的分布列、均值与方差【思考】求离散型随机变量的均值与方差的基本方法有哪些?例4(2017北京,理17)为了研究一种新药的疗效,选100名患者随机分成两组,每组各50名,一组服药,另一组不服药.一段时间后,记录了两组患者的生理指标x和y的数据,并制成下图,其中“”表示服药者,“+”表示未服药者.-29-命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四(1)从服药的50名患者
22、中随机选出一人,求此人指标y的值小于60的概率;(2)从图中A,B,C,D四人中随机选出两人,记为选出的两人中指标x的值大于1.7的人数,求的分布列和数学期望E();(3)试判断这100名患者中服药者指标y数据的方差与未服药者指标y数据的方差的大小.(只需写出结论)-30-命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 解:(1)由图知,在服药的 50 名患者中,指标 y 的值小于 60 的有15 人,所以从服药的 50 名患者中随机选出一人,此人指标 y 的值小于60 的概率为1550=0.3.(2)由图知,A,B,C,D 四人中,指标 x 的值大于 1.7 的有 2 人:A 和C.所以 的
23、所有可能取值为 0,1,2.P(=0)=C22C42=16,P(=1)=C21C21C42=23,P(=2)=C22C42=16.所以 的分布列为 0 1 2 P 16 23 16 故 的数学期望 E()=016+123+216=1.(3)在这 100 名患者中,服药者指标 y 数据的方差大于未服药者指标 y 数据的方差.-31-命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 题后反思求离散型随机变量的均值与方差的基本方法有:(1)已知随机变量的分布列求它的均值、方差和标准差,可直接按定义(公式)求解;(2)已知随机变量X的均值、方差,求X的线性函数Y=aX+b的均值、方差,可直接用均值、方差
24、的性质求解,即E(aX+b)=aE(X)+b,D(aX+b)=a2D(X)(a,b为常数).(3)如能分析所给随机变量服从常用的分布,可直接利用它们的均值、方差公式求解,即若X服从两点分布,则E(X)=p,D(X)=p(1-p);若XB(n,p),则E(X)=np,D(X)=np(1-p).-32-命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 对点训练4某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝10元的价格出售.如果当天卖不完,剩下的玫瑰花作垃圾处理.(1)若花店一天购进16枝玫瑰花,求当天的利润y(单位:元)关于当天需求量n(单位:枝,nN)的函数解析式;(2)花店记录了
25、100天玫瑰花的日需求量(单位:枝),整理得下表:日需求量 n 14 15 16 17 18 19 20 频数 10 20 16 16 15 13 10 -33-命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.若花店一天购进16枝玫瑰花,X表示当天的利润(单位:元),求X的分布列、数学期望及方差;若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花,你认为应购进16枝还是17枝?请说明理由.解：(1)当日需求量n16时,利润y=80.当日需求量n16时,利润y=10n-80.所以y关于n的函数解析式为 y=10-80,16,80,16(nN).-34-命
26、题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四(2)X可能的取值为60,70,80,并且P(X=60)=0.1,P(X=70)=0.2,P(X=80)=0.7.X的分布列为 X的数学期望为 E(X)=600.1+700.2+800.7=76.X的方差为D(X)=(60-76)20.1+(70-76)20.2+(80-76)20.7=44.X 60 70 80 P 0.1 0.2 0.7 -35-命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 答案一:花店一天应购进16枝玫瑰花.理由如下:若花店一天购进17枝玫瑰花,Y表示当天的利润(单位:元),那么Y的分布列为 Y 55 65 75 85 P 0
27、.1 0.2 0.16 0.54 Y的数学期望为E(Y)=550.1+650.2+750.16+850.54=76.4.Y的方差为D(Y)=(55-76.4)20.1+(65-76.4)20.2+(75-76.4)20.16+(85-76.4)20.54=112.04.由以上的计算结果可以看出,D(X)D(Y),即购进16枝玫瑰花时利润波动相对较小.另外,虽然E(X)E(Y),但两者相差不大.故花店一天应购进16枝玫瑰花.-36-命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四 答案二:花店一天应购进17枝玫瑰花.理由如下:若花店一天购进17枝玫瑰花,Y表示当天的利润(单位:元),那么Y的分布列
28、为 Y的数学期望为E(Y)=550.1+650.2+750.16+850.54=76.4.由以上的计算结果可以看出,E(X)E(Y),即购进17枝玫瑰花时的平均利润大于购进16枝时的平均利润.故花店一天应购进17枝玫瑰花.Y 55 65 75 85 P 0.1 0.2 0.16 0.54 -37-规律总结 拓展演练 1.对于离散型随机变量,它的分布列指出了随机变量X的取值范围以及取这些值的概率.2.古典概型中,在A发生的条件下B发生的条件概率公式为3.相互独立事件与互斥事件的区别.相互独立事件是指两个事件发生的概率互不影响,计算公式为P(AB)=P(A)P(B).互斥事件是指在同一试验中,两个
29、事件不会同时发生,计算公式为P(AB)=P(A)+P(B).4.对于二项分布,如果在一次试验中某事件发生的概率是p,那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是P(X=k)=pkqn-k.其中k=0,1,n,q=1-p.P(B|A)=()()=()().C-38-规律总结 拓展演练 5.若X服从正态分布,即XN(,2),要充分利用正态曲线关于直线x=对称和正态曲线与x轴之间的面积为1.6.求离散型随机变量的均值与方差的三种基本方法:(1)已知随机变量的分布列可直接按定义(公式)求解;(2)已知随机变量X的均值、方差,求Y=aX+b的均值、方差可直接用均值、方差的性质求解.(3)若随机变
30、量服从常用的分布,可直接利用常用分布的均值、方差公式求解.-39-规律总结 拓展演练 1.投篮测试中,每人投3次,至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6,且各次投篮是否投中相互独立,则该同学通过测试的概率为()A.0.648 B.0.432C.0.36D.0.312 答案 解析 解析 关闭由条件知该同学通过测试,即3次投篮投中2次或投中3次.答案 解析 关闭A-40-规律总结 拓展演练 2.已知盒中装有3只螺口灯泡与7只卡口灯泡,这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着,现需要一只卡口灯泡,电工师傅每次从中任取一只并不放回,则在他第1次抽到的是螺口灯泡的条件下,第2次抽
31、到的是卡口灯泡的概率为()A.310B.29C.78D.79 答案 解析 解析 关闭(方法一)设事件 A 为“第 1 次抽到的是螺口灯泡”,事件 B 为“第 2 次抽到的是卡口灯泡”,则 P(A)=310,P(AB)=310 79=730,则所求概率为P(B|A)=()()=730310=79.(方法二)第 1 次抽到螺口灯泡后还剩余 9 只灯泡,其中有 7 只卡口灯泡,故第 2 次抽到卡口灯泡的概率为C71C91=79.答案 解析 关闭D-41-规律总结 拓展演练 3.同时抛掷两枚质地均匀的硬币,当至少有一枚硬币正面向上时,就说这次试验成功,则在2次试验中成功次数X的均值是 .答案 解析 解
32、析 关闭同时抛掷两枚质地均匀的硬币,可能的结果有(正正),(正反),(反正),(反反),所以试验一次成功的概率为 1-12 2=34.所以在 2 次试验中成功次数 X 的取值为 0,1,2,其中 P(X=0)=14 2=116,P(X=1)=C21 34 14=38,P(X=2)=34 34=916,所以在 2 次试验中成功次数 X 的均值是 E(X)=0116+138+2916=32.答案 解析 关闭32 -42-规律总结 拓展演练 4.(2017全国,理13)一批产品的二等品率为0.02,从这批产品中每次随机取一件,有放回地抽取100次.X表示抽到的二等品件数,则D(X)=.答案 解析 解
33、析 关闭由题意可知抽到二等品的件数X服从二项分布,即XB(100,0.02),其中p=0.02,n=100,则D(X)=np(1-p)=1000.020.98=1.96.答案 解析 关闭1.96-43-规律总结 拓展演练 5.现有一个寻宝游戏,规则如下:在起点P处有A,B,C三条封闭的单向线路,走完这三条线路所花费的时间分别为10 min、20 min、30 min,游戏主办方将宝物放置在B线路上(参赛方并不知晓),开始寻宝时参赛方在起点处随机选择路线顺序,若没有寻到宝物,重新回到起点后,再从没有走过的线路中随机选择线路继续寻宝,直到寻到宝物并将其带回至P处,期间所花费的时间记为X.(1)求X
34、30分钟的概率;(2)求X的分布列及E(X)的值.-44-规律总结 拓展演练 解：(1)记事件A为“选择A线路”,事件B为“选择B线路”,事件C为“选择C线路”,则X30分钟的概率为 X 20 30 50 60 P 13 16 16 13 P(X30)=P(B)+P(AB)=13+13 12=12.(2)由题意知 X 的所有可能取值为 20,30,50,60,P(X=20)=P(B)=13,P(X=30)=P(AB)=13 12=16,P(X=50)=P(CB)=13 12=16,P(X=60)=P(ACB)+P(CAB)=13 12+13 12=13,X 的分布列为 E(X)=2013+3016+5016+6013=40.