1、2015-12 高二数月(理)12第 1 页共 4 页PACBNMOC1B1A1CBAABCDA1B1C1D1PABCVEDF树德中学高2014级第三期12月阶段性考试数学(理科)试题满分：150 分考试时间：120 分钟命题人：黄波一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知直线 l 经过点 P(2,5)，且斜率为34，则直线 l 的方程为()A3x4y140 B3x4y140 C4x3y140 D4x3y1402.给出下列四个命题：若直线l 平面，/l平面 ，则；若平面 内有不共线的三点到平面 的距离相等，则/
2、；若一个二面角的两个半平面所在的平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面所在的平面，则这两个二面角的平面角相等或互补；过空间中任意一点一定可以作一个和两条异面直线都平行的平面.其中正确命题的个数有()A4B3C2D13.如右图所示，正三棱锥 V-ABC 中，,D E F 分别是,VC VA AC 的中点，P 为 VB 上任意一点，则直线 DE 与 PF 所成的角的大小是()A030B060C090D随 P 点的变化而变化4.设 a、b、c 分别是ABC 中A、B、C 所对边的边长，则直线 xsinAayc0 与直线bxysinBsin C0 的位置关系是()A平行B重合C垂直D相交但不垂直5.如
3、右图，ABCD-A1B1C1D1 为正方体，下面结论错误的是()A.BD平面 CB1D1 B.1AC BDC.AC1平面 CB1D1 D.111BCBCB D平面平面6.四面体 ABCD 四个面的重心分别为 E、F、G、H，则四面体 EFGH 的表面积与四面体 ABCD 的表面积的比值是()A 271B.161C 91D 817.若不等式组502xyyax，表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是()A5a B7aC57a D5a 或7a8.某几何体的三视图如右图所示,其侧视图是一个等边三角形,则这个几何体的体积为()A.(4)33B.(4)3C.(8)32D.(8)369.设两圆 C1
4、、C2 都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离|C1C2|等于()A4 B4 2C8 D8 210.如图，在直棱柱 ABCA1B1C1 中，AC=BC=2，ACB=90，AA1=2 3，E，F 分别为 AB、CB 中点，过直线 EF 作棱柱的截面，若截面与平面 ABC所成的二面角的大小为 60，则截面的面积为()A3 或 1B1 C4 或 1D3 或 4 11.已知 ACBD、为圆 M:22(1)(1)4xy的两条相互垂直的弦，垂足为 2,21P,则四边形ABCD 的面积的最小值是()A.4 B.3 2C.2 6D.512.如图,在三棱柱111ABCA BC中,已知15,4ABA
5、CAABC,点1A 在底面 ABC 的射影是线段 BC 的中点 O,若 M,N 分别为直线11,AA BC 上的动点,则 MN 的最小值是()A.55B.2 55C.35D.12二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分.把答案填在答题卷中的横线上)13.下图是一个算法的流程图，最后输出的 x 的值是14.设,x y 满足约束条件04312xyxxy，则231xyx的最大值是15.如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1 中，底面为直角三角形，ACB90，AC6，BCCC1 2，P 是 BC1 上一动点，则 CPPA1 的最小值是16正三棱锥 PABC 中，CM=2PM，CN=2
6、NB，对于以下结论：二面角 BPAC 大小的取值范围是（3，）；若 MNAM，则 PC 与平面 PAB 所成角的大小为2；过点 M 与异面直线 PA 和 BC 都成4 的直线有 3 条；若二面角 BPAC 大小为 32，则过点 N 与平面 PAC 和平面 PAB 都成6 的直线有 3 条其中正确的命题是（写出所有正确命题的编号）C1B1A1CBAEFABCA1B1C1Px=x-3是开始S=0 x=2输出 x结束S=S+x20?S 否2015-12 高二数月(理)12第 2 页共 4 页三、解答题(本大题共 6 小题，共 74 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分
7、 10 分)(1)已知直线 l1：axby40，l2：(a1)xyb0，若直线 l1 与直线 l2 平行，且坐标原点到 l1，l2的距离相等.求 a,b 的值;(2)已知 ABC 的三个顶点分别是(1,5),(5,5),(6,2)ABC,求它的外接圆的方程.18.(本小题满分 12 分)如图，在三棱锥 PABC中,2ACBC,PBCAC 平面,PAB是正三角形.（1）求证：PCAB;（2）求点C 到平面 APB 的距离;（3）求二面角 BAP C的正弦值.19.(本小题满分 12 分)已知圆22:(1)5C xy,直线:20l mxym.（1）求证：对 mR，直线l 与圆 C 总有两个不同的交
8、点;（2）若过点(1,1)P的直线a 与圆C 交于不同的 A、B 两点，且满足 2APPB，求此时直线a 的方程.20.(本小题满分 12 分)如图，在三棱锥 PABC中,PAABC 底面,ACBC,H 为 PC 的中点,M 为 AH 的中点，2,1PAACBC.（1）求证：平面；（2）求与平面所成角的正弦值；（3）在线段上是否存在一点 N,使平面，若存在,请求出 PNNB的值,若不存在,请说明理由.21.(本小题满分 14 分)已知C 过点,且与M:关于直线对称.(1)设为C 上的一个动点,求的最小值;(2)过点 P 作两条相异直线分别与C 相交于 A,B,且直线PA和直线 PB的倾斜角互补
9、,O 为坐标原点,试判断直线AB的斜率是否为定值,若是,求出定值,若不是,请说明理由;(3)设圆1C 的方程为2224)1()12(mmymx,当m 变化且0m时，求证:1C 的圆心在一条定直线上，并求1C 所表示的一系列圆的公切线方程.22.(本小题满分 14 分)如图，圆柱1OO 内有一个三棱柱111-ABC AB C，三棱柱的底面为圆柱底面的内接三角形，且 AB 是圆 O的直径.（1）证明：平面11A ACC 平面11B BCC；（2）设12ABAA，点 C 为圆柱1OO 底面圆周上一动点，记三棱柱111-ABC A B C 的体积为V.求V 的最大值；记平面11A ACC 与平面1B
10、OC 所成的角为(0 90)，当V 取最大值时，求cos 的值；当V 取最大值时，在三棱柱111-ABC AB C 的侧面11A ACC 内（包括边界）的动点 P 到直线11B C 的距离等于它到直线 AC 的距离，求动点 P 到点 C 距离|PC 的最值.AHPBCPMAHBPB/MNABC)1,1(P222(2)(2)(0)xyrr20 xyQPQ MQACBP2015-12 高二数月(理)12第 3 页共 4 页高 2014 级第三期 12 月阶段性考试数学（理科）答题卷非选择题(考生须用 0.5 毫米的黑色墨迹签字笔书写)二、填空题（每小题 4 分，共 16 分）13、14、15、16
11、、三、解答题17、(10 分)请在各题目答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效请在各题目答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效18、（12 分）请在各题目答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效请在各题目答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效19、（12 分）请在各题目答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效ACBP高 2014 级班姓名：考号：密封线2015-12 高二数月(理)12第 4 页共 4 页请在各题目答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效20、（12 分）请在各题目答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无
12、效请在各题目答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效21、（14 分）请在各题目答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效请在各题目答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效22、（14 分）请在各题目答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效密封线内不要答题2015-12 高二数月(理)12第 5 页共 4 页树德中学高2014级第三期12月阶段性考试数学（理科）参考答案一.选择题15 ADCCD 610 CCDCA 1112 AB 二.填空题13.1014.1115.5 216.三.解答题17.(1)l1l2，ab(a1)0，b a1a，故 l1 和 l2
13、 的方程可分别表示为：(a1)xy4a1a0，(a1)xy a1a0，又原点到 l1 与 l2 的距离相等4a1aa1a，a2 或 a23，a2，b2 或 a23，b2.(2)设外接圆的方程为220 xyDxEyF,代入三点得50 550240 6202026504DE FEDE FFDE FD 即所求圆的方程是222242200(2)(1)25xyxyxy(其它解法均可)18.（）取 AB 中点 D，连结 PDCD，APBP，PDABACBC，CDABPDCDD，AB 平面 PCDPC 平面 PCD，PCAB（）由（）知 AB 平面 PCD，平面 APB 平面 PCD过C 作CHPD，垂足为
14、 H 平面 APB平面 PCDPD，CH 平面 APB CH的长即为点C 到平面 APB 的距离由（）知 PCAB，又 PCAC，且 ABACA，PC平面 ABC CD 平面 ABC，PCCD在RtPCD中，122CDAB，362PDPB，222PCPDCD332PDCDPCCH点C 到平面 APB 的距离为 2 33（）ACBC，APBP，APCBPC又 PCAC，PCBC又90ACB，即 ACBC，且 AC PC C，BC平面 PAC 取 AP 中点 E 连结BECE，ABBP，BEAPEC 是 BE 在平面 PAC 内的射影，CEAPBEC是二面角 BAP C的平面角在BCE中，90BC
15、E，2BC，362BEAB，6sin3BCBECBE二面角 BAP C的正弦值为63.19.(1)由直线:20(1)20l mxymm xy.因为mR所以1 012 02xxyy ,即直线恒过(1,2),又221(2 1)25,所以(1,2)恒在圆内所以直线l 与圆 C 总有两个不同的交点(2)若直线 a 的斜率不存在,即 A(1,-1),B(1,3),此时 APPB,不满足条件,舍去若 直 线 a 的 斜 率 存 在,设:1(1)a yk x,即10kxyk,设 C 到 直 线 a 的 距 离 为21kdCMk过圆心 C 作直线 a 的垂线交于 M,由11,32APAB AMAB,所以16P
16、MAB,在直角三角形CMP 中,222CMPMCP,又22 5ABd,代入易得1k 所以所求直线 a 的方程为020 xyxy或20.（）证明：因为底面，底面，所以，又因为，所以平面，又因为平面，所以.因为是中点，所以，又因为，所以平面.（）解：在平面中，过点作因为平面，所以平面，由底面，得，两两垂直，所以以为原点，所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则，.设平面的法向量为，因为，由得令，得.PA ABCBC ABCPABCACBCPAACABCPACAHPACBCAH，ACPAHPCAHPCPCBCCAHPBCABCA，BCAD/BCPACADPACPA ABCPAAC
17、ADAADACAP(0,0,0)A(0,0,2)P(1,2,0)B(0,2,0)C(0,1,1)H1 1(0,)2 2MAHB(,)x y zn(0,1,1)AH(1,2,0)AB 0,0,AHAB nn0,20,yzxy 1z(2,1,1)nACBEPACBDPH2015-12 高二数月(理)12第 6 页共 4 页设与平面成角为，因为，所以，即（）解：因为，所以，又因为，所以.因为平面，平面的法向量，所以，解得.所以3PNNB 21.(1)设圆心,则,解得则圆的方程为,将点的坐标代入得,故圆的方程为 设,则,且=所以的最小值为(可由均值不等式或三角代换求得)(2)由题意知,直线和直线的斜率
18、存在,且互为相反数,故可设,由,得 因为点的横坐标一定是该方程的解,故可得 同理,所以(3)由112mbma消去 m 得 a2b+1=0,即圆 C1 的圆心在定直线 x2y+1=0 上设直线 y=kx+b 与圆系中的所有圆都相切，则mkbmmk21)1()12(2即0)1()1)(12(2)34(22bkmbkkmk直线 y=kx+b 与圆系中的所有圆都相切，所以上述方程对所有的 m 值都成立，所以有：0)1(0)1)(12(20342bkbkkk 解之得：4743bk所以1C 所表示的一系列圆的公切线方程为4743xy即3470 xy22.（1）证明：1A A 平面 ABC，BCABC 平面
19、，1A ABC。AB 是圆 O 的直径，BCAC。又111,ACA AABCA ACC 平面而11BCB BCC 平面，所以平面11A ACC 平面11B BCC（2）解法一：由已知圆柱的底面半径为 1，故三棱柱111-ABC A B C 的体积122VAC BCAC BC。又2224ACBCAB2222ACBCAC BC，当且仅当2ACBC时等号成立。从而，max2V，当2ACBC时取得最大值解法二：由已知圆柱的底面半径为 1，故三棱柱111-ABC A B C 的体积122VAC BCAC BC。设(090)BAC ，则cos2cos,sin2sinACABBCAB。由于4sincos2s
20、in22AC BC，当且仅当sin21 即45 时等号成立，故max2V由知，V 取最大值时，OCAB。于是，以 O 为坐标原点，OB 为 y 轴，OO1 为 z 轴，建立空间直角坐标系Oxyz，则1(1,0,0),(0,1,0),(0,1,2)CBB。11BCA ACC 平面，(1,1,0)BC是平面11A ACC 的一个法向量。设平面1B OC 的法向量(,)nx y z，由1020nOCrxryrznOB 得，故02xyz，取1z 得平面1B OC的一个法向量为(0,-2,1)n。因为0 90，所以210cos|cos,|5|52n BCrn BCnBCr以 C 为坐标原点，AC 为 x
21、 轴正方向，1CC 为 y 轴正方向，建立平面直角坐标系 xCy，则设(,)P x y，(0,0)C，1(0,2)C，1(2,2)A，(2,0)A，动点 P 到直线11B C 的距离即为1|PC，到直线 AC 的距离等于|y，所以22(2)|xyy，化简得动点 P 的轨迹方程为21(20)4xyx，其轨迹为以1CC的中点(0,1)为顶点，开口向上的抛物线的一段，20 x。所以，2222|44(2)8PCxyyyy，由20 x得312y，所以1y 时，min|1PC；32y 时，max17|2PCPMAHB)23,21,0(PM132 0(1)1()22sincos,562PMPMPM nnn2
22、 15sin15(1,2,2)PB PNPB(,2,2)PN13(0,)22PM 1 3(,2,2)2 2MNPNPM/MNABCABC(0,0,2)AP 3 40MN AP 43C(,)a b222022212abba00ab C222xyrP22r C222xy(,)Q x y222xy(1,1)(2,2)PQ MQxyxy224xyxy2xyPQ MQ4PAPB:1(1)PA yk x:1(1)PB yk x 221(1)2yk xxy 222(1)2(1)(1)20kxkk xkP1x 22211Akkxk22211Bkkxk(1)(1)2()1BABABAABBABABAyyk xk xkk xxkxxxxxx2015-12 高二数月(理)12第 7 页共 4 页
